Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3 Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức 

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 39 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2%/năm. Giả sử trong suốt n năm (n = N*), doanh nghiệp đó không rút tiền ra và số tiền lãi sau mỗi năm sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian này.

a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm

Hướng dẫn giải

a) Số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm: $1.(1 + 0,062)^{1} = 1.062$ (tỷ đồng)

Số tiền doanh nghiệp đó có được sau 2 năm: $1.(1 + 0,062)^{2} = 1.126.084$ (tỷ đồng)

Số tiền doanh nghiệp đó có được Sau 3 năm: $1.(1 + 0,062)^{3} = 1.193.742$ (tỷ đồng)

b) Công thức tổng quát tính số tiền doanh nghiệp đạt được sau n năm là:

Số tiền sau năm thứ n = Số tiền ban đầu . (1 + Lãi suất)^n

Luyện tập 1 trang 39 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về hàm số mũ

Hướng dẫn giải

(1) $y=4^{x}$

(2)$y=6^{x}$

2. Đồ thị và tính chất

Hoạt động 2 trang 39 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hàm số mũ $y=2^{x}$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong giá trị của câu a

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thi hàm số $y=2^{x}$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành

Hướng dẫn giải

a) 

b) 

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi lên kể từ trái sang phải 

Hoạt động 3 trang 40 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số mũ: $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành 

Hướng dẫn giải

a) 

b) 

c) Đồ thị cắt trung tung tại điểm có tung độ bằng 1, nằm ở phía trên trục hoành và đi xuống kể từ trái sang phải 

Luyện tập 2 trang 42 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$

Hướng dẫn giải

a) Bảng biến thiên

b) Đồ thị hàm số là một đường cong liền nét đi qua các điểm A(-2; 9), B(-1; 3), C(0; 1), D(1; 1/3)

II. Hàm số Logarit

1. Định nghĩa

Hoạt động 4 trang 43 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

Hướng dẫn giải

Luyện tập 3 trang 43 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về hàm số logarit

Hướng dẫn giải

(1) $y=log_{5}x$

(2)$y=log_{3}x$

2. Đồ thị và tính chất

Hoạt động 5 trang 43 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số lôgarit $y=log_{2}x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=log_{2}x$ với trục hoành đó so với trục tung

d) Quan sát đồ thị hàm số $y=log_{2}x$, nêu nhận xét về 

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} log_{2}x, \lim_{x \rightarrow +\infty } log_{2}x$

Sự biến thi của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó 

Hướng dẫn giải

a) 

b) Đồ thị hàm số $y=log_{2}x$ là đường thẳng đi qua các điểm A(0,5; -1), B(1; 0), C(2; 1); D(4; 2), E(8; 3)

c) Đồ thị hàm số $y=log_{2}x$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía biên phải trục tung và đi lên kể từ trái sang phải 

d) $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} log_{2}x=-\infty, \lim_{x \rightarrow +\infty } log_{2}x=+\infty$

- Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$

- Bảng biến thiên

Hoạt động 6 trang 44 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hàm số lôgarit $y=log_{\frac{1}{2}}x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau: 

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành đó so với trục tung

d) Quan sát đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$, nêu nhận xét về 

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} log_{\frac{1}{2}}x, \lim_{x \rightarrow +\infty } log_{\frac{1}{2}}x$

Sự biến thi của hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó 

Hướng dẫn giải

a) 

b)  Đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$ là đường thẳng đi qua các điểm A(0,5; 1), B(1; 0), C(2; -1); D(4; -2), E(8; -3)

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, nằm ở phía bên phải trục tung và đi xuống kể từ trái sang phải

d) $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} log_{\frac{1}{2}}x=+\infty, \lim_{x \rightarrow +\infty } log_{\frac{1}{2}}x=-\infty$

Hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$

Bảng biến thiên 

 Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{3}}x$

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

 Đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{3}}x$ là đường thẳng đi qua các điểm A(1;0), B(3; -1), C(9;-2), D(\frac{1}{3}; 1)

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=12^{x}$

b) $y=log_{5}(2x-3)$

c) $y=log_{\frac{1}{5}}(-x^{2}+4)$

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: $\mathbb{R}$

b) TXĐ: $(0; +\infty )$

c) TXĐ: $(0; +\infty )$

Bài 2 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $y=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{x}$

b)  $y=\left ( \frac{\sqrt[3]{26}}{2} \right )^{x}$

c) $y=log_{\pi }x$

d) $y=log_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$

Hướng dẫn giải

a) $y=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{x}$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} <1$

b)  $y=\left ( \frac{\sqrt[3]{26}}{2} \right )^{x}$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vì $\frac{\sqrt[3]{26}}{2} <1$

c) $y=log_{\pi }x$

Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty )$ Vì $\pi>1$

d) $y=log_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$

Hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty )$ Vì $\frac{\sqrt{15}}{4}<1$

Bài 3 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 

a) $y=4^{x}$

b) $y=log_{\frac{1}{4}}x$

Hướng dẫn giải

a) Bảng biến thiên 

Đồ thị hàm số $y=4^{x}$ là đường thẳng đi qua $A (\frac{-1}{2}; \frac{1}{2}), B(0; 1), C(1; 4) , D(\frac{1}{2}; 2), E(\frac{3}{2};8)$

b) Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{4}}x$ là đường thẳng đi qua $A (\frac{1}{4}; 1), B(1; 0), C(2; \frac{-1}{2}) , D(4; -1), E(8; \frac{-3}{2})$

Bài 4 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ 1 là hàm số theo biến t được cho bởicông thức: $S= A.e^{rt}$, trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số là 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet-nam). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) .

Hướng dẫn giải

Ta có: $S= A.e^{rt}$

Trong đó:

S là dân số của Việt Nam năm 2030 (cần dự đoán).

A là dân số của Việt Nam năm 2021, đã biết là 98,564,407 người.

r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, đã biết là 0,93%

t là số năm từ năm 2021 đến năm 2030, tức là t = 2030 - 2021 = 9 năm.

Thay các giá trị vào công thức, ta có: S = 98,564,407 . e^(0,0093 . 9)

Sau khi tính toán, ta có kết quả: S ≈ 107 169 341 người.

Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 là khoảng 107 triệu người.

Bài 5 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau:$f(t)=c(1-e^{-kt})$, trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Có công thức f(t) = c(1 - e^(-k.t))

Thay t = 2 vào công thức f(t) = c(1 - e^(-k.t)), và biết rằng f(t) = 25 (số đơn vị kiến thức đã học được), k = 0.2 (tốc độ tiếp thu), ta có: $f(t)=25(1-e^{-0,2.2})$

$=> f(2) ≈8,24$

Tương tự: $=> f(8) ≈19,95$

Bài 6 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH=-log[H^{+}]$. Phân tích nồng độ ion hydrogen trong hai mẫu nước sông, Ta có kết quả sau

Mẫu 1: $[H^{+}]=8.10^{-7}$; Mẫu 2: $2.10^{-9}$

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên

Hướng dẫn giải

Độ pH của mẫu 1 là: $pH=-log[8.10^{-7}]$

$=-(log8+log10^{-7})=-(log8-7log10)$

$=7-log8=7-3log2$

Độ pH của mẫu 2 là: $pH=-log[2.10^{-9}]=-(log2+log10^{-9})=9-log2$

Nhận thấy $7-3log2 < 9-log2$

Bài 7 trang 47 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6%/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức $log_{1,06}\frac{x}{10}$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hướng dẫn giải

Có $y=log_{1,06}\frac{15}{10}≈7$

Vậy sau ít nhất 7 năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó