Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2: Giới hạn của hàm số

Khởi động

Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc theo biến số t (t là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số v(t) dần tới 0,070 (m/s)..

Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số v(t) khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2?

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này chúng ta sẽ biết:

Trong toán học giá trị 0,070 được gọi là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0,2.

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Hoạt động 1: Xét hàm số f(x) = 2x.

a) Xét dãy số ($x_{n}$), với $x_{n} =1+\frac{1}{n}$ . Hoàn thành bảng giá trị f($x_{n}$) tướng ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số $f(x_{1}), f(x_{2}), ..., f(x_{n}), ...$ lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x$_{n}$)). Tìm limf(x$_{n}$).

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì $(x_{n}), x_{n} → 1$ ta luôn có f($x_{n}$) → 2.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có bảng giá trị sau:

Ta có: $limf(x_{n}) = lim\frac{2(n+1)}{n}=2$

b) Lấy dãy ($x_{n}$) bất kí thỏa mãn $x_{n}$ → 1 ta có:

$f(x_{n}) = 2x_{n}$

⇒ $limf(x_{n})=lim2x_{n}=2limx_{n}=2.1=2$

Luyện tập 1: Sử dụng định nghãi, chứng minh rằng $\underset{x\rightarrow 2}{lim}x^{2}=4$

Hướng dẫn trả lời: 

Đặt $f(x)=x^{2}$

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số thỏa mãn $limx_{n}=2$

$\Rightarrow limf(x_{n})=limx_{n}^{2}=2^{2}=4$

Vậy $\underset{x\rightarrow 2}{lim}x^{2}=4$

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

Hoạt động 2: Cho hàm số f(x) = $x^{2}$ – 1, g(x) = x + 1.

a) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

d) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))$ và so sánh với $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

e) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ và so sánh với $\frac{\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$limf(x_{n})=lim(x_{n}^{2}-1)=limx_{n}^{2}-1=1-1=0$

⇒ limf(x) = 0.

$limg(x_{n}) = lim(x_{n}+1) = limx_{n}+1 = 2$

⇒ limg(x) = 2.

b) Ta có: $f(x) + g(x) = x^{2} – 1 + x + 1 = x^{2} + x$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n})+g(x_{n}))=lim(x_{n}^{2}+x_{n})=limx_{n}^{2}+limx_{n}=1^{2}+1=2$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))=2$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0+2=2$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2$

c) Ta có: $f(x) – g(x) = x^{2} – 1 – x – 1 = x^{2} – x – 2$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n})-g(x_{n}))=lim(x_{n}^{2}-x_{n}-2)=limx_{n}^{2}-limx_{n}-2=1^{2}-1-2=-2$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))=-2$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0-2=-2$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=-2$

d) Ta có: $f(x).g(x) = (x^{2} – 1)(x + 1) = x^{3} + x^{2} – x – 1$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n}).g(x_{n}))=lim(x_{n}^{3}+x_{n}^{2}-x_{n}-1)$

$=limx_{n}^{3}+limx_{n}^{2}-limx_{n}-1=1^{3}+1^{2}-1-1=0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))=0$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0.2=0$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0$

e) Ta có: $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{2}-1}{x+1}$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim\frac{f(x_{n})}{g(x_{n})}=lim\frac{x_{n}^{2}-1}{x_{n}+1}$

$=lim\frac{(x_{n}-1)(x_{n}+1)}{x_{n}+1}=lim(x_{n}-1)=0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

Ta lại có: $\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{0}{2}=0$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)}$

Luyện tập 2: Tính:

a) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}[(x+1)(x^{2}+2x)]$

b) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}\sqrt{x^{2}+x+3}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}[(x+1)(x^{2}+2x)]=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x+1).\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x)=3.8=24$

b) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}\sqrt{x^{2}+x+3}=\sqrt{\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+x+3)}=3$

3. Giới hạn một phía

Hoạt động 3: Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{matrix}-1khix<0\\ 0 khi x=0\\ 1 khi x>0\end{matrix}\right.$  Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Xác định f(u$_{n}$) và tìm lim f(u$_{n}$).

b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Xác định f(v$_{n}$) và tìm limf(v$_{n}$).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Khi đó f(u$_{n}$) = – 1 và lim f(u$_{n}$) = – 1.

b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Khi đó f(v$_{n}$) = 1 và lim f(v$_{n}$) = 1.

Luyện tập 3: Tính $\underset{x\rightarrow -4^{+}}{lim}(\sqrt{x+4}+x)$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{x\rightarrow -4^{+}}{lim}(\sqrt{x+4}+x)=\underset{x\rightarrow -4^{+}}{lim}\sqrt{x+4}+\underset{x\rightarrow -4^{+}}{lim}x=0-4=-4$

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Hoạt động 4: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x}(x\neq 0)$ có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

Giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy:

a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.

b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0.

Luyện tập 4: Tính $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{3x+2}{4x-5}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{3x+2}{4x-5}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x(x+\frac{2}{x})}{4-\frac{5}{x}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{3}{4}$

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Hoạt động 5: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x-1}(x\neq 1)$ có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới – ∞.

Luyện tập 5: Tính $\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}\frac{1}{x+2}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}\frac{1}{x+2}=-∞$

Hoạt động 6: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.

Hướng dẫn trả lời: 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.

Luyện tập 6: Tính $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}x^{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

$\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}x^{4}=+∞$

Bài tập

Bài tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow -3}{lim}x^{2}$

b) $\underset{x\rightarrow 5}{lim}\frac{x^{2}-25}{x-5}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow -3}{lim}x^{2}=(-3)^{2}=9$

b) $\underset{x\rightarrow 5}{lim}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\underset{x\rightarrow 5}{lim}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\underset{x\rightarrow 5}{lim}(x+5)=10$

Bài tập 2: Biêt rằng hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=3$ và $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=5$. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)$ hay không? Giải thích

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=3$ và $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=5$ suy ra $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)\neq \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)$ nên không tồn tại $\underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)$

Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}-4x+3)$

b) $\underset{x\rightarrow 3}{lim}=\frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}-4x+3)=2^{2}-4.2+3=-1$

b) $\underset{x\rightarrow 3}{lim}=\frac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3}{lim}\frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x-2)=1$

c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$

Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{9x+1}{3x-4}$

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{7x-11}{2x+3}$

c) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$

e) $\underset{x\rightarrow 6}{lim}\frac{1}{x-6}$

f) $\underset{x\rightarrow 7^{+}}{lim}\frac{1}{x-7}$

Hướng dẫn trả lời: 

$a) \underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{9x+1}{3x-4}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x(9+\frac{1}{x})}{x(3-\frac{4}{x})}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{9+\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}=3$

$b) \underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{7x-11}{2x+3}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x(7-\frac{11}{x})}{x(2+\frac{3}{x})}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{7-\frac{11}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{7}{2}$

c) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=1$

d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x2}}}{x}=-1$

e) $\underset{x\rightarrow 6}{lim}\frac{1}{x-6}=-\infty $

f) $\underset{x\rightarrow 7^{+}}{lim}\frac{1}{x-7}=+\infty $

Bài tập 5: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N(t)=\frac{50t}{t+4}(t\geq 0)$ bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}N(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}N(t)=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\frac{50t}{t+4}=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\frac{50t}{t(1+\frac{4}{t})}=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\frac{50}{t+\frac{4}{t}}=50$

Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.

Bài tập 6: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.

a) Tính chi phí trung bình $\bar{C}$(x)để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\bar{C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả

Hướng dẫn trả lời: 

a) Chi phí trung bình $\bar{C}$(x)để sản xuất một sản phẩm là:

$\bar{C}(x)=\frac{50000+105x}{x}$ (sản phẩm)

b) Ta có: $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\bar{C}(x)=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\frac{50000+105x}{x}=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x(\frac{50000}{x}+10)}{x}=\underset{t\rightarrow +\infty }{lim}(\frac{50000}{x}+105)=105$

Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng.