Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Khởi động 

Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó y = $=2,5sin(2\pi x-\frac{\pi }{2})+2$, với x (phút) là thời gian quay của guồng (x ≥ 0).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?

Hướng dẫn trả lời: 

Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x theo biểu thức: $h=|2,5sin(2\pi x-\frac{\pi }{2})+2|$

I. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hoạt động 1: 

a) Cho hàm số f(x) = x$^{2}$.

• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh f(‒x) và f(x).

• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số f(x) = x$^{2}$ (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.

b) Cho hàm số g(x) = x.

• Với x ∈ ℝ, hãy so sánh g(‒x) và ‒g(x).

• Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số g(x) = x (Hình 20) và cho biết gốc toạ độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hay không.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét hàm số f(x) = x$^{2}$.

• Với x ∈ ℝ, ta có: $f(‒x) = (‒x)^{2} = x^{2}$.

Do đó f(‒x) = f(x).

• Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

b) Xét hàm số g(x) = x.

• Với x ∈ ℝ, ta có: g(‒x) = ‒x và ‒g(x) = ‒x.

Do đó g(‒x) = ‒g(x).

• Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

Luyện tập 1:

a) Chứng tỏ rằng hàm số g(x) = x$^{3}$ là hàm số lẻ.

b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét hàm số g(x) = x$^{3}$ có tập xác định D = ℝ.

∀x ∈ ℝ thì ‒x ∈ ℝ, ta có: $g(‒x) = (‒x)^{3} = ‒x^{3} = ‒g(x)$.

Do đó hàm số g(x) = x$^{3}$ là hàm số lẻ.

b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

$f(x) = x^{2} + x; g(x) = 2x^{3} – 3x^{2}$; …

2. Hàm số tuần hoàn 

Hoạt động 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị như Hình 21.

a) Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a]?

b) Lấy điểm M(x$_{0}$; f(x$_{0}$)) thuộc đồ thị hàm số với x$_{0}$ ∈ [a; a + T]. So sánh mỗi giá trị f(x$_{0}$ + T), f(x$_{0}$ − T) với f(x$_{0}$).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a] có dạng giống nhau.

b) Ta có f(x$_{0}$ + T) = f(x$_{0}$);

f(x$_{0}$ − T) = f(x$_{0}$).

Luyện tập 2: Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Hướng dẫn trả lời: 

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

$\left\{\begin{matrix}3 & nếu x là số hữu tỉ \\ -3 & nếu x là số vô tỉ \end{matrix}\right.$

Ta thấy, hàm số xác định trên ℝ. Xét một số thực tùy ý.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

II. HÀM SỐ y=sinx

1. Định nghĩa

Hoạt động 3: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (Hình 22). Hãy xác định sinx.

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử tung độ của điểm M là y.

Khi đó ta có sinx = y.

2. Đồ thị của hàm số y = sinx

Hoạt động 4: Cho hàm số y = sinx.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; sinx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] (Hình 23).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở Hình 24.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm (x; sinx) với x ∈ [‒π; π] trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] (hình vẽ).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số y=sinx

Hoạt động 5: Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.

a) Nêu tập giá trị của hàm số y = sinx.

b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = sinx.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta có nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = sinx có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tập giá trị của hàm số y = sinx là [‒1; 1].

b) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = sinx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = sinx trên ℝ, với T = 2π và x ∈ ℝ ta có:

• x + 2π ∈ ℝ và x – 2π ∈ ℝ;

• f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{5π}{2};-\frac{3π}{2});(-\frac{π}{2};\frac{π}{2});(\frac{3π}{2};\frac{5π}{2});...$

Ta có: $(-\frac{5π}{2};-\frac{3π}{2})=(-\frac{π}{2}-2π;\frac{π}{2}-2π);$

$(\frac{3π}{2};\frac{5π}{2})=(-\frac{π}{2π}+;\frac{π}{2}+2π)$;…

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{π}{2}+k2π;\frac{π}{2}+k2π)$ với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\frac{7π}{2};-\frac{5π}{2});(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2});(\frac{π}{2};\frac{3π}{2});...$

Ta có: $(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2})=(\frac{π}{2}-2π;\frac{3π}{2}-2π);...$

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2}+k2π;\frac{3π}{2}+k2π)$ với k ∈ ℤ.

Luyện tập 3: Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $(-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2})$

Hướng dẫn trả lời: 

$(-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2})=(\frac{\pi }{2}-4\pi ;\frac{3\pi }{2}-4\pi )=(\frac{\pi }{2}+(-2).2\pi ;\frac{3\pi }{2}+(-2).2\pi ) $ nên hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng $(-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2})$

III. HÀM SỐ y=cosx

1. Định nghĩa

Hoạt động 6: Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = x (rad) (Hình 25). Hãy xác định cosx.

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử hoành độ của điểm M là y.

Khi đó ta có cosx = y.

2. Đồ thị của hàm số y = cosx

Hoạt động 7: Cho hàm số y = cosx.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x ; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x ; cosx) với x ∈ [‒π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] (Hình 26).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở Hình 27.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cosx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm (x; cosx) với x ∈ [‒π; π] trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] (hình vẽ).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số y=cosx

Hoạt động 8: Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ở Hình 27.

a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cosx.

b) Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cosx.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = cosx có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx.

Giải:

a) Tập giá trị của hàm số y = cosx là [‒1; 1].

b) Trục tung là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cosx trên ℝ, với T = 2π và x ∈ ℝ ta có:

• x + 2π ∈ ℝ và x – 2π ∈ ℝ;

• f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒3π; ‒2π); (‒π; 0); (π; 2π); …

Ta có: (‒3π; ‒2π) = (‒π ‒ 2π; 0 ‒ 2π);

(π; 2π) = (‒π + 2π; 0 + 2π);

…

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒π + k2π; k2π) với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (0; π); (2π; 3π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π ‒ 2π);

(2π; 3π) = (0 + 2π; π + 2π);

…

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ ℤ.

Luyện tập 4: Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (‒2π; ‒π)?

Hướng dẫn trả lời: 

Do (‒2π; ‒π) = (0 – 2π; π – 2π) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒2π; ‒π).

IV. HÀM SỐ y=tanx

1. Định nghĩa

Hoạt động 9: Xét tập hợp D = R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$}. Với mỗi số thực x ∈ D, hãy nêu định nghĩa tanx.

Hướng dẫn trả lời: 

Nếu cosx ≠ 0, tức x ∈ R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$} hay x ∈ D thì ta có: $tanx=\frac{sinx}{cosx}$

2. Đồ thị của hàm số y = tanx

Hoạt động 10: Cho hàm số y = tanx.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ (Hình 28).

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2}),(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2}),...$ ta có đồ thị hàm số y = tan x trên D được biểu diễn ở Hình 29.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = tanx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm (x; tanx) với $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $x\in (-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ (hình vẽ).

c) Làm tương tự như trên đối với các $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2}),(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2}),...$ ta có đồ thị hàm số y = tanx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số y = tanx

Hoạt động 11: Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29.

a) Nêu tập giá trị của hàm số y = tanx.

b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = tanx.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2})$ hay không? Hàm số y = tanx có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = tanx.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tập giá trị của hàm số y = tanx là ℝ.

b) Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = tanx.

Do đó hàm số y = tanx là hàm số lẻ.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(\frac{π}{2};\frac{3π}{2})$

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = tanx trên R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$}

‒ Xét hàm số f(x) = y = tanx trên D = R\{$\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$}, với T = π và x ∈ D ta có:

• x + π ∈ D và x – π ∈ D;

• f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29, ta thấy: đồ thị hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2});(-\frac{π}{2};\frac{π}{2});(\frac{π}{2};\frac{3π}{2});...$

Ta có: $(-\frac{3π}{2};-\frac{π}{2})=(-\frac{π}{2}-π;\frac{π}{2}-π);(\frac{π}{2};\frac{3π}{2})=(-\frac{π}{2}+π;\frac{π}{2}+π)...$

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{π}{2}+kπ;\frac{π}{2}+kπ)$ với k ∈ ℤ.

Luyện tập 5: Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

Hướng dẫn trả lời: 

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ là 1.

V. HÀM SỐ y=cotx

1. Định nghĩa

Hoạt động 12: Xét tập hợp E = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Với mỗi số thực x ∈ E, hãy nêu định nghĩa cotx.

Hướng dẫn trả lời: 

Nếu sinx ≠ 0, tức x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ} hay x ∈ E thì ta có: cot x = $\frac{cosx}{sinx}$

2. Đồ thị hàm số y = cotx

Hoạt động 13: Cho hàm số y = cotx.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với x ∈ (0; π) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) (Hình 30).

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng (π; 2π), (‒π; 0), (‒2π; ‒π), …, ta có đồ thị hàm số y = cotx trên E được biểu diễn ở Hình 31.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cotx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm (x; cotx) với x ∈ (0; π) trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng x ∈ (0; π) (hình vẽ).

c) Làm tương tự như trên đối với các (π; 2π), (‒π; 0), (‒2π; ‒π), …, ta có đồ thị hàm số y = tanx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

3. Tính chất của hàm số y = cotx

Hoạt động 14: Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31.

a) Nêu tập giá trị của hàm số y = cotx.

b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = cotx.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π) hay không? Hàm số y = cotx có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cotx.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tập giá trị của hàm số y = cotx là ℝ.

b) Gốc toạ độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = cotx.

Do đó hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π).

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cotx trên ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cotx trên D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}, với T = π và x ∈ D ta có:

• x + π ∈ D và x – π ∈ D;

• f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31, ta thấy: đồ thị hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (‒π; 0); (0; π); (π; 2π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π – 2π);

(‒π; 0) = (0 – π; π ‒ π);

(π; 2π) = (0 + π; π + π);

…

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ ℤ.

Luyện tập 6: Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hướng dẫn trả lời: 

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) là 1.

Bài tập

Bài tập 1: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để:

a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1;

b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0;

c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1;

d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đồ thị hàm số y = sinx:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1 tại $x\in (-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

b) Đồ thị hàm số y = sinx:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 tại x ∈ {‒2π; ‒π; 0; π; 2π}.

c) Đồ thị hàm số y = cosx:

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1 tại x ∈ {‒π; π}.

d) Đồ thị hàm số y = cosx:

Quan sát hai đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0 tại $x\in (-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})$

Bài tập 2: Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ để:

a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng ‒1;

b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0;

c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1;

d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét đồ thị hàm số y = ‒1 và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ 

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y = tanx nhận giá trị bằng ‒1 tại $x\in (-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4})$

b) Xét đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ 

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = tanx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$  nhận giá trị bằng 0 tại x ∈ {0; π}.

c) Xét đồ thị hàm số y = 1 và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ 

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y = cotx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$  nhận giá trị bằng 1 tại $x\in (-\frac{3\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4})$

d) Xét đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ 

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = cotx trên khoảng $(-\pi ;\frac{3\pi }{2})$ nhận giá trị bằng 0 tại $x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$

Bài tập 3: Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

a) y = sinx trên khoảng $(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}),(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2})$

b) y = cosx trên khoảng (‒20π; ‒19π), (‒9π; ‒8π).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét hàm số y = sinx:

Do $(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2})=(-\frac{\pi }{2}-4\pi ;\frac{\pi }{2}-4\pi )$ nên hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng $(-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2})$

Do $(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2})=(\frac{\pi }{2}+10\pi ;\frac{3\pi }{2}+10\pi )$ nên hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng $(\frac{21\pi }{2};\frac{23\pi }{2})$

b) Xét hàm số y = cosx:

Do (‒20π; ‒19π) = (0 ‒20π; π ‒ 20π) nên hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (‒20π; ‒19π).

Do (‒9π; ‒8π) = (‒π – 8π; 0 ‒ 8π) nên hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (‒9π; ‒8π).

Bài tập 4: Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

a) Với mỗi m ∈ [‒1;1], có bao nhiêu giá trị $\alpha \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ sao cho sinα = m;

b) Với mỗi m ∈ [‒1;1], có bao nhiêu giá trị α ∈ [0; π] sao cho cosα = m;

c) Với mỗi m ∈ ℝ, có bao nhiêu giá trị $\alpha \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ sao cho tanα = m;

d) Với mỗi m ∈ ℝ, có bao nhiêu giá trị α ∈ [0; π] sao cho cotα = m.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ [‒1;1]) và đồ thị hàm số y = sinx trên $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ [‒1;1] thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ [‒1;1] sẽ có 1 giá trị $α \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ sao cho sinα = m.

b) Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ [‒1;1]) và đồ thị hàm số y = cosx trên [0; π]:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ [‒1;1] thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy m ∈ [‒1;1] sẽ có 1 giá trị α ∈ [0; π] sao cho cosα = m.

c) Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị $α \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ sao cho tanα = m.

d) Xét đồ thị hàm số y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên [0; π]:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị α ∈ [0; π] sao cho cotα = m.

Bài tập 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) y = sinx cosx;

b) y = tanx + cotx;

c) y = sin$^{2}$x.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Xét hàm số f(x) = y = sinx cosx có D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin(‒x) . cos(‒x) = ‒sinx cosx = ‒f(x).

Do đó hàm số y = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số f(x) = y = tanx + cotx có D=R\{$k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z$}

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = tan(‒x) + cot(‒x) = (‒tanx) + (‒cotx) = ‒(tanx + cotx) = ‒f(x).

Do đó hàm số y = tanx + cotx là hàm số lẻ.

c) Xét hàm số f(x) = y = sin$^{2}$x có D = ℝ:

• ∀x ∈ D thì ‒x ∈ D;

• f(‒x) = sin$^{2}$(‒x) = (‒sinx)$^{2}$ = sin$^{2}$x = f(x).

Do đó hàm số y = tanx + cotx là hàm số chẵn

Bài tập 6: Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt + φ), trong đó A, φ, ω là các hằng số (ω > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là $T=\frac{2\pi }{\omega }$

a) Xác định giá trị của li độ khi $t=0,t=\frac{T}{4},t=\frac{T}{2},t=\frac{3T}{4},t=T$

b) Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường hợp sau:

A = 3 và $\varphi =0$; A = 3 và $\varphi =-\frac{\pi }{2}$ ;A = 3 và $\varphi =\frac{\pi }{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Từ $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ta có $ω=\frac{2\pi }{T}$

Khi đó ta có phương trình li độ là $x=Acos(\frac{2\pi }{T}.t+\varphi )$

a)

‒ Với A = 3 cm và φ = 0 thay vào phương trình li độ $x=Acos(\frac{2\pi }{T}.t+\varphi )$ ta có: $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$

t= 0 thì x = 3cos0 = 3

$t=\frac{T}{4}$ thì $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4})=3cos\frac{\pi }{2}=0$

$t=\frac{T}{2}$ thì $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2})=3cos\pi =-3$

$t=\frac{3T}{4}$ thì $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4})=3cos\frac{3\pi }{2}=0$

t =  T thì $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.T)=3cos2\pi =3$

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ có chu kì là T

Ta vẽ đồ thị hàm số $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số x$x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; 2T] như sau:

b)

‒ Với A = 3 cm và φ = $-\frac{\pi }{2}$ thay vào phương trình li độ $x=Acos(\frac{2\pi }{T}.t+\varphi )$ ta có: $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t-\frac{\pi }{2})=3cos(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{T}.t)=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$

t= 0 thì x = 3$sin(\frac{2\pi }{T}.0)=3sin0 = 0$

$t=\frac{T}{4}$ thì $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4})=3sin\frac{\pi }{2}=3$

$t=\frac{T}{2}$ thì $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2})=3sin\pi =0$

$t=\frac{3T}{4}$ thì $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4})=3sin\frac{3\pi }{2}=-3$

t =  T thì $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.T)=3sin2\pi =0$

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ có chu kì là T

Ta vẽ đồ thị hàm số $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số x$x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn [0; 2T] như sau:

c)

‒ Với A = 3 cm và φ = $\frac{\pi }{2}$ thay vào phương trình li độ $x=Acos(\frac{2\pi }{T}.t+\varphi )$ ta có: $x=3cos(\frac{2\pi }{T}.t+\frac{\pi }{2})=-3cos(\pi -(\frac{2\pi }{T}.t+\frac{\pi }{2}))=-3cos(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{T}.t=-3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$

t= 0 thì x = -3$sin(\frac{2\pi }{T}.0)=-3sin0 = 0$

$t=\frac{T}{4}$ thì $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4})=-3sin\frac{\pi }{2}=-3$

$t=\frac{T}{2}$ thì $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2})=-3sin\pi =0$

$t=\frac{3T}{4}$ thì $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4})=-3sin\frac{3\pi }{2}=3$

t =  T thì $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.T)=-3sin2\pi =0$

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ trên đoạn trên đoạn [0; 2T]:

Đồ thị hàm số $x=-3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ ;à hình đối xứng với đồ thị hàm số $x=3sin(\frac{2\pi }{T}.t)$ qua trục hoành:

Bài tập 7: Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ống đựng nước cách mặt nước 2m.

Hướng dẫn trả lời: 

Để ống đựng nước cách mặt nước 2 m thì h = |y| = 2

$\Leftrightarrow |2,5sin(2\pi x-\frac{\pi }{2})+2|=2\Leftrightarrow |-2,5cos(2\pi x)+2|=2$

$\Leftrightarrow -2,5cos(2\pi x)+2=2$ hoặc $ -2,5cos(2\pi x)+2=-2$

$\Leftrightarrow cos(2\pi x)=0$ hoặc $cos(2x)=\frac{8}{5}$

Ta loại trường hợp $cos(2\pi x)=\frac{8}{5}>1$ vì $-1\leq cos(2\pi x)\leq 1$ với mọi x

Do đó ta có cos(2πx) = 0

Ta đã biết $cos\alpha =0$ tại những giá trị $\alpha =\frac{π}{2}+kπ(k\in Z)$

Suy ra $cos(2πx)=0\Leftrightarrow 2πx=\frac{π}{2}+kπ\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}(k\in Z)$

Khi k = 0 thì $x=\frac{1}{4}$ (phút)

Khi k = 1 thì $x=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=\frac{5}{4}$ (phút)

Khi k = 2 thì $x=\frac{1}{4}+\frac{2}{1}=\frac{9}{4}$ (phút)

...

Vậy khi guồng quay được $\frac{1}{4}$ phút; $\frac{5}{4}$ phút; $\frac{9}{4}$ phút; … thì ống đựng nước cách mặt nước 2m.