Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới Bài tập cuối chương VII

Bài 1 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $u = u(x), v = v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $(uv)'=u'v'$

B. $(uv)' = uv'$

C. $(uv)'=u'v$

D. $(uv)'=u'v+uv$

Hướng dẫn giải

Có $(uv)'=u'v+uv$ => Đáp án D

Bài 2 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $u=u(x), v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng

A. $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'}{v'}$ với $v=v(x)\neq 0$, $v'=v'(x)\neq 0$

B. $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v}$ với $v=v(x)\neq 0$

C. $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ với $v=v(x)\neq 0$

D. $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v'}$ với $v=v(x)\neq 0$, $v'=v'(x)\neq 0$

Hướng dẫn giải

Có $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ => đáp án C

Bài 3 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y=(x^{2}+2x)(x^{3}-3x)$

b) $y=\frac{1}{-2x+5}$

c) $y=\sqrt{4x+5}$

d) $y=sinxcosx$

e) $y=xe^{x}$

g) $y=ln^{2}x$

Hướng dẫn giải

a) $y=(x^{2}+2x)(x^{3}-3x)$

$y'=(2x+2)(x^{3}-3x)+(x^{2}+2x)(3x^{2}-3)$

$y'=2x^{4}-6x^{2}+2x^{3}-6x+3x^{4}-3x^{2}+6x^{3}-6x$

$y'=5x^{4}+8x^{3}-9x^{2}-12x$

b) $y=\frac{1}{-2x+5}$

$y'=\frac{2}{(-2x+5)^{2}}$

c) $y=\sqrt{4x+5}$

$y'=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}$

d) $y=sinxcosx$

$y'=cos^{2}x-sin^{2}x$

e) $y=xe^{x}$

$y'=e^{x}+xe^{x}$

g) $y=ln^{2}x$

$y'=\frac{2}{x}lnx$

Bài 4 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^{4}-3x^{3}+5x^{2}$

b) $y=\frac{2}{3-x}$

c) $y=sin2xcosx$

d) $y=e^{-2x+3}$

e) $y=ln(x+1)$

g) $y=ln(e^{x}+1)$

Hướng dẫn giải

a) $y=2x^{4}-3x^{3}+5x^{2}$

$y'=8x^{3}-9x^{2}+10x$

$y''=24x^{2}-18x+10$

b) $y=\frac{2}{3-x}$

$y'=\frac{2}{(3-x)^{2}}$

$y''=\frac{4(3-x)}{(3-x)^{4}}=\frac{4}{(3-x)^{3}}$

c) $y=sin2xcosx$

$y'=2cos(2x)\cdot cosx+sin2x.(-sinx)$

$y'=-4sin(2x).cosx+2cos(2x).(-sinx)$+$2cos(2x).(-sinx)-sin2x.(cosx)$

$y'=cosx(-4sin(2x)-sin2x)$-$sinx.(2cos(2x)+2cos(2x))$

$y'=-5sin(2x).cosx-4cos(2x).sinx$

d) $y=e^{-2x+3}$

$y'=-2e^{-2x+3}$

$y''=4e^{-2x+3}$

e) $y=ln(x+1)$

$y'=\frac{1}{x+1}$

$y''=-\frac{1}{(x+1)^{2}}$

g) $y=ln(e^{x}+1)$

$y'=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$

$y''=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{-e^{2x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$

Bài 5 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức $v(t) = 2t + t^{2}$, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng m/s. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 3 (s);

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 8 m/s.

Hướng dẫn giải

Gia tốc tức thời của chất điểm: $a(t)=2t+2$

a) Tại thời điểm t = 3(s), gia tốc tức thời của chất điểm là:  a(3)=2.3+2=8(m/$s^{2}$) 

b) Tại thời điểm mà vận tốc có chất điểm bằng 8 m/s, ta có: $2t+t^{2}=8$⇔$t^{2}+2t−8=0$⇔t=2(TMĐK) hoặc $t=−4$ (loại)

Với $t=2⇒a(2)=2.2+2=6$

Bài 6 trang 76 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động $x=4cos\left ( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right )+3$ , trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimét.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc tức thời của con lắc:

$v(t)=-4\pi sin\left ( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right )$

Gia tốc tức thời của con lắc

$a(t)=-4\pi^{2} cos\left ( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right )$

b) Tại vận tốc tức thời của con lắc bằng 0, ta có

$-4\pi sin\left ( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right )=0$

<=>$sin\left ( \pi t-\frac{2\pi }{3} \right )=0 $

<=> $\pi t-\frac{2\pi }{3}=0$

<=> $t=\frac{2}{3}$

Với $t=\frac{2}{3} => a(t)=-4\pi^{2} cos\left ( \pi \frac{2}{3}-\frac{2\pi }{3} \right )=-4\pi ^{2}$