Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Bài tập cuối chương VII

Bài 38 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f=f(x),g=g(x),h=h(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Khi đó, (fg+h)′ bằng:

A. f′g′+h′.

B. f′g′h′.

C. f′g+fg′+h′.

D. f′gh′+fg′h.

Hướng dẫn trả lời:

(fg+h)′=(fg)′+h′=f′g+fg′+h′.

Đáp án C.

Bài 39 trang 78 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=sin$ \frac{x}{2}$cos$ \frac{x}{2}$. Khi đó, f′(x) bằng:

A. $ \frac{1}{2}$cosx.

B. −$ \frac{1}{2}$cosx

C. −$ \frac{1}{4}$cos$ \frac{x}{2}$sin$ \frac{x}{2}$

D. cosx.

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=sin$ \frac{x}{2}$cos$ \frac{x}{2}$.⇒f′(x)=(sin$ \frac{x}{2}$)′cos$ \frac{x}{2}$+sin$ \frac{x}{2} $(cos$ \frac{x}{2}$)′=$ \frac{1}{2}$cos2$ \frac{x}{2}$−$ \frac{1}{2}$sin2$ \frac{x}{2}$=$ \frac{1}{2} $(cos2$ \frac{x}{2}$−sin2$ \frac{x}{2}$)=$ \frac{cosx}{2}$

Đáp án A.

Bài 40 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$ \frac{1}{ax+b}$. Khi đó, f′(x) bằng:

A. -$ \frac{1}{(ax+b)^{2}}$

B. $ \frac{1}{(ax+b)^{2}}$

C. $ \frac{a}{(ax+b)^{2}}$

D. -$ \frac{a}{(ax+b)^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=$ \frac{1}{ax+b}$⇒f′(x)=$ \frac{-(ax+b)'}{(ax+b)^{2}}$=-$ \frac{a}{(ax+b)^{2}}$

Đáp án D.

Bài 41 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=sinax. Khi đó, f′(x) bằng:

A. cosax.

B. −cosax

C. acosax.

D. acosx.

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=sinax⇒f′(x)=acosax.

Đáp án C.

Bài 42 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=cotax. Khi đó, f′(x) bằng:
A. -$ \frac{a}{sin^{2}ax}$

B. $ \frac{a}{sin^{2}ax}$

C. $ \frac{1}{sin^{2}ax}$

D. -$ \frac{1}{sin^{2}ax}$

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=cotax⇒f′(x)=(cotax)′= -$ \frac{a}{sin^{2}ax}$

Đáp án A.

Bài 43 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=log_a(bx). Khi đó, f′(x) bằng:
A. $ \frac{1}{bx}$

B. $ \frac{1}{ax}$

C. $ \frac{1}{xlna}$

D. $ \frac{1}{xlnb}$

Hướng dẫn trả lời:

f(x)=log_a(bx)⇒f′(x)=(log_a(bx))′=$ \frac{b}{bxlna}=\frac{1}{xlna}$

Đáp án C.

Bài 44 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=e^ax. Khi đó, f′′(x) bằng:

A. e^ax.

B. a²e^ax.

C. a²e^x.

D. e²a^x.

Hướng dẫn trả lời:

f′(x)=(e^ax)′=(ax)′.e^ax=a.e^ax

f′′(x)=(a.e^ax)′=a.a.e^ax=a².e^ax.

Đáp án B.

Bài 45 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x)=x⁴ tại điểm M(2;16) bằng:

A. 48.

B. 8.

C. 1.

D. 32.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:f′(x)=4x³.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x)=x⁴ tại điểm M(2;16) bằng:

k=f′(2)=4.2³=32.

Đáp án D.

Bài 46 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y=(2x2+1)³;

b) y=sin3xcos2x−sin2xcos3x;

c) y=$ \frac{tanx+tan2x}{1-tanxtan2x}$

d) y=$ \frac{e^{3x+1}}{2^{x-1}}$

Hướng dẫn trả lời:

a)y′=((2x2+1)³)′=3(2x²+1)².(2x²+1)′=3.4x.(2x²+1)²=12x(2x²+1)².

b) Ta có:y=sin3xcos2x−sin2xcos3x=sin(3x−2x)=sinx.

y′=(sinx)′=cosx
c) Ta có: y=$ \frac{tanx+tan2x}{1-tanxtan2x}$=tan(x+2x)=tan3x.

y′=(tan3x)′=$ \frac{3}{cos^{2}3x}$

d) y’=($ \frac{e^{3x+1}}{2^{x-1}}$)’=$ \frac{3e^{3x+1}.2^{x-1}-2^{x-1}.ln2.e^{3x+1}}{2^{2(x-1)}}=\frac{e^{3x+1}.2^{x-1}(3-ln2)}{2^{2(x-1)}}=\frac{e^{3x+1}(3-ln2)}{2^{x-1}}$

Bài 47 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=ln(4x+3). Tính f′(x) và f′′(x) tại x₀=1.
Hướng dẫn trả lời:

f′(x)=(ln(4x+3))′=$ \frac{4}{4x+3}$⇒f′(1)=$ \frac{4}{4.1+3}=\frac{4}{7}$

f′′(x)=($ \frac{4}{4x+3}$)′=−$ \frac{4.4}{(4x+3)^{2}}=-\frac{16}{(4x+3)^{2}}$⇒f′′(1)=$ -\frac{16}{(4.1+3)^{2}}=-\frac{16}{49}$

Bài 48 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$ \frac{1}{3}$x³−$ \frac{1}{2}$x²−12x.

a) Tìm f′(x) và giải bất phương trình f′(x)>0.

b) Tìm f′′(x) và giải phương trình f′′(x)=0.

Hướng dẫn trả lời:

a) f(x)=$ \frac{1}{3}$x³−$ \frac{1}{2}$x²−12x

Theo đề bài:f′(x)>0⇔x²−x−12>0⇔(x−4)(x+3)>0⇔x>4; x<−3

Tập nghiệm của bất phương trình là: (−∞;−3)∪(4;+∞).

b) f′′(x)=(x²−x−12)′=2x−1.

Theo đề bài: f′′(x)=0⇔2x−1=0⇔x=$ \frac{1}{2}$.

Nghiệm của phương trình là: x=$ \frac{1}{2}$.

Bài 49 trang 79 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hàm số f(x)=$ \frac{2x-3}{x+4}$ có đồ thị (C)

a) Tìm đạo hàm của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng −3.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1.

Hướng dẫn trả lời:

a) f’(x)=($ \frac{2x-3}{x+4}$)’=$ \frac{2(x+4)-(2x-3)}{(x+4)^{2}}=\frac{11}{(x+4)^{2}}$.

b) Gọi M(x₀;y₀) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có hoành độ bằng −3.

⇒x0=−3;y0=−9⇒M(−3;−9).

⇒f′(−3)=$ \frac{11}{(-3+4)^{2}}$=11

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−3;−9) là:

y=f′(−3)(x−(−3))+f(−3)⇔y=11.(x+3)−9⇔y=11x+24.

c) Gọi N(x₀;y₀) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị có tung độ bằng 1.

⇒y0=1⇒$\frac{2x_{0}-3}{x_{0}+4}$=1⇔2x0−3=x0+4⇔x0=7⇒N(7;1).⇒f′(7)=$\frac{11}{(7+4)^{2}}=\frac{1}{11}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N(7;1) là:

y=f′(7)(x−7)+f(7)⇔y=$ \frac{1}{11} $(x−7)+1⇔y=$ \frac{1}{11}$x+$ \frac{4}{11}$.

Bài 50 trang 80 SBT Toán 11 CD tập 2: Một chất điểm có phương trình chuyển động s(t)=2sin(6t+$\frac{\pi }{4}$), trong đó t>0,t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=$\frac{\pi }{4} $(s).

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc tức thời của chuyển động s=s(t) tại thời điểm t là:

 v(t)=s′(t)=12cos(6t+$\frac{\pi }{4}$).

Vậy vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=$\frac{\pi }{4} $(s):

v($\frac{\pi }{4}$)=s′($\frac{\pi }{4}$)=12cos($\frac{6\pi }{4}$+$\frac{\pi }{4}$)=6$\sqrt{2} $(cm/s).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm tlà: s′′(t)=v′(t)=−72sin(6t+$\frac{\pi }{4}$).

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=$\frac{\pi }{4} $(s):

s′′($\frac{\pi }{4}$)=−72sin($\frac{6\pi }{4}$+$\frac{\pi }{4}$)=−36$\sqrt{2} $(cm/s²).

Bài 51 trang 80 SBT Toán 11 CD tập 2: Kính viễn vọng không gian Hubble được triển khai vào ngày 24 tháng 4 năm 1990, bởi tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong nhiệm vụ này từ khi xuất phát tại t=0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy nhiên liệu rắn bị loại bỏ ở t= 126 (s) được xác định theo phương trình sau:

v(t)=0,001302t3−0,09029t2+23,61t−3,083(ft/s).

 (Nguồn: James Stewart, Calculus)

Tính gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm t= 100 (s) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Hướng dẫn trả lời:

Gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm t là:

v′(t)=0,003906t2−0,18058t+23,61.

Gia tốc tức thời của tàu con thoi trên tại thời điểm t=100(s) là:

v′(100)=0,003906.1002−0,18058.100+23,61=44,612(ft/s²)

Bài 52 trang 80 SBT Toán 11 CD tập 2: Sau khi uống đồ uống có cồn, nồng độ cồn trong máu tăng lên rồi giảm dần được xác định bằng hàm số C(t)=1,35te−2,802t, trong đó C (mg/ml) là nồng độ cồn, t (h) là thời điểm đo tính từ ngay sau khi uống 15 ml đồ uống có cồn.

(Nguồn: P. Wilkinson et al., Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State, 1977)

Giả sử một người uống hết nhanh 15 ml đồ uống có cồn. Tính tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn trong máu của người đó tại thời điểm t = 3 (h) (làm tròn kết quả đến hàng phần triệu).
Lời giải chi tiết

Tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn trong máu của người đó tại thời điểm t là:C′(t)=(1,35te−2,802t)′=1,35(e−2,802t−2,802te−2,802t)=1,35e−2,802t(1−2,802t).

Tốc độ chuyển hoá nồng độ cồn trong máu của người đó tại thời điểm t=3(h) là:C′(3)=1,35e−2,802.3(1−2,802.3)=0,002235(mg/ml).