Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Chương 8 Bài 5 Khoảng cách

Bài 45 trang 109, 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3a, AD=4a.

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC bằng:

A. 2,4a

B. 3a

C. 4a

D. 5a

b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng:

A. 2,4a

B. 3a

C. 4a

D. 5a

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 2,4a

B. 3a

C. 4a

D. 5a

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình chữ nhật, nên ta có AB⊥BC. Như vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là đoạn thẳng AB. Do AB=3a, nên đáp án cần chọn là đáp án B.

b) Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Khi đó khoảng cách từ A đến BD là đoạn thẳng AH.

Tam giác ABD vuông tại A, đường cao AH nên ta có BD=$\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}$=5a

Như vậy AH=$\frac{AB.AD}{BD}=\frac{3a.4a}{5a}=2,4a$

Đáp án cần chọn là đáp án A.

c) Do AB∥CD nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng này chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CD. Vì AD⊥DC nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD chính là đoạn thẳng AD. Mà AD=4a, nên đáp án đúng là đáp án C.

Bài 46 trang 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Hình dưới minh hoạ hình ảnh một chiếc gậy dài 3 m đặt dựa vào tường, góc nghiêng giữa chiếc gậy và mặt đất là 65^o. Đầu trên của chiếc gậy đặt vào vị trí M của tường. Khoảng cách từ vị trí M đến mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét) bằng:

A. 2,7 m

B. 2,8 m

C. 2,9 m

D. 3,0 m

Hướng dẫn trả lời:

Khoảng cách từ vị trí M đến mặt đất chính là đoạn thẳng MH trên hình vẽ.

Ta có $ \frac{MH}{MO}$=sin65^o⇒MH=MO.sin65^o≈2,7(m)

Đáp án đúng là A.

Bài 47 trang 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), AB⊥BC, SA=AB=3a, BC=4a. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

b) Giữa hai đường thẳng SA và BC.

c) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

d) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

e*) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do SA⊥(ABC), ta có SA⊥BC. Mà AB⊥BC nên (SAB)⊥BC. Do đó, B là hình chiếu của C trên (SAB), tức là khoảng cách từ C đến (SAB) là đoạn thẳng BC. Do BC=4a, nên khoảng cách từ C đến (SAB) là 4a.

b) Do SA⊥(ABC), ta có SA⊥AB. Mà AB⊥BC nên AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là đoạn thẳng AB. Do AB=3a, nên khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là 3a.

c) Gọi H là hình chiếu của điểm A trên SB. Theo câu a, ta có (SAB)⊥BC nên AH⊥BC. Vì AH⊥BC, AH⊥SB, ta có AH⊥(SBC). Vậy H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (SBC), điều này có nghĩa khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là đoạn thẳng AH.

Tam giác SAB vuông cân tại A, SA=AB=3a nên ta suy ra AH=$ \frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

d) Gọi M là hình chiếu của điểm B trên AC. Do SA⊥(ABC), ta suy ra SA⊥BM. Vì SA⊥BM, AC⊥BM nên (SAC)⊥BM. Vậy M là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAC), điều này có nghĩa khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là đoạn thẳng BM.

Tam giác ABC vuông tại B, đường cao BM, nên ta có $ \frac{1}{BM^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}$.

Suy ra BM=$ \frac{BA.BC}{\sqrt{BA^{2}+BC^{2}}}=\frac{3a.4a}{\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}}=\frac{12a}{5}$.

e) Lấy điểm D∈(ABC)sao cho ABCD là hình bình hành. Do $ \widehat{ABC}$=90o nên ABCD là hình chữ nhật. Suy ra CD⊥AD. Do SA⊥(ABC), ta có SA⊥CD. Do đó CD⊥(SAD).

Gọi N là hình chiếu của điểm A trên SD. Do CD⊥(SAD) nên CD⊥AN.

Như vậy ta có CD⊥AN, AN⊥SD nên AN⊥(SCD). Do AB∥CD nên AB∥(SCD). Mà SC∈(SCD) nên khoảng cách giữa AB và SC chính là khoảng cách giữa AB và (SCD), và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm A đến (SCD), và bằng AN.

Tam giác SAD vuông tại A, ta có

AN=$ \frac{SA.AD}{SD}=\frac{SA.AD}{\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}}=\frac{3a.4a}{\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}}=\frac{12a}{5}$

Bài 48 trang 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB=2a, AD=3a, tam giác (SAB) vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách:

a) Từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

b) Giữa hai đường thẳng SB và CD.

c) Giữa hai đường thẳng BC và SA.

d) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có SA⊥SB và SH⊥AB. Hơn nữa, do (SAB)⊥(ABCD) và AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra SH⊥(ABCD). Từ đó SH⊥BC.

Do ABCD là hình chữ nhật, ta suy ra AB⊥BC. Như vậy, do SH⊥BC, AB⊥BC ta suy ra (SAB)⊥BC. Như vậy B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng BC. Mà BC=3a, nên khoảng cách từ điểm C đến (SAB) là 3a.

b) Do ABCD là hình chữ nhật, ta suy ra CD∥AB, mà AB⊂(SAB) nên CD∥(SAB). Hơn nữa, do SB⊂(SBC), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD cũng chính là khoảng cách giữa CD và (SBC), và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm C đến (SBC). Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng BC, tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng 3a.

c) Theo câu a, ta có SA⊥SB. Hơn nữa, ta cũng có (SAB)⊥BC nên SB⊥BC. Như vậy, SB là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng SA và BC, điều này có nghĩa khoảng cách giữa SA và BC là đoạn thẳng SB.

Tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có AB²=2SB²⇒SB=$ \frac{AB}{\sqrt{2}}$

Mà AB=2a nên SB=$ \frac{2a}{\sqrt{2}}$=$ a\sqrt{2}$

Vậy khoảng cách giữa SA và BC là $ a\sqrt{2}$.

d) Theo câu a, ta có SH⊥(ABCD). Điều này có nghĩa khoảng cách từ S đến (ABCD) là đoạn thẳng SH.

Tam giác SAB vuông cân tại S có đường trung tuyến SH nên ta có SH=$ \frac{AB}{2}=\frac{2a}{2}=a$.

Vậy khoảng cách từ S đến (ABCD) là a.

Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO⊥(ABCD), SA=2a. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

b) Giữa hai đường thẳng SO và CD.

c) Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).

d*) Giữa hai đường thẳng AB và SD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có ABCD là hình vuông, nên AO⊥BD. Hơn nữa, do SO⊥(ABCD) nên SO⊥AO. Như vậy, do AO⊥BD, SO⊥AO nên AO⊥(SBD). Điều này có nghĩa O là hình chiếu của A trên (SBD). Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là đoạn thẳng AO.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a, nên AC=a$ \sqrt{2}$⇒AO=$ \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy khoảng cách từ A đến (SBD) là $ \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Gọi M là hình chiếu của O trên CD. Do O là tâm của hình vuông ABCD cạnh a, nên ta suy ra OM⊥CD và OM=$ \frac{a}{2}$.

Do SO⊥(ABCD), ta suy ra SO⊥OM.

Như vậy, do OM⊥CD, SO⊥OM, nên OM là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng SO và CD, điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và CD là đoạn thẳng OM.

Do OM=$ \frac{a}{2}$, ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và CD là $ \frac{a}{2}$.

c) Gọi H là hình chiếu của O trên SM. Vì SO⊥(ABCD) nên SO⊥CD, mà OM⊥CD nên (SOM)⊥CD, điều này suy ra OH⊥CD. Mà lại có OH⊥SM nên OH⊥(SCD).

Vậy H là hình chiếu của O trên (SCD), tức là khoảng cách từ O đến (SCD) là đoạn thẳng OH.

Tam giác SAO vuông tại O nên SO²=SA²−AO²=$ (2a)^{2}-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{7a^{2}}{2}$

Tam giác SOM vuông tại O có đường cao OH, nên ta có:

$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{SO^{2}}+\frac{1}{OM^{2}}=\frac{2}{7a^{2}}+\frac{4}{a^{2}}=\frac{30}{7a^{2}}$⇒OH=$ \sqrt{\frac{7a^{2}}{30}}=\frac{a\sqrt{210}}{30}$.

d) Gọi G là hình chiếu của A trên (SCD).

Ta có AB∥CD nên AB∥(SCD), mà SD⊂(SCD), nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD cũng bằng khoảng cách giữa AB và (SCD), và bằng khoảng cách từ A đến (SCD). Do G là hình chiếu của A trên (SCD), nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AG.

Do OH⊥(SCD), AG⊥(SCD) nên OH∥AG.

Tam giác ACG có OH∥AG, nên theo định lí Thales ta có $ \frac{OH}{AG}=\frac{CO}{CA}=\frac{1}{2}$.

Suy ra AG=2OH. Mà OH=$ \frac{a\sqrt{210}}{30}$ nên AG=$ \frac{a\sqrt{210}}{15}$

Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA′⊥(ABCD), AA′=2a, AC=a. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BCC′B′).

b) Giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (CDD′C′).

c*) Giữa hai đường thẳng BD và A′C.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Tam giác ABC đều (AB=BC=AC=a) nên ta suy ra AH⊥BC.

Do BB′⊥(ABCD), ta suy ra BB′⊥AH.

Như vậy, do AH⊥BC, BB′⊥AH nên AH⊥(BCC′B′), điều này có nghĩa H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCC′B′). Vậy khoảng cách từ A đến (BCC′B′) là đoạn thẳng AH.

Tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH nên AH=$ \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy khoảng cách từ A đến (BCC′B′) là $ \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp, nên (ABB′A′)∥(DCC′D′). Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng này cũng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCC′D′).

Gọi I là trung điểm của cạnh DC. Tam giác ADC có AB=DC=AC=a nên nó là tam giác đều. Suy ra AI⊥DC và AI=$ \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do DD′⊥(ABCD), ta suy ra DD′⊥AI. Như vậy, do AI⊥DC, DD′⊥AI nên AI⊥(DCC′D′). Điều này có nghĩa I là hình chiếu của  trên mặt phẳng (DCC′D′). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (DCC′D′), bằng khoảng cách từ A trên mặt phẳng (DCC′D′), là đoạn thẳng AI, và bằng $ \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD là hình thoi nên AC⊥BD và AO=$ \frac{AC}{2}=\frac{a}{2}$

Do AA′⊥(ABCD), nên AA′⊥BD. Như vậy, do AC⊥BD, AA′⊥BD nên (AA′C)⊥BD.

Gọi E là hình chiếu của O trên A′C. Vì OE⊂(AA′C), (AA′C)⊥BD nên OE⊥BD. Như vậy  OE là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng BD và A′C, điều này có nghĩa khoảng cách giữa BD và A′C là đoạn thẳng OE.

Tam giác CEO và CAA′có chung góc C và có góc vuông $ \widehat{CEO}=\widehat{CAA'}$ nên chúng đồng dạng với nhau. Suy ra $ \frac{OE}{AA'}=\frac{CO}{CA'}$⇒OE=$ \frac{AA'.CO}{CA'}$

Tam giác AA′C vuông tại A, nên A′C=$ \sqrt{A'A^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5}$.

Do đó OE=$ \frac{AA'.OC}{A'C}=\frac{2a.\frac{a}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$