Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Chương 6 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Bài 1 trang 33 SBT Toán 11 CD tập 2: Điều kiện xác định của x−7 là:

A. x∈R

B. x≠0

C. x≥0

D. x>0

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án B.

Từ định nghĩa lũy thừa với số nguyên: Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có: a−n=$\frac{1}{a^{n}}$

Bài 2 trang 33 SBT Toán 11 CD tập 2: Điều kiện xác định của  là:
A. x∈R

B. x≠0

C. x≥0

D. x>0

Hướng dẫn trả lời:

Từ định nghĩa lũy thừa với số hữu tỉ:

Cho số thực dương a và số hữu tỉ r= $ \frac{m}{n}$, trong đó m∈Z;n∈N∗,n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r xác định bởi: ar=$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Đáp án D.

Bài 3 trang 33 SBT Toán 11 CD tập 2: Điều kiện xác định của $ \sqrt[8]{x^{3}}$ là:
A. x∈R

B. x≠0

C. x≥0

D. x>0

Hướng dẫn trả lời:

Từ định nghĩa lũy thừa với số hữu tỉ:

Cho số thực dương a và số hữu tỉ r=$ \frac{m}{n}$, trong đó m∈Z;n∈N∗,n≥2. Lũy thừa của a với số mũ r xác định bởi: ar=$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

Đáp án D.

Bài 4 trang 33 SBT Toán 11 CD tập 2: Điều kiện xác định của  là:
A. x∈R

B. x≠0

C. x≥0

D. x>0

Hướng dẫn trả lời:

Từ định nghĩa lũy thừa với số thực:

Cho a là số thực dương, α là số vô tỉ, (r_n) là dãy số hữu tỉ và limr_n=α. Giới hạn của dãy số (a^rn) gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu a^α,a^α=limr_n.

Đáp án D.

Bài 5 trang 33 SBT Toán 11 CD tập 2: Giá trị của biểu thức P= $ 2^{1-\sqrt{2}}.2^{3+\sqrt{2}}.4^{\frac{1}{2}}$ bằng:

A. 128.

B. 64.

C. 16.

D. 32.

Hướng dẫn trả lời:

P=$ 2^{1-\sqrt{2}}.2^{3+\sqrt{2}}.4^{\frac{1}{2}}=2^{1-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}.(2^{2})^{\frac{1}{2}}=2^{4}.2^{1}=2^{5}=32$

Đáp án D.

Bài 7 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Nếu $ (2-\sqrt{3})^{a-1}<2+\sqrt{3}$ thì:
A. a>0.

B. a>1.

C. a<1.

D. a<0.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 0<2−$ \sqrt{3}$<1

Theo đề bài:

(2−$ \sqrt{3}$)a−1<2+$ \sqrt{3}$⇔(2−$ \sqrt{3}$)a−1<$ \frac{1}{2-\sqrt{3}}$⇔(2−$ \sqrt{3}$)a−1<(2−√3)−1⇔a−1>−1⇔a>0

Đáp án A.

Bài 8 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Nếu $ a^{\sqrt{3}}$<$ a^{\sqrt{2}}$ thì:
A. a>1.

B. a<1.

C. 0<a<1.

D. a>0.

Hướng dẫn trả lời:

Do $ a^{\sqrt{3}}$<$ a^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ ⇒0<a<1.

Đáp án C.

Bài 9 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Biểu thức P=$ \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x^{3}}}$ với x>0được rút gọn bằng:
A. P=$ x^{\frac{5}{3}}$

B. P=$ x^{\frac{7}{6}}$

C. P=$ x^{\frac{1}{3}}$

D. P=$ x^{\frac{5}{6}}$

Hướng dẫn trả lời:

P=$ \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x^{3}}}$=$ (x^{2}.x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}.x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{7}{6}}$

Chọn đáp án B.

Bài 10 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Biểu thức Q=$ a^{\sqrt{3}}.(\frac{1}{a})^{\sqrt{3}-1}$ với a>0 được rút gọn bằng:
A. $ \frac{1}{a}$

B. a3.

C. a.

D. 1.

Hướng dẫn trả lời:

Q=$ a^{\sqrt{3}}.(\frac{1}{a})^{\sqrt{3}-1}=a^{\sqrt{3}}.(a^{-1})^{\sqrt{3}-1}=a^{\sqrt{3}}.a^{1-\sqrt{3}}$ =a.

Đáp án C.

Bài 11 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) A= $ \sqrt[7]{3.\sqrt[5]{\frac{1}{3}}}$ với a=3                      

b) B= $ \frac{25\sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}$ với a=$ \sqrt{5}$

Hướng dẫn trả lời:

a)    A=$ \sqrt[7]{3.\sqrt[5]{\frac{1}{3}}}$=$(3^{1}.3^{\frac{-1}{5}})^{\frac{1}{7}}=(3^{1-\frac{1}{5}})^{\frac{1}{7}}=(3^{\frac{4}{5}})^{\frac{1}{7}}=3^{\frac{4}{35}}$

b)   B=$ \frac{25\sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}$=$\frac{5^{2}.5^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{5^{3}}}=\frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{3}{2}}}=5^{\frac{7}{3}-\frac{3}{2}}=5^{\frac{5}{6}}=((\sqrt{5})^{2})^{\frac{5}{6}}=(\sqrt{5})^{\frac{5}{3}}$.

Bài 12 trang 34 SBT Toán 11 CD tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

a) a=(√3−1)√2 và b=(√3−1)√3   

b) a=(√2−1)π và b=(√2+1)e 

c) a= $ \frac{1}{3^{400}}$ và b=$ \frac{1}{4^{300}}$                    

d) a= $ \frac{8}{\sqrt[4]{27}}$ và b=$ (\frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{3}{4}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do 0<√3−1<1 và √2<√3⇒(√3−1)√2>(√3−1)√3haya>b.

b) Ta có: b=(√2+1)e=($ \frac{1}{\sqrt{2}-1}$)e=(√2−1)−e.

Do 0<√2−1<1 và −e<π⇒(√2−1)π<(√2−1)−ehaya<b

c) Ta có: a=$ \frac{1}{3^{400}}=(\frac{1}{3^{4}})^{100}=(\frac{1}{81})^{100}$ và b=$ \frac{1}{4^{300}}=(\frac{1}{4^{3}})^{100}=(\frac{1}{64})^{100}$

     Do $ \frac{1}{81}<\frac{1}{64}$ và 100>0 ⇒($ \frac{1}{81}$)100<($\frac{1}{64}$)100 hay a<b

d) Ta có: a=$\frac{8}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2^{3}}{\sqrt[4]{3^{3}}}=\frac{(\sqrt[4]{16})^{3}}{\sqrt[4]{3^{3}}}=\frac{16^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{4}}}$

     Do $\frac{16}{3}>\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\frac{3}{4}$>0⇒$(\frac{16}{3})^{\frac{3}{4}}>(\frac{\sqrt{3}}{2})^{\frac{3}{4}}$ haya>b.

Bài 13 trang 35 SBT Toán 11 CD tập 2: Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:

a)  $ a^{\frac{1}{2}}>a^{\sqrt{3}}$                 

b)  $ a^{-\frac{3}{2}}>a^{\frac{2}{3}}$                  

c)  $ (\sqrt{2})^{a}>(\sqrt{3})^{a}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do $ \frac{1}{2}<\sqrt{3}$ và $ a^{\frac{1}{2}}>a^{\sqrt{3}}$⇒0<a<1.

b) Do $-\frac{3}{2}<\frac{2}{3}$ và $a^{-\frac{3}{2}}<a^{\frac{2}{3}}$ ⇒a>1.

c) Do $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ và $ (\sqrt{2})^{a}>(\sqrt{3})^{a}$⇒a<0.

Bài 14 trang 35 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho a>0,b>0. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) A=$ \frac{(\sqrt[4]{a^{3}b^{2}})^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}}$

b) B=$ \frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: A=$ \frac{(\sqrt[4]{a^{3}b^{2}})^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}}=\frac{a^{3}b^{2}}{\sqrt[3]{a^{6}b^{3}}}=\frac{a^{3}b^{2}}{a^{2}b}=ab$

b) Ta có: B=$ \frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}}}=a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Bài 15 trang 35 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho x,y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn:
a=$ \sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}$. Chứng minh rằng $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$
Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài: 

a=$ \sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}$⇔b⁶=$\sqrt{m^{12}+\sqrt[3]{m^{24}n^{12}}}+\sqrt{n^{12}+\sqrt[3]{m^{12}n^{24}}}$

⇔b⁶=$\sqrt{m^{12}+m^{8}n^{4}}+\sqrt{n^{12}+m^{4}n^{8}}$

⇔b⁶=$\sqrt{m^{8}(m^{4}+n^{4})}+\sqrt{n^{8}(m^{4}+n^{4})}$

⇔b⁶=m⁴$\sqrt{m^{4}+n^{4}}$+n⁴$\sqrt{m^{4}+n^{4}}$

⇔b⁶=(m⁴+n⁴)$\sqrt{m^{4}+n^{4}}$

⇔b⁶=($\sqrt{m^{4}+n^{4}}$)3⇔b²=$\sqrt{m^{4}+n^{4}}$

⇔b⁴=m⁴+n⁴ hay $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$

Bài 16 trang 35 SBT Toán 11 CD tập 2: Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có 10 g chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau t năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vi gam).
Hướng dẫn trả lời:

Chất phóng xạ có chu kì bán rã là T = 25 (năm).

Cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa.

Suy ra khối lượng của chất đó còn lại sau t năm là:

m=$ \frac{m_{o}}{2^{\frac{t}{T}}}$ trong đó m₀ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ đó.

Khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm là:

m=$ \frac{m_{o}}{2^{\frac{t}{T}}}$=$ \frac{10}{2^{\frac{120}{25}}}$≈0,359(g).