Giải SBT Toán học 11 tập 2 cánh diều Chương 5 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Bài 6 trang 16,17 SBT Toán 11 CD tập 2: Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, .. 19, 20; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét các biến cố:

A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2”;

B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”;

C: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5”; D: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5".

a) Biến cố C là biến cố hợp của:

A. Biến cố B và biến cố D.

B. Biến cố A và biến cố D.

C. Biến cố A và biến cố B.

D. Biến cố A và biến cố D hoặc biến cố B và biến cố D.

b) Biến cố D là biến cố giao của:

A. Biến cố B và biến cố C.

B. Biến cố A và biến cố B.

C. Biến cố A và biến cố C.

D. Biến cố A và biến cố C hoặc biến cố B và biến cố C

Hướng dẫn chi tiết

a) Biến cố C là biến cố hợp của biến cố A và biến cố B.

Đáp án C.

b) Biến cố D là biến cố giao của biến cố A và biến cố B.

Đáp án B.

Bài 7 trang 17 SBT Toán 11 CD tập 2: Một lớp học có 35 học sinh gồm 20 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 2 học sinh để phân công trực nhật.

a) Xét các biến cố sau:

A: “Hai học sinh được chọn đều là học sinh nam”;

B: “Hai học sinh được chọn đều là học sinh nữ”;

C: “Hai học sinh được chọn có cùng giới tính”.

Trong ba biến cố A, B, C, biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố còn lại?

 b) Xét các biến cố sau:

D: “Hai học sinh được chọn gồm một bạn nam và một bạn nữ”;

E: “Trong hai học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ”;

G: “Trong hai học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nam”.

Trong ba biến cố D, E, G, biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố còn lại?

Hướng dẫn trả lời:

a) Biến cố C là biến cố hợp của biến cố A và biến cố B.

b) Biến cố D là biến cố giao của biến cố E và biến cố G.

Bài 8 trang 17 SBT Toán 11 CD tập 2: Một ban văn nghệ có 20 người, trong đó có 8 nam và 12 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 người để tập múa. Xét các biến cố sau:

M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3”;

N: “Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3”;

P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3”.

Trong ba biến cố M, N, P, hai biến cố nào là xung khắc?

Hướng dẫn trả lời:

Trong ba biến cố M, N, P, biến cố M và biến cố P là xung khắc

Bài 9 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 3”;

C: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba lớn hơn 3”;

D: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 3”.

Trong các biến cố trên, tìm:

a) Một cặp biến cố xung khắc;

b) Ba cặp biến cố độc lập.

Hướng dẫn trả lời:

a) Cặp biến cố xung khắc là A và D.

b) Ba cặp biến cố độc lập là biến cố A và B, A và C, B và C.

Bài 10 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.

a) Viết các kết quả thuận lợi của không gian mẫu Ω và hai biến cố A: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”, B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

b) Viết các kết quả thuận lợi của mỗi biến cố A∪B,A∩B.

c) Tính P(A),P(B),P(A∪B),P(A∩B).Cho biết A và B có là hai biến cố xung khắc không; A và B có là hai biến cố độc lập không.

Hướng dẫn trả lời:

a) Các kết quả thuận lợi của không gian mẫu Ω: Ω={SN,SS,NS,NN}.

Các kết quả thuận lợi của biến cố A và B:

A={SN,SS,NS},B={SN,NS,NN}.

b) Tacó: A∪B={SN,SS,NS,NN},A∩B={SN,NS}.

c) Ta có:P(A)=$ \frac{3}{4}$,P(B)=$ \frac{3}{4}$,P(A∪B)=$ \frac{4}{4}$=1,P(A∩B)=$ \frac{2}{4}$=$ \frac{1}{2}$.

Bài 11 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thoả mãn P(A)=0,4;P(B)=0,5;P(A∪B)=0,6. Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử hai biến cố A và B xung khắc.

⇒P(A∪B)=P(A)+P(B)⇔0,6=0,4+0,5⇔0,6=0,9 (vô lý).

Vậy biến cố A và B không xung khắc.

Bài 12 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thoả mãn P(A)=0,3;P(B)=0,4;P(A∩B)=0,1. Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
Hướng dẫn trả lời:

Giả sử hai biến cố A và B độc lập.

⇒P(A∩B)=P(A).P(B)⇔0,1=0,3.0,4⇔0,1=0,12 (vô lý).

Vậy biến cố A và B không độc lập.

Bài 13 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.

a) Không gian mẫu Ω có bao nhiêu phần tử?

b) Xét các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là 2”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là 3”.

Tính xác suất của các biến cố A,B,A∩B.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=6.6=36.

b) Số phần tử của biến cố A là: n(A)=1.6=6.

Số phần tử của biến cố B là: n(B)=6.1=6.

Xác suất của các biến cố:

P(A)=$ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$,P(B)=$ \frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Ta có:A∩B={(2;3)}⇒n(A∩B)=1⇒P(A∩B)=$ \frac{n(A\cap B)}{n(\Omega )}=\frac{1}{36}$

Bài 14 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Cho hai biến cố độc lập A và B cùng liên quan đến một phép thử thoả mãn P(A)=0,2và P(B)=0,3. Tính xác suất của các biến cố: $ \bar{A}, \bar{B}$,A∩B, $ \bar{A}$∩B, A∩$ \bar{B}$ và $ \bar{A}$∩$ \bar{B}$.
Hướng dẫn trả lời:

Ta có: P($ \bar{A}$)=1−P(A)=1−0,2=0,8

P($\bar{B}$)=1−P(B)=1−0,3=0,7

Biến cố A và B độc lập ⇒P(A∩B)=P(A).P(B)=0,2.0,3=0,06

P($\bar{A}$∩B)=P($\bar{A}$).P(B)=0,8.0,3=0,24.

P(A∩$\bar{B}$)=P(A).P($\bar{B}$)=0,2.0,7=0,14.

P($\bar{A}∩\bar{B}$)=P($\bar{A}).P(\bar{B}$)=0,8.0,7=0,56.

Bài 15 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Hai bệnh nhân cùng nhiễm một loại virus. Xác suất biến chứng nặng của bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,25; khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập. Tính xác suất của các biến cố:

a) M: “Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều bị biến chứng nặng”;

b) N: “Bệnh nhân thứ nhất không bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng”;

c) Q: “Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai không bị biến chứng nặng”;

d) R: “Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều không bị biến chứng nặng”;

e) S: “Có ít nhất một trong hai bệnh nhân bị biến chứng nặng”.

Hướng dẫn trả lời:

Xét các biến cố A: “Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng” và B: “Bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng”.

Từ giả thiết, suy ra A, B là hai biến cố độc lập và P(A)=0,2;P(B)=0,25.

⇒P($ \bar{A})=1−P(A)=1−0,2=0,8;P(\bar{B}$)=1−P(B)=1−0,25=0,75

a) Do M=A∩B⇒P(M)=P(A∩B)=P(A).P(B)=0,2.0,25=0,05.

b) Ta thấy N=$ \bar{A}$∩B⇒P(N)=P($ \bar{A}$∩B)=P($ \bar{A})$.P(B)=0,8.0,25=0,2.

c) Ta thấy Q=A∩$\bar{B}⇒P(Q)=P(A∩\bar{B})=P(A).P(\bar{b}$)=0,2.0,75=0,15.

d) Ta thấyR=$ \bar{A}∩\bar{B}⇒P(R)=P(\bar{A}∩\bar{B})=P(\bar{A}).P(\bar{B}$)=0,8.0,75=0,6.

e) Ta thấy S=A∪B.

⇒P(S)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,2+0,25−0,05=0,4.

Bài 16 trang 18 SBT Toán 11 CD tập 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích chơi cầu lông, 20 học sinh thích chơi bóng bàn, 12 học sinh thích chơi cả cầu lông và bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”;

b) B: “Học sinh được chọn thích chơi bóng bản”;
c) C: “Học sinh được chọn vừa thích chơi cầu lông vừa thích chơi bóng bàn”;

d) D: “Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là câu lông hoặc bóng bàn”.

Hướng dẫn trả lời:

Mỗi cách chọn 1 học sinh từ 40 học sinh trong lớp cho ta một tổ hợp chập 1 của 40 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 1 của 40 phần tử và n(Ω)=$ C_{40}^{1}$=40.

a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A)= $ C_{25}^{1}$=25.

Xác suất của biến cố A là: P(A)= $ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$

b) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B)= $ C_{20}^{1}$=20.

Xác suất của biến cố B là: P(B)= $ \frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$.

c) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là n(C)= $ C_{12}^{1}$=12.

Xác suất của biến cố C là: P(C)= $ \frac{n(C)}{n(\Omega )}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$

d) Ta thấy D=A∪B,C=A∩B.

⇒P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=$ \frac{5}{8}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{33}{40}$

Bài 17 trang 19 SBT Toán 11 CD tập 2: Một nồi cơm điện gồm hai van bảo hiểm hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động tốt của van I và van II lần lượt là 0,8 và 0,6. Nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt. Tính xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn.
Hướng dẫn trả lời:

Xét các biến cố A: “Xác suất hoạt động tốt của van I” và B: “Xác suất hoạt động tốt của van II”.

Từ giả thiết, suy ra A, B là hai biến cố độc lập và P(A)=0,8;P(B)=0,6.

⇒P(A∩B)=P(A).P(B)=0,8.0,6=0,48

Xét biến cố C: “Xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn”.

Theo đề bài, nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt ⇒C=A∪B.

Xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn là:

⇒P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,8+0,6−0,48=0,92.

Bài 18 trang 19 SBT Toán 11 CD tập 2: Hai xạ thủ A và B cùng lúc bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng mục tiêu đó của hai xạ thủ A và B lần lượt là 0,6 và 0,65. Mục tiêu bị hạ nếu có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Tính xác suất của biến cố D: “Mục tiêu bị hạ bởi hai xạ thủ”.
Hướng dẫn trả lời:

Xét các biến cố E: “Xác suất bắn trúng mục tiêu đó của xạ thủ A” và F: “Xác suất bắn trúng mục tiêu đó của xạ thủ B”.

Từ giả thiết, suy ra E, F là hai biến cố độc lập và P(E)=0,6;P(F)=0,65.

Theo đề bài, mục tiêu bị hạ nếu có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu ⇒⇒ mục tiêu bị hạ bởi hai xạ thủ khi cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu ⇒D=E∩F.

⇒P(D)=P(E∩F)=P(E).P(F)=0,6.0,65=0,39.

Bài 19 trang 19 SBT Toán 11 CD tập 2: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: “Hai số được chọn là số chẵn”;

b) B: “Hai số được chọn là số lẻ”;

c) C: “Tổng của hai số được chọn là số chẵn”.
Hướng dẫn trả lời:

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 21 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 2 của 21 phần tử và n(Ω)=$ C_{21}^{2}$=210..

a) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn.

 Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A)= $ C_{10}^{2}$=45.

Xác suất của biến cố A là: P(A)= $ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{45}{210}=\frac{3}{14}$.

b) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ.

 Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B)= $ C_{11}^{2}$=55.

Xác suất của biến cố B là: P(B)= $ \frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{55}{210}=\frac{11}{42}$

c) Ta thấy, tổng của hai số được chọn là số chẵn khi hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Ta có: C=A∪B,A∩B=∅⇒n(C)=n(A)+n(B).

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là:

 n(C)=n(A)+n(B)=45+55=100.

Xác suất của biến cố C là: P(C)= $ \frac{n(C)}{n(\Omega )}=\frac{100}{210}=\frac{10}{21}$

Bài 20 trang 19 SBT Toán 11 CD tập 2: Trong một ngày bán hàng khuyến mại, cửa hàng để lẫn cả sản phẩm loại I và sản phẩm loại II vào một hộp, các sản phẩm có hình thức bề ngoài giống nhau và đồng giá. Trong hộp có 10 sản phẩm loại I và 18 sản phẩm loại II. Một người lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “Trong ba sản phẩm lấy được, có cả sản phẩm loại I và sản phẩm loại II”.
Hướng dẫn trả lời:

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ 28 sản phẩm trong hộp cho ta một tổ hợp chập 3 của 28 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các phần tử chập 3 của 28 phần tử và n(Ω)= $ C_{28}^{3}$=3276.

Xét các biến cố E: “Trong 3 sản phẩm được chọn có 1 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II” và F: “Trong 3 sản phẩm được chọn có 2 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II”.

Ta có: A=E∪F,E∩F=∅⇒n(A)=n(E)+n(F).

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố E là n(E)=$ C_{10}^{1}.C_{18}^{2}$=1530.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố F là n(F)=$ C_{10}^{2}.C_{18}^{1}$=810.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

 n(A)=n(E)+n(F)=1530+810=2340.

Xác suất của biến cố A là: P(A)= $ \frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{2340}{3276}=\frac{5}{7}$.