Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2 Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

a)  Có A={2; 4; 6}; B={3; 6}

b) Biến cố C là "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3"

Luyện tập 1 trang 16 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,...,12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia  hết cho 4". Phát biểu biến cố $A\cup B$ dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện

2. Biến cố giao

Hoạt động 2 trang 16 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Đối với các tập hợp A, B trong Hoạt động 1, ta đặt. Phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện

Hướng dẫn trả lời: 

Biến cố D là: "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn chia hết cho 3"

Luyện tập 2 trang 17 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố A: "Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn" và B: "Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ" Phát biểu biến cố $A\cap B$ dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện 

Hướng dẫn trả lời: 

Biến cố giao của hai biến cố A và B là: "

3. Biến cố xung khắc 

Hoạt động 3 trang 17 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Xét phép thử "Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp". Gọi Ω là không gian mẫu của phép thứ đó. Xét các biến cố:

A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ"

B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn"

a) Viết các tập con A, B của không gian Ω tương ứng với các biến cố A, B

b) Tìm tập hợp $A\cap B$Sau khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn và số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ"

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có A = {1; 3; 5}; B = {2; 4; 6}

=> $A\cap B $ = ∅

Luyện tập 3 trang 18 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc hay không?

A: "Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5"

B: "Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6"

Hướng dẫn trả lời: 

Có A: "2; 3; 4"; B: "7; 8; 9; 10; 11; 12"

=> $A\cap B $ = ∅

Vậy A và B là hai biến cố xung khắc

II. Biến cố độc lập

Hoạt động 4 trang 18 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: "Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần tung thứ nhất"

B: "Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai"

Đối với hai biến cố A và B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia không 

Hướng dẫn trả lời: 

Một kết quả thuận lợi cho biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia 

Luyện tập 4 trang 18 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:

A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố" 

B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số"

Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao

Hướng dẫn trả lời: 

- Ta có A = {2; 3; 5}; B= {4; 6} 

=> Biến cố A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

=> Biến cố A và B là hai biến cố xung khắc vì $A\cap B $ = ∅

III. Các quy tắc tính xác suất

1. Công thức cộng xác suất

Hoạt động 5 trang 19 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A: "Số được chọn là số chia hết cho 2" và biến cố B: "Số được chọn là số chia hết cho 7"

Tính $P(A), P(B), P(A\cup B) , P(A\cap B)$

Hướng dẫn trả lời:

Có A= {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, B={7; 14}

$P(A)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$

$P(B)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

=> $P(A\cap B)=\frac{1}{20}$

$P(A\cup B)=\frac{11}{20}$

Có $P(A\cup B)=P(A)+P(B)- P(A\cap B)$

Luyện tập 5 trang 20 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11" Tính $P(A\cup B)$

Hướng dẫn trả lời:

- Có A = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}; B={11, 22, 33, 44}

=>  $A\cap B $ = ∅

Đây là hai biến cố xung khắc

=> $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{7}{52}+\frac{4}{52}=\frac{11}{52}$

2. Công thức nhân xác suất

Hoạt động 6 trang 20 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Xét các biến cố độc lập A và B trong Ví dụ 4

a) Tính $P(A), P(B), P(A\cap B)$

b) So sánh $P(A\cap B)$ và $P(A).P(B)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Có $P(A)=\frac{3}{7}$

$P(B)=\frac{4}{7}$

$P(A\cap B)=\frac{12}{49}$

b) Ta thấy $P(A\cap B)=P(A).P(B)$

Luyện tập 6 trang 20 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để máy I và máy II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố C: "Cả hai máy của xưởng sản suất đều chạy tốt"

Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài, ta thấy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập

$P(C)=P(A).P(B)=0,8.0,9=0,72$

IV. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản

1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp

Luyện tập 7 trang 22 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai đường thẳng song song $d_{1}$ và $d_{2}$. Trên $d_{1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên $d_{2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Hướng dẫn trả lời:

Xét các biến cố 

H: "Ba đỉnh của tam giác là 3 điểm của cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$"

A: "Trong ba đỉnh của tam giác có 1 điểm thuộc $d_{1}$, 2 điểm thuộc $d_{2}$"

B: "Trong ba đỉnh của tam giác có 2 điểm thuộc $d_{1}$, 1 điểm thuộc $d_{2}$"

Do hai biến cố A và B xung khắc nên:

$n(H)=n(A)+n(B)$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 

$n(A)=C_{1}^{17}\cdot C_{2}^{20}=3230$ 

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:

$n(B)=C_{2}^{17}\cdot C_{1}^{20}=2720$ 

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là 

$n(H)=n(A)+n(B)=3230+2720=5950$ 

Có n(Ω)=C_{3}^{37}=7770 

=>$P(H) = \frac{5950}{7770}=\frac{85}{111}$

2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

Hoạt động 7 trang 22 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thùy chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bạn Thùy có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó 

Hướng dẫn trả lời:

Luyện tập 8 trang 23 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng 

Hướng dẫn trả lời:

Có n(Ω) =18C5 = 8568 

Xét biến cố A: "Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu vàng, 2 viên bi màu đỏ"

$n(A)=C_{1}^{5}\cdot C_{2}^{6}\cdot C_{2}^{7}=1575$

Xét biến cố B: "Trong 5 viên bi có 3 viên bi màu xanh, 1 viên bi màu vàng, 1 viên bi màu đỏ"

$n(B)=C_{3}^{5}\cdot C_{1}^{6}\cdot C_{1}^{7}=420$

Vậy xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng là: $\frac{1575+420}{8568}=\frac{95}{408}$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa"

B: "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa"

C: "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa"

D: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa"

Trong hai biến cố C, D, biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố A, B? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố A, B

Hướng dẫn trả lời:

Biến cố hợp (A và B): "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa" (C) là kết quả của việc ghép lại hai biến cố A và B, tức là xảy ra cùng lúc cả A và B. 

Biến cố giao (A giao B): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa" (D) là kết quả của việc giao của hai biến cố A và B, tức là ít nhất một trong A hoặc B xảy ra

: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:Bài 2 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều

A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4"

B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4"

C: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4"

Trong các biến cố trên, hãy:

a) Tìm cặp biến cố xung khắc

b) Tìm cặp biến cố độc lập 

Hướng dẫn trả lời:

a) Cặp biến cố xung khắc là A và C, vì nếu A xảy ra thì C không thể xảy ra, và ngược lại, nếu C xảy ra thì A không thể xảy ra.

b) Cặp biến cố độc lập là A và B, vì xảy ra hay không xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố B, và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố B cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố A. 

Bài 3 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12"

Hướng dẫn trả lời:

- Có n(Ω) = 90 

- Xét biến cố A: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11". Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 9

=> $P(A) = \frac{9}{90}=\frac{1}{10}$

- Xét biến cố B: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 12". Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B) = 8

=> $P(B) = \frac{8}{90}=\frac{4}{45}$

Vậy $P(M) = \frac{1}{10}+\frac{4}{45}=\frac{17}{90}$

Bài 4 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một hộp có 12 viên bi với cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng

Hướng dẫn trả lời:

Có n(Ω) =12C5 = 792

Xét biến cố A: "Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào"

=> n(A) = 7C5 = 21

Xét biến cố B: "Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh"

=> n(B) = 5C1.7C4 = 175

Xét biến cố M: "Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng"

Xét biến cố $\overline{M}$: "Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng"

Có $P(\overline{M})= \frac{21+175}{792}=\frac{49}{198}$

=> $P(M)=1-P(\overline{M}=1-\frac{49}{198}=\frac{149}{198}$

 Bài 5 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó

Hướng dẫn trả lời:

.Giả sử xác suất để Việt và Nam chọn cùng một mã đề là $\frac{1}{N}$, với N là tổng số mã đề khác nhau. Vậy xác suất để Việt chọn một mã đề và Nam chọn cùng mã đề đó là $\frac{1}{N}$, và xác suất để cả hai chọn đúng mã đề là $\frac{1}{N}$ . $\frac{1}{N}$

$P=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{32}$

Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi với cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bị màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bị màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bị. Tìm xác suất để 3 viên bị lấy ra có đúng hai màu.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: n(Ω) = $C_{20}^{3}=1140$

Gọi A là biến cố: "3 viên vi lấy ra có đúng hai màu"

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả ba màu"

Có $n(\overline{A})=(C_{1}^{9}.C_{1}^{6}.C_{1}^{5})+C_{3}^{9}+C_{3}^{6}+C_{3}^{5}=384$

=> $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega })=\frac{384}{1140}=\frac{32}{95}$

=> $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{32}{95}=\frac{63}{95}$