Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Khởi động

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức $h=550+450cos\frac{\pi }{50}t$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để vệ tinh cách mặt đất 1000 km thì $550+450cos\frac{\pi }{50}t=1000$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=450$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t=k2\pi (k\in Z),t\geq 0)$

$\Leftrightarrow t=k2\pi .\frac{50}{\pi }=100k(k\in Z)$

Vậy tại các thời điểm t = 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì $550+450cos\frac{\pi }{50}t=250$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=-300$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t\approx 2,3+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{50}t=-2,3+k2\pi (k\in Z,t\geq 0)$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 2,3)

$\Leftrightarrow t\approx \frac{115}{\pi }+100k$ hoặc $t\approx -\frac{115}{\pi }+100k (k\in Z.-,t\geq 0)$

Vậy tại các thời điểm $t\approx \pm \frac{115}{\pi }+100k$ (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì $550+450cos\frac{\pi }{50}t=100$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=-450$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t=\pi +k2\pi(k\in Z,t\geq 0)$

⇔ t = 50+100k (k∈ {0;1;2;3;...}

Vậy tại các thời điểm t = 50 + 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.

I. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Hoạt động 1: Cho hai phương trình (với cùng ẩn x):

$x^{2} ‒ 3x + 2 = 0$ (1)

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

a) Tìm tập nghiệm $S_{1}$ của phương trình (1) và tập nghiệm S2 của phương trình (2).

b) Hai tập $S_{1}, S_{2}$ có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có:

$x^{2} ‒ 3x + 2 = 0$ (1)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm $S_{1} = {1; 2}.$

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm $S_{2} = {1; 2}.$

b) Hai tập $S_{1}, S_{2}$ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Luyện tập 1: Hai phương trình x – 1 = 0 và $\frac{x^{2}-1}{x+1}=0$ có tương đương không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời: 

Tập nghiệm của phương trình x – 1 = 0 là S$_{1}$ = {1}.

Tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}-1}{x+1}$ là S$_{2}$ = {1}.

Vì $S_{1} = S_{2} nên hai phương trình x – 1 = 0 và $\frac{x^{2}-1}{x+1}=0$ tương đương.

Hoạt động 2: Khẳng định 3x ‒ 6 = 0 <=> 3x = 6 đúng hay sai?

Hướng dẫn trả lời: 

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm $S_{1}$ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S$_{2}$ = {2}.

Vì $S_{1} = S_{2}$ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết 3x ‒ 6 = 0 ⇔ 3x = 6.

Vậy khẳng định 3x ‒ 6 = 0 ⇔ 3x = 6 là khẳng định đúng.

Luyện tập 2: Giải phương trình: (x – 1)$^{2}$ = 5x – 11.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: (x – 1)$^{2}$ = 5x – 11.

⇔ x$^{2}$ – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x$^{2}$ – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x$^{2}$ – 7x + 12 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 4.

II. PHƯƠNG TRÌNH sinx=m

Hoạt động 3: 

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm $A_{0}, B_{0}$­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm $A_{0}, B_{0}$­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm $A_{1}, B_{1}$­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm $A_{1}, B_{1}$­.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với x ∈ [‒π; π] ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{π}{6}$ và x = $\frac{5π}{6}$

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm $A_{0}, B_{0}$ có hoành độ lần lượt là $x_{A_{0}}=\frac{π}{6}$ và $x_{B_{0}}=\frac{5π}{6}$

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{13π}{6}$ và x = $\frac{17π}{6}$

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm $A_{1}, B_{1}$ có hoành độ lần lượt là $x_{A_{1}}=\frac{13π}{6}$ và $x_{B_{1}}=\frac{17π}{6}$

Luyện tập 3:

a) Giải phương trình: $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Tìm góc lượng giác x sao cho sinx = sin55°

Hướng dẫn trả lời: 

a) Do $sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $sinx=sin\frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $ x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ $(k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ với k ∈ ℤ.

b) sinx = sin55°

$\Leftrightarrow$ x=55°+k360°  hoặc x = 180° - 55° + k360° $(k\in Z)$

<=> x= 55° + k360° hoặc x = 125° + k360° $(k\in Z)$

Vậy các góc lượng giác thỏa mãn sinx = sin55° là x = 55° + k360° và x = 125° + k360° với k ∈ ℤ.

Luyện tập 4: Giải phương trình $sin2x=sin(x+\frac{\pi }{4})$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $sin2x=sin(x+\frac{\pi }{4})$

$\Leftrightarrow 2x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $2x=\pi -(x+\frac{\pi }{4})+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $2x=\pi -x-\frac{\pi }{4}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $3x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $ và $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3}$ với $(k\in Z)$

III. PHƯƠNG TRÌNH cosx=m

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm $C_{0}, D_{0}$­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm $C_{0}, D_{0}$­.

b) Đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm $C_{1}, D_{1}$­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm $C_{1}, D_{1}$­.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với x ∈ [‒π; π] ta thấy cos x = $\frac{1}{2}$ tại x = $-\frac{π}{3}$ và x = $\frac{π}{3}$

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm $C_{0}, D_{0}$ có hoành độ lần lượt là $x_{C_{0}}=-\frac{π}{3}$ và $x_{D_{0}}=\frac{π}{3}$

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy cosx = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{5π}{3}$ và x = $\frac{7π}{3}$

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm $C_{1}, D_{1}$ có hoành độ lần lượt là $x_{C_{1}}=\frac{5π}{3}$ và $x_{D_{1}}=\frac{7π}{3}$

Luyện tập 5:

a) Giải phương trình: cosx = $-\frac{1}{2}$

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cos(‒87°)

Hướng dẫn trả lời: 

a) Do $cos\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên $cosx=cos\frac{2\pi }{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi $ (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi $ và $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi $với k ∈ ℤ.

b) cosx = cos(‒87°)

⇔ cosx = cos87°

<=> x = 87° + k360° hoặc x = -87° + k360° (k ∈ ℤ)

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = 87° + k360° và x = ‒87° + k360° với k ∈ ℤ.

Luyện tập 6: Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Hướng dẫn trả lời: 

• Ta có: $550+450cos\frac{\pi }{50}t=1000$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=450$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t=k2\pi (k\in Z),t\geq 0)$

$\Leftrightarrow t=k2\pi .\frac{50}{\pi }=100k(k\in Z)$

Vậy phương trình này có nghiệm t = 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) 

• Ta có $550+450cos\frac{\pi }{50}t=250$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=-300$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t\approx 2,3+k2\pi$ hoặc $\frac{\pi }{50}t=-2,3+k2\pi (k\in Z,t\geq 0)$

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 2,3)

$\Leftrightarrow t\approx \frac{115}{\pi }+100k$ hoặc $t\approx -\frac{115}{\pi }+100k (k\in Z.-,t\geq 0)$

Vậy phương trình này có nghiệm $t\approx \pm \frac{115}{\pi }+100k$ (với k ∈ ℤ, t ≥ 0)

• Ta có $550+450cos\frac{\pi }{50}t=100$

$\Leftrightarrow 450cos\frac{\pi }{50}t=-450$

$\Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{50}t=\pi +k2\pi(k\in Z,t\geq 0)$

⇔ t = 50+100k (k∈ {0;1;2;3;...}

Vậy phương trình này có nghiệm t = 50 + 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) 

IV. PHƯƠNG TRÌNH tanx=m

Hoạt động 5: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 35).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với x∈ $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ ta thấy tanx = 1 tại x= $\frac{π}{4}$

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng $(-\frac{π}{2};\frac{π}{2})$ tại điểm có hoành độ là $\frac{π}{4}$

Do hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx tại các điểm có hoành độ là x = $\frac{π}{4}$ +kπ (k ∈ Z).

b) Phương trình tanx = 1 có các nghiệm là x = $\frac{π}{4}$ +kπ (k∈ Z).

Luyện tập 7:

a) Giải phương trình: tanx = 0.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho tanx = tan67°.

Hướng dẫn trả lời: 

a) tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình tanx = 0 có các nghiệm là x = kπ với k ∈ ℤ.

b) tanx = tan67° ⇔ x = 67° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = 67° + k180° với k ∈ ℤ.

V. PHƯƠNG TRÌNH cotx=m

Hoạt động 6: Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 (Hình 36).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 trên khoảng (0; π), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = ‒1?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với x ∈ (0; π), ta thấy cotx = ‒1 tại x= $\frac{3π}{4}$

Do đó đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là $\frac{3π}{4}$

Do hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx tại các điểm có hoành độ là x = $\frac{3π}{4}$ +kπ (k ∈ Z).

b) Phương trình cotx = ‒1 có các nghiệm là x = $-\frac{3π}{4}$ +kπ (k ∈ Z).

Luyện tập 8:

a) Giải phương trình: cotx = 1.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cotx = cot(‒83°).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Do $cot\frac{\pi }{4}=1$ nên cotx = 1 ⇔ $cotx=cot\frac{\pi }{4}$ <=> $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình cotx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ với  

b) cotx = cot(‒83°)

⇔ x = ‒83° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = ‒83° + k180° với k ∈ ℤ.

Luyện tập 9: Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

a) sinx = 0,2;

b) cosx =  $-\frac{1}{5}$

c) tanx = $\sqrt{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

a) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

x ≈ 0,201 + k2π, k ∈ ℤ

và x ≈ π – 0,201 + k2π, k ∈ ℤ.

b) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình cosx = $-\frac{1}{5}$ có các nghiệm là: x ≈ ± 1,772 + k2π, k ∈ ℤ.

c) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình tanx = $\sqrt{2}$ có các nghiệm là: x ≈ 0,955 + kπ, k ∈ ℤ.

Bài tập

Bài tập 1: Giải phương trình 

a) $sin(2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $sin(3x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$

c) $cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) 2cos3x + 5 = 3

e) $3tanx = -\sqrt{3}$

g) $cotx - 3=\sqrt{3}(1-cotx)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $sin(2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi }{3})=sin(-\frac{\pi }{3})

$\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $2x-\frac{\pi }{3}=\pi -(-\frac{\pi }{3})+k2\pi$

$\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $2x=\pi +\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k2\pi $

$\Leftrightarrow 2x=k2\pi $ hoặc $2x=\frac{5\pi }{3}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=k\pi $ hoặc $x=\frac{5\pi }{3}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=k\pi $ và $x=\frac{5\pi }{3}+k\pi $ với $(k\in Z)$

b) $sin(3x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow sin(3x+\frac{\pi }{4})=sin(-\frac{\pi }{6})$

$\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi $ hoặc $3x+\frac{\pi }{4}=\pi -(-\frac{\pi }{6})+k2\pi $

$\Leftrightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $3x=\pi +\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}+k2\pi $

$\Leftrightarrow 3x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi $ hoặc $2x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ và $x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$ với k\in Z$

c) $cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=cos\frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi $ hoặc $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k4\pi $ hoặc $x=-\frac{5\pi }{6}+k4\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k4\pi $ và $x=-\frac{5\pi }{6}+k4\pi $ với $k\in Z$

d) 2cos3x + 5 = 3

⇔ cos3x = ‒1

⇔ 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

⇔ $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

e) $3tanx = -\sqrt{3}$

⇔ $tanx=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

⇔ $tanx=tan(-\frac{\pi }{6})$

⇔ $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in Z)$

g) $cotx - 3=\sqrt{3}(1-cotx)$

⇔ $costx-3=\sqrt{3}-\sqrt{3}cotx$

⇔ $(1+\sqrt{3})cotx=\sqrt{3}+3$

⇔ $cotx=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}}$

⇔ $cotx=\sqrt{3}$

⇔ $cotx=cot\frac{\pi }{6}$

⇔ $x=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi (k\in Z)$

Bài tập 2: Giải phương trình:

a) $sin(2x+\frac{\pi }{4})=sinx$

b) sin2x = cos3x

c) $cos^{2}2x = cos^{2}(x+\frac{\pi }{6})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $sin(2x+\frac{\pi }{4})=sinx$

$\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi }{4}=x+k2\pi $ hoặc $2x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi $ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi $ và $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

b) sin2x = cos3x

$\Leftrightarrow cos(\frac{\pi }{2}-2x)=cos3x$

$\Leftrightarrow cos3x=cos(\frac{\pi }{2}-2x)$

$\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi $ hoặc $3x=-(\frac{\pi }{2}-2x)+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}$ và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)$

c) $cos^{2}2x = cos^{2}(x+\frac{\pi }{6})$

$\Leftrightarrow \frac{1+cos4x}{2}=\frac{1+cos(2x+\frac{\pi }{3})}{2}$

$\Leftrightarrow cos4x=cos(2x+\frac{\pi }{3})$

$\Leftrightarrow 4x=2x+\frac{\pi }{3}+k2\pi $ hoặc $4x=-2x-\frac{\pi }{3}+k2\pi $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi $ hoặc $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi $ và $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

Bài tập 3: Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 3sinx + 2 = 0 trên khoảng $(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$

b) cosx = 0 trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 3sinx + 2 = 0

⇔ $sinx=-\frac{2}{3}$

Đường thẳng y = $-\frac{2}{3}$ và đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$ được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = $-\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng $(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$ tại 5 điểm A, B, C, D, E.

Vậy phương trình 3sinx + 2 = 0 có 5 nghiệm trên khoảng $(-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$

b) Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$ được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$ tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K.

Vậy phương trình cosx = 0 có 6 nghiệm trên đoạn $[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}]$

Bài tập 4: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d(t)=3sin[\frac{\pi }{182}(t-80)]+12$ với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$d(t)=3sin[\frac{\pi }{182}(t-80)]+12$

<=> $sin[\frac{\pi }{182}(t-80)]=0$

<=> $\frac{\pi }{182}(t-80)=k\pi $ (k∈ Z)

⇔ t - 80 = 182k (k∈ Z)

⇔ t = 80+182k (k∈ Z).

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

$\left\{\begin{matrix}k\in Z\\ 0<80+180k\leq 365\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\in Z\\ -80<182k\leq 285\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\in Z\\ -\frac{40}{91}<k\leq \frac{285}{182}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow k\in $ {0;1}

Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

b) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$3sin[\frac{\pi }{182}(t-80)]+12=15$

<=> $sin[\frac{\pi }{182}(t-80)]=1$

<=> $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k\pi $ (k∈ Z)

⇔ t - 80 = 91 + 364k (k∈ Z)

⇔ t = 171 + 364k (k∈ Z).

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

$\left\{\begin{matrix}k\in Z\\ 0<171+364k\leq 365\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\in Z\\ -171<364k\leq 194\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k\in Z\\ -\frac{171}{364}<k\leq \frac{97}{182}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow k=0 $

Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

Bài tập 5: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với d = $3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]$, trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m, 0 m?

Hướng dẫn trả lời: 

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

$|3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]|=3$

<=> $3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=3$ hoặc $3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=-3$

<=> $cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=1$ hoặc $cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=-1$ 

<=> $\frac{\pi }{3}(2t-1)=k2\pi $ hoặc $\frac{\pi }{3}(2t-1)=\pi +k2\pi $

<=> 2t - 1 = 6k hoặc 2t - 1 = 3+ 6k

<=> $t=3k+\frac{1 }{2}$ hoặc t = 3k + 2 (k ∈ ℤ )

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó t ∈ {$\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;...$}

Vậy t ∈ {$\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;...$} (giây) thì khoảng cách h là 3m

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

$|3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]|=0$

<=> $3cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=0$

<=> $cos[\frac{\pi }{3}(2t-1)]=0$ 

<=> $\frac{\pi }{3}(2t-1)=\frac{\pi }{2}+k\pi $

<=> $2t - 1 = \frac{3 }{2}+3k$

<=> $2t=3k+\frac{5 }{2}$ <=> $t = \frac{3}{2}k + \frac{5}{4}$ (k ∈ ℤ )

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó t ∈ {$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};...$}

Vậy t ∈ {$\frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};...$} (giây) thì khoảng cách h là 0m