Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1 Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

I. Hoạt động hoàn thành kiến thức

Hoạt động 1 trang 61 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm $x_{0}=1s$ trong bài toán tìm vận tốc tức thời

Hướng dẫn giải

$v(x_{0})=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{f(x_{1})-f(1)}{x_{1}-1}$

$=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{2}gx_{1}-\frac{1}{2}g}{x_{1}-1}$

$=\lim_{x_{1}\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{2}g(x_{1}-1)}{x_{1}-1}=\frac{1}{2}g\approx \frac{1}{2}.9,8\approx 4,9 (m/s)$

Luyện tập 1 trang 61 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ tại $x_{0}=2$ bằng định nghĩa

Hướng dẫn giải

Có $\Delta y=f(3+\Delta x)-f(3)=2.(3+\Delta x)-2.3=2\Delta x$

$=> \frac{\Delta y}{\Delta x}=2$

Ta thấy

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2)=2$

$=> f'(3)=2$

Hoạt động 2 trang 62 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm $M_{0}$ cố định thuộc (C) có hoành độ $x_{0}$. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác $M_{0}$, kí hiệu $x_{M}$ là hoành độ của điểm M và $k_{M}$ là hệ số góc của cát tuyến $M_{0}M.$

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn $k_{0}=\lim_{x_{M}\rightarrow x_{0}} k_{M}$

Khi đó, ta coi đường thẳng $M_{0}T$ đi qua $M_{0}$ và có hệ số góc là $k_{0}$ là ví trị giới hạn của cát tuyến $M_{0}M$ khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới $M_{0}$ . Đường thẳng $M_{0}T$ được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_{0}$, còn $M_{0}$ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc $k_{0}$ của tiếp tuyến $M_{0}T$ theo $x_{0}$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{0}$

Hướng dẫn giải

a) $k_{0}=\lim_{x\rightarrow x_{M}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0})$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_{0}$

$y=k_{0}(x-x_{0})+y_{0}$

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=x^{3}$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Hướng dẫn giải

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^{3}-x^{3}$

$=(x+\Delta x-x)[x(x+\Delta x)^{2}+x(x+\Delta x)+x^{2}]$

$=\Delta x(x^{2}+2x.\Delta x+(\Delta x)^{2}+x^{2}+x.\Delta x+x^{2})$

$=\Delta x.(3x^{2}+(\Delta x)^{2}+3x.\Delta x)$

Ta thấy

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(3x^{2}+(\Delta x)^{2}+3x.\Delta x)=3x^{2}$

=> f'(x)=3x^{2}$

Luyện tập 3 trang 63 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ tại điểm N (1; 1)

Hướng dẫn giải

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là

$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=-1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1;1) là

$y=-1(x-1)+1=-x+2$

Giải bài 1 trang 63 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=3x^{3}-1$ tại điểm $x_{0}=1$ bằng định nghĩa 

Hướng dẫn giải

$\Delta x=x-x_{0}=x-1$

$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f(x)-f(1)$

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^{3}-3}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=9$

Vậy $f'(1)=9$

Bài 2 trang 63 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Chứng minh rằng hàm số $f(x)=|x|$ không có đạo hàm tại điểm $x_{0}=0$ , nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x\neq 0$

Hướng dẫn giải

$y=\left | x \right |= x(x\geq 0)$ và $-x(x< 0)$

$=> y'=1(x\geq 0)$ và $-1(x< 0)$

Ta có $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}y'=1\neq -1=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}y'$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x=0

Bài 3 trang 63 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số $y=-2x^{2}+x$ có đồ thị (C)

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (2; -6) 

Hướng dẫn giải

a) $k_{0}=f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-2x^{2}+x-(-2.2^{2}+2)}{x-2 }$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-2x^{2}+x+6}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-(x-2)(2x+3)}{x-2}=-7$

b) $y=-7(x-2)-6$ => $y=-7x+8$

Bài 4 trang 63 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là $C(Q) = Q^{2} + 80Q + 3 500$

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C'(Q). Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm C'(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

Hướng dẫn giải

a) $C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}\frac{(Q^{2}+80Q+3500)-((Q+1)^{2}+80(Q+1)+3500)}{Q-Q-1}$

 $C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}\frac{(Q^{2}+80Q+3500)-(Q^{2}+2Q+1+80Q+80+3500)}{-1}$

$C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}(2Q+80)$

b) $C'(90)=2.90+80=260$ (USD)

=> Ý nghĩa: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD)