Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3: Cấp số nhân

Khởi động

Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.

Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

Hướng dẫn trả lời: 

Số lượng vi khuẩn lúc đầu $Q_{0}$ = 100 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (sau 20 = 1.20 phút) là: Q$_{1}$ = 100.2 = 200 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (sau 40 = 2.20 phút) là: Q$_{2} = 100.2.2 = 100.2^{2} $= 400 (vi khuẩn).

Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (sau 60 = 3.20 phút) là: Q$_{3}$ = 100.2.2.2 = 100.2$^{3}$ = 800 (vi khuẩn).

Tổng quát: Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n. 20 phút) là: Q$_{n} = 100.2^{n}$ (vi khuẩn).

Vì vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ thứ 9 (sau 180 = 9.20 phút) là: Q$_{9}$ = 100.2$^{9}$ = 51 200 (vi khuẩn).

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Cho dãy số $\frac{1}{3}$ ; 1; 3; 9; 27; 81; 243. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó $1:\frac{1}{3}=3$ lần.

Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3 : 1 = 3 lần.

Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9 : 3 = 3 lần.

Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27 : 9 = 3 lần.

Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81: 27 = 3 lần.

Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243:81 = 3 lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Luyện tập 1: Cho cấp số nhân (u$_{n}$) với u$_{1}$ = – 6, u$_{2}$ = – 2.

a) Tìm công bội q.

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn trả lời: 

a) (u$_{n}$) là cấp số nhân có công bội $q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

$u_{1}=-6;u_{2}=-2;u_{3}=(-6).(\frac{1}{3})^{2}=-\frac{2}{3};u_{4}=(-6)(\frac{1}{3})^{3}=-\frac{2}{9};u_{5}=(-6)(\frac{1}{3})^{4}=-\frac{2}{27}$

Luyện tập 2: Cho dãy số (u$_{n}$) với $u_{n} = 3.2^{n}$ (n ≥ 1). Dãy (u$_{n}$) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n+1} = 3.2^{n+1}$

⇒ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3.2^{n+1}}{3.2^{n}}=2$ với n ≥ 1

Vì vậy dãy (u$_{n}$) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 6 và công bội q = 2.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2: Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}$, công bội q.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo $u_{1}$ và q.

b) Dự đoán công thức tính $u_{n}$ theo $u_{1}$ và q.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: $u_{1}; u_{1}.q; u_{1}.q^{2}; u_{1}q^{3}; u_{1}q^{4}.$

b) Dự đoán công thức tính un theo $u_{1}$ và q là: $u_{n} = u_{1}q^{n-1}.$

Luyện tập 3: Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).

Hướng dẫn trả lời: 

Số tiền ban đầu T$_{1}$ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T$_{2}$ = 100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T$_{3}$ = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)$^{2}$ (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T$_{4}$ = 100.(1 + 6%)$^{2}$ + 100.(1 + 6%)$^{2}$.6% = 100.(1 + 6%)$^{3}$ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T$_{1}$ = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

T$_{n+1}$ = 100.(1 + 6%)$^{n}$ (triệu đồng).

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Hoạt động 3: Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}$, công bội q ≠ 1. Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} + ... + u_{1}q^{n-1}$.

a) Tính $S_{n}.q$ và $S_{n} – S_{n}.q$.

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính $S_{n}$ theo $u_{1}$ và q.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $S_{n}.q = (u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} + ... + u_{1}q^{n-1}).q = u_{1}.q + u_{1}.q^{2} + u_{1}q^{3} + ... + u_{1}q^{n}$

$S_{n} – S_{n}.q = u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} + ... + u_{1}q^{n-1} – (u_{1}.q + u_{1}.q^{2} + u_{1}q^{3} + ... + u_{1}q^{n})$

= $u_{1} – u_{1}q^{n}$

b) Ta có: $S_{n}-S_{n}q=u_{1}-u_{1}q^{n}$

<=> $S_{n}(1-q)=u_{1}(1-q^{n})$

<=> $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Vậy công thức tính $S_{n}$ là $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Luyện tập 4: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ với n = 5.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u$_{1}$ = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12}=\frac{3[1-(-2)^{12}]}{1-(-2)}=12285$

b) Ta có: $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ là một cấp số nhân với $u_{1} =\frac{1}{10}$ và công bội q=$\frac{1}{10}$

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{5}=\frac{\frac{1}{10}[1-(\frac{1}{10})^{5}]}{1-\frac{1}{10}}=0,1111$

Bài tập 

Bài tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5; – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005;

b) – 9; 3; – 1; $\frac{1}{3};-\frac{1}{9}$

c) 2; 8; 32; 64; 256

Hướng dẫn trả lời: 

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp $-\frac{1}{10}$ lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công bội q = – 0,5.

b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp $-\frac{1}{3}$ số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = – 9 và công bội q= $-\frac{1}{3}$

c) Ta có: $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=\frac{256}{64}\neq \frac{64}{32}$

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

Bài tập 2: Chứng minh mỗi dãy số (u$_{n}$) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_{n}=-\frac{3}{4}.2^{n}$

b) $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$

c) $u_{n}=(-0,75)^{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n+1}=-\frac{3}{4}.2^{n+1}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=(-\frac{3}{4}.2^{n+1}):(-\frac{3}{4}.2^{n})=2$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{5}{3^{n+1}}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5}{3^{n+1}}:\frac{5}{3^{n}}=\frac{1}{3}$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân

c) Ta có: $u_{n+1}=(-0,75)^{n+1}$

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=(-0,75)^{n+1}:(-0,75)^{n}=-0,75$

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân

Bài tập 3: Cho cấp số nhân (u$_{n}$) với số hạng đầu u$_{1}$ = – 5, công bội q = 2.

a) Tìm u$_{n}$;

b) Số – 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: $u_{n} = – 5.2^{n-1}$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét $u_{n} = – 5.2^{n-1} = – 320$

⇔ 2$^{n-1}$ = 64

⇔ n – 1 = 6

⇔ n = 7.

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

c) Xét $u_{n} = – 5.2^{n-1}$ = 160

⇔ 2$^{n-1}$ = – 32

⇔ n – 1 = – 5

⇔ n = – 4 ∉ ℕ*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.

Bài tập 4: Cho cấp số nhân (u$_{n}$) với $u_{1} = 3, u_{3}=\frac{27}{4}$

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{3}=u_{1}.q^{2}$

Xét $q^{2}=\frac{u_{3}}{u_{1}}=\frac{\frac{27}{4}}{3}=\frac{9}{4}\Rightarrow q=\pm \frac{3}{2}$

+) Với $q=-\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

$u_{1}=3,u_{2}=3.(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{4};u_{3}=\frac{27}{4};u_{4}=3.(-\frac{3}{2})^{3}=-\frac{81}{8};u_{5}=3.(-\frac{3}{2})^{4}=\frac{243}{16}$

+) Với $q=\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

$u_{1}=3,u_{2}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{27}{4};u_{4}=3.(\frac{3}{2})^{3}=\frac{81}{8};u_{5}=3.(\frac{3}{2})^{4}=\frac{243}{16}$

b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=-\frac{3}{2}$ là $S_{10}=\frac{3.[1-(-\frac{3}{2})^{10}]}{1-(-\frac{3}{2})}\approx -68$

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=\frac{3}{2}$ là $S_{10}=\frac{3.[1-(\frac{3}{2})^{10}]}{1-\frac{3}{2}}\approx 340$

Bài tập 5: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u$_{n}$ là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giải sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u$_{0}$ = 2 triệu dân và công sai q = 1%.

Khi đó số hạng tổng quát của u$_{n} = 2.(1 + 1%)^{n-1}$ (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u$_{10} = 2.(1 + 0,01)^{10-1}$ ≈ 2,19 (triệu dân).

Bài tập 6: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{1}$ = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{2}$ = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)$^{2}$ = 737,28 (triệu đồng).

b) Gọi u$_{n}$ là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (u$_{n}$) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u$_{0}$ = 800 triệu đồng và công bội q = 1 – 4%.

Khi đó công thức tổng quát để tính u$_{n}$ = 800.(1 – 4%)$^{n}$.

c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u$_{10}$ = 800.(1 – 4%)$^{10}$ ≈ 531,87 (triệu đồng).

Bài tập 7: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi un­ là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n ∈ ℕ)

Ta có: u­$_{1}$ = 100 (m).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u$_{2}$ = 100.75% (m).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: u$_{3}$ = 100.75%.75% = 100.(75%)$^{2}$ (m).

...

Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,75, có công thức tổng quát u$_{n}$ = 100.(0,75)$^{n-1}$ (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

$S_{10}=\frac{100[1-(0,75)^{10}]}{1-0,75}\approx 377,5$ (m)