Ôn tập kiến thức Toán 11 Cánh diều bài 3: Cấp số nhân

[toc:ul]

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1

Ta có số hạng thứ hai gấp số hạng đứng trước nó 1 : $\frac{1}{3}$ = 3 lần.

• Số hạng thứ ba gấp số hạng đứng trước nó 3 : 1 = 3 lần.
• Số hạng thứ tư gấp số hạng đứng trước nó 9 : 3 = 3 lần.
• Số hạng thứ năm gấp số hạng đứng trước nó 27 : 9 = 3 lần.
• Số hạng thứ sáu gấp số hạng đứng trước nó 81 : 27 = 3 lần.
• Số hạng thứ bảy gấp số hạng đứng trước nó 243 : 81 = 3 lần.

Vì vậy ta có kết luận kể từ số hạng thứ hai, ta thấy số hạng sau gấp 3 lần số hạng đứng trước nó.

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là:

u$_{n}$ = u$_{n-1}$.q với n ≥ 2

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u$_{n}$) là cấp số nhân với công bội q và u$_{n}$ ≠ 0 với mọi n ≥ 1 thì với số tự nhiên n = 2, ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$

Chú ý: Khí q = 1 thì cấp số nhân là một dãy không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Luyện tập 1

a) Công bội $q=\frac{1}{3}$

b) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đó: $-6; -2; -\frac{2}{3};-\frac{2}{9};-\frac{2}{27}$. 

Ví dụ 2: (SGK – tr.53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Luyện tập 2

Xét thương của các số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) với số hạng ngay trước nó, ta thấy: $\frac{12}{6}=\frac{24}{12}=\frac{48}{24}=\frac{96}{48}=2$. 

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội $q=2$. 

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

HĐ2.

a) Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$u_{1};u_{1}.q;u_{1}.q^{2};u_{1}.q^{3};u_{1}.q^{4}$

b) Dự đoán công thức tính u$_{n}$ theo u$_{1}$ và q là: $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$.

Số hạng tổng quát:

Nếu cấp số nhân (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát u$_{n}$ được xác định bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$ với n ≥ 2

Ví dụ 7: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn Giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 4: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54, 55).

Luyện tập 3

Số tiền ban đầu T$_{1}$ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T$_{2}$ =  100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (Triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T$_{3}$ = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)$^{2}$ (Triệu đồng)

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T$_{4}$ = 100.(1 + 6%)$^{2}$ + 100.(1 + 6%)$^{2}$.6% = 100.(1 + 6%)$^{3}$ (Triệu đồng). 

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T$_{1}$ = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

T$_{n+1}$ = 100.(1 + 6%)$^{n}$ (Triệu đồng)

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

HĐ3

a) Ta có: 

$S_{n}.q=(u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+...+u_{1}.q^{n-1}).q$

$=u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{3}+...+u_{1}.q^{n}$

$S_{n}-S_{n}.q=(u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+...+u_{1}.q^{n-1})-u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+u_{1}.q^{3}+...+u_{1}.q^{n}$

$=u_{1}-u_{1}.q^{n}$

b) Ta có: $S_{n}-S_{n}.q=u_{1}-u_{1}.q^{n}$

$\Rightarrow S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Vậy công thức tính $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$.

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q ≠ 1.

Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}+...+u_{1}.q^{n}$. Khi đó:

$S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì S$_{n}$ = n.u$_{1}$

Ví dụ 5: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Luyện tập 4

a) $n=12, q=-2$ nên $S_{12}=\frac{3\left [ 1-(-2)^{12} \right ]}{1-(-2)}=-4095$.

b) $n=5, q=\frac{1}{10}$ nên $S_{5}=\frac{\frac{1}{10}\left [ 1-(\frac{1}{10})^{5} \right ]}{1-(\frac{1}{10})}=0,11$. 

Ví dụ 6: (SGK – tr.55).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55, 56).