Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 5 Khoảng cách

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

II. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Hoạt động 1 trang 101 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí M trên tường có độ cao so với nền nhà là MH = 80 cm. Quan sát Hình 61, nền nhà gợi nên mặt phẳng (P), cho biết độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến điểm M và mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Độ dài đoạn thẳng MH gợi nên khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Luyện tập 1 trang 101 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC),  AI ⊥ BC $(I\in BC)$, AH ⊥ SI $(H\in SI)$. Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH 

 Hướng dẫn giải

Có SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Có AI ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAI)

=> BC ⊥ AH

mà AH ⊥ SI 

=> AH ⊥ (SBC) 

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH 

III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 

Hoạt động 2 trang 102 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 64, hai mép của con đường gợi nên hình ảnh hai đường thẳng song song $\Delta $ và $\Delta' $. Xét điểm A trên đường thẳng .

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta' $ có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng $\Delta $ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai đường thẳng song song $\Delta $ và $\Delta '?

 Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta' $ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng $\Delta $ 

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia

Luyện tập 2 trang 102 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Người ta dựng các cột đèn vuông góc với mặt đường, trong đó mỗi cột đèn gợi nên hình ảnh một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai chân cột đèn liên tiếp đo được là 5 m. Tại sao có thể nói khoảng cách giữa hai cột đèn đó là 5 m?

 Hướng dẫn giải

Giả sử ta có hai cột đèn liên tiếp và gọi chúng lần lượt là cột A và cột B. Khi các cột đèn được dựng thẳng đứng và vuông góc với mặt đường, thì đường thẳng mà cột A gợi lên và đường thẳng mà cột B gợi lên là song song nhau, tức là chúng không giao nhau.

Khi đó, ta có thể vẽ một đường thẳng qua hai chân của cột A và B, và khoảng cách giữa hai chân cột đèn liên tiếp chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng này. Vì hai đường thẳng này là song song nhau, nên khoảng cách giữa chúng là không đổi, và do đó ta có thể xác định khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp là 5m.

IV. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 

Hoạt động 3 trang 102 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột A là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) có phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng $\Delta $ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P)?

 Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên đường thẳng $\Delta $ 

b) Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng đó là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC))

 Hướng dẫn giải

Ta có: M là trung điểm của SA

N là trung điểm của SB

=> MN là đường trung bình của ASAB

⇒ MN || AB

⇒ MN || (ABC)

⇒ d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

⇒ $SH\perp  (ABC)$

Qua M kẻ đường thẳng song song với SH, cắt (ABC) tại K

⇒ $K\in AH, MK\perp  (ABC)$ ⇒ d (M, (ABC))= MK

$SH\perp  (ABC)⇒(SA, (ABC)) = (SA, HA)= \widehat{SAH} = 60$

=>$SH=SA. sin SAH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

M là trung điểm của SA, MK || SH

=> MK là đường trung bình của tam giác SAH

=> $MK=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

V. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Hoạt động 4 trang 103 Toán 11 tập 2 Cánh diều: 

a) Trong Hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song (P), (Q). Chiều cao của căn phòng là 3 m. Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song (P), (Q)?

b) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Xét điểm I tuỳ ý trong mặt phẳng (P), lấy K là hình chiếu của I trên (Q) (Hình 71). Khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) có phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?

 Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia 

b) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Xét điểm I tuỳ ý trong mặt phẳng (P), lấy K là hình chiếu của I trên (Q) (Hình 71). Khoảng cách IK từ điểm I đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trong mặt phẳng (P)

Luyện tập 4 trang 104 Toán 11 tập 2 Cánh diều:  Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’và mặt phẳng (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC).

 Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC)

=> $A'H\perp (ABC)$

=> $(AA', (ABC))= (AA', AH)=\widehat{A'AH}$

$\Delta AA'H$ vuông tại H

=> $A'H=AA'.sin\widehat{A'AH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì (ABC) // (A'B'C') nên $d((ABC), (A'B'C'))=d(A',(ABC))=A'H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

VI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 

Hoạt động 5 trang 104 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 73, khuôn cửa phía trên và mép cánh cửa phía dưới gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b chéo nhau, hai bản lề của cánh cửa nằm trên đường thẳng c.

Quan sát Hình 73 và cho biết đường thẳng c có vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng c có vừa cắt, vừa vuông góc với cả hai đường thẳng a và b

Luyện tập 5 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d (SA, BC) 

 Hướng dẫn giải

Vẽ AI trong đó I là trung điểm của BC

- Vì tam giác ABC đều => AI ⊥ BC 

- Vì SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AI 

=> d (SA, BC) = AI = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

B. Vận dụng giải bài tập: 

Bài 1 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 76 gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cột gỗ cao 4,2 m. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là bao nhiêu mét?

 Hướng dẫn giải

Khoảng cách giữa (P) và (Q) là cây cột gỗ gao 4,2m

 Bài 2 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình tứ diện ABCD có $AB=a, BC=b, \widehat{ABC}=\widehat{ABD}=\widehat{BCD}=90^{\circ}$. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD 

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

a) Có $\widehat{ABC}=90^{\circ}$

=> $AB\perp BC => d(C,AB)=BC=b$

b) Có AB\perp BC, AB\perp BD$

=> $AB \perp (BCD)$

=> $AB \perp CD$

mà $BC \perp CD (Vì \widehat{BCD}=90^{\circ})$

=> $CD\perp (ABC)$

=> $d(D,(ABC))=CD=\sqrt{BD^{2}-BC^{2}}=\sqrt{c^{2}-b^{2}}$

c) $AB\perp BC, BC \perp CD => d(AB, CD)=BC=b$

Bài 3 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:

a) Chứng minh rằng MN // BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.
b) Chứng minh rằng MP // (BCD). Tính khoảng cách từ đường thẳng MP đến mặt phẳng (BCD).
c) Chứng minh rằng (MNP) || (BCD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (BCD).

Hướng dẫn giải

a) Có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> $MN // BC$

- Có $AB \perp BC$ => $MB \perp BC$ => $d(MN,BC)=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$

b) Có M là trung điểm của AB, P là trung điểm của AD

=> MP là đường trung bình của tam giác ABD

=> $MP // BD$

mà $BD \subset (BCD)$

=> $MP // (BCD)$

Có $AB \perp (BCD) => MB \perp (BCD)$

=> $d(MP,(BCD))=d(M,(BCD))=MB=\frac{a}{2}$

c) Có $MN // BC, BC \subset (BCD)$

=> $MN // (BCD)$

mà $MP//(BCD)$

=> $(MNP)//(BCD)$

=> $d((MNP),(BCD))=d(M,(BCD))=MB=\frac{a}{2}$

Bài 4 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Hướng dẫn giải

a) Có $SA\perp (ABCD) => SA\perp CD$

Có ABCD là hình vuông => $AD \perp CD$

=> $CD \perp (SAD) => CD\perp SD$

=> $d(S,CD)=SD=\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=a\sqrt{2}$

b) $SA\perp (ABCD)=>SA\perp AD$

ABCD là hình vuông => $AB\perp AD$

=> $AD\perp (SAB)=>d(D,(SAB))=AD=a$

c) Kẻ $AH\perp SD$

$CD\perp (SAD) => CD\perp AH$

=>$AH\perp (SCD)=>d(A,(SCD))=AH$

Tam giác SAD vuông tại A có đường cao AH

=> $AH=\frac{SA.AD}{SD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 5 trang 106 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng BC // (SAD) và tính khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (SAD).
b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Hướng dẫn giải

a) ABCD là hình vuông => BC // AD

mà $AD \subset (SAD)$

=> $BC // (SAD) => d(BC,(SAD))=d(B, (SAD))$

$SA\perp (ABCD) => SA\perp AB$

ABCD là hình vuông

=> $AB\perp AD => AB\perp (SAD) => d(B, (SAD))=AB=a$

b) ABCD là hình vuông => $BD \perp AC$

$SA\perp (ABCD) => SA\perp BD$

=>$ BD \perp (SAC)$

Gọi $O=AC\cap BD, kẻ OH\perp SC$

Có $BD \perp (SAC) => BD \perp OH$

=> d(BD, SC)=OH

Có tam giác ABC vuông tại B

=> $AC=a\sqrt{2}$

=> $OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Có $SA\perp (ABCD) => SA\perp AC$

=> Tam giác SAC vuông tại A 

=> $SC=a\sqrt{3}$

Có $\Delta SAC\sim \Delta OHC$ (g.g)

=> $\frac{SA}{OH}=\frac{SC}{OC}$

=> $OH=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$