Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2 Phép tính Lôgarit

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Khái niệm Lôgarit

1. Định nghĩa 

Hoạt động 1 trang 34 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau:a) $3^{x}=9, 3^{x}=\frac{1}{9}$

b) Có bao nhiêu số thực x sao cho $3^{x}=5$

 Hướng dẫn giải

a) $3^{x}=9 => x=2$

$3^{x}=\frac{1}{9} => x=-2$

b) Có một số thực x sao cho: $3^{x}=5$

Luyện tập 1 trang 34 Toán 11 tập 2 Cánh diều:

$a) log_{3}81$

$b) log_{10}\frac{1}{100}$

Hướng dẫn giải

$a) log_{3}81=4$

$b) log_{10}\frac{1}{100}=-2$

2. Tính chất

Hoạt động 2 trang 35 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $a>0, a\neq 1$

a) $log_{a}1$

b) $log_{a}a$

c) $log_{a}a^{c}$

d) $a^{log_{a}b}$

Hướng dẫn giải

a) $log_{a}1=0$

b) $log_{a}a=1$

c) $log_{a}a^{c}=c$

d) $a^{log_{a}b}=b$

Luyện tập 2 trang 28 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính

a) $log_{4}\sqrt[5]{16}$

b)$36^{log_{6}8}$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{4}\sqrt[5]{16}=log_{4}(4^{2})^{\frac{1}{5}}=log_{4}4^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5}$

b)$36^{log_{6}8}=6^{log_{6}8}.6^{log_{6}8}=8.8=64$

3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

Luyện tập 3 trang 35 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức : $pH=-log[H^{+}]$ với $[H^{+}]$ là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là $10^{-4}$, nước dừa là 10^{-5} (nồng độ tính bằng mol $L^{-1}$
Hướng dẫn giải

Độ pH của cốc nước cam là: $-log_{}10^{-4}=4$

Độ pH của cốc nước dừa là: $-log_{}10^{-5}=5$

II. Một số tính chất của phép tính Lôgarit

1. Lôgarit của một tích, một thương

Hoạt động 3 trang 35 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho $m=2^{7}, n=2^{3}$

a) Tính $log_{2}mn; log_{2}m+log_{2}n$ và so sánh các kết quả đó 

b) Tính $log_{2}\frac{m}{n}; log_{2}m-log_{2}n$ và so sánh các kết quả đó 

 Hướng dẫn giải

a) $log_{2}mn=10$

$log_{2}m+log_{2}n=10$

Hai kết quả bằng nhau

b) $log_{2}\frac{m}{n}=4$

$log_{2}m-log_{2}n=4$

Hai kết quả bằng nhau

Luyện tập 4 trang 36 Toán 11 tập 2 Cánh diều: 

a) $ln(\sqrt{5}+2)+ln(\sqrt{5}-2)$

b) $log400-log4$

c) $log_{4}8+log_{4}12+log_{4}\frac{32}{3}$

 Hướng dẫn giải

a) $ln(\sqrt{5}+2)+ln(\sqrt{5}-2)$

$=ln ((\sqrt{5}+2).(\sqrt{5}-2))$

$=ln(5-4)=ln1=0$

b) $log400-log4=log\left ( \frac{400}{4} \right )=log100=2$

c) $log_{4}8+log_{4}12+log_{4}\frac{32}{3}$

$=log_{4}\left ( 8\cdot 12\cdot \frac{32}{3} \right )$

$=log_{4}1024=5$

2. Lôgarit của một lũy thừa 

Hoạt động 4 trang 36 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $a>0, a\neq 1, b>0, \alpha$ là một số thực

a) Tính $a^{log_{a}b^{\alpha }}$ và $a^{\alpha log_{a}b}$

b) So sánh $log_{a}b^{\alpha }$ và $\alpha log_{a}b$

 Hướng dẫn giải

a) Tính $a^{log_{a}b^{\alpha }}=b^{\alpha }$

$a^{\alpha log_{a}b}=b^{\alpha}$

b) $log_{a}b^{\alpha }=\alpha log_{a}b$

Luyện tập 5 trang 36 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính

$2log_{3}5-log_{3}50+\frac{1}{2}log_{3}36$

 Hướng dẫn giải

$2log_{3}5-log_{3}50+\frac{1}{2}log_{3}36$

$=log_{3}5^{2}-log_{3}50+log_{3}6$

$=log_{3}\frac{1}{2}+log_{3}6=log_{3}3=1$

3. Đổi cơ số của logarit

Hoạt động 5 trang 37 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho ba số thực dương a, b, c với $a\neq 1, b\neq 1$

a) Bằng cách sử dụng tính chất $c=b^{log_{b}c}$, chứng tỏ rằng $log_{a}c=log_{b}c\cdot log_{a}b$

b) So sánh $log_{b}c$ và $\frac{log_{a}c}{log_{a}b}$

Hướng dẫn giải

 a) $log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $

<=> $a^{log_{c}b}=a^{log_{a}b.log_{c}a }$

<=> $c^{log_{c}b}=(c^{log_{c}a})^{log_{a}b}$

<=> $b=a^{log_{a}b}$

<=> $b=b$ (luôn đúng)

b) Từ$ log_{c}b=log_{a}b.log_{c}a $ 

<=> $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

Luyện tập 6 trang 37 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính $5^{log_{125}64}$

 Hướng dẫn giải

$5^{log_{125}64}=5^{log_{5}64^{\frac{1}{3}}}=64^{\frac{1}{3}}=4$

III. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit

Luyện tập 7 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Sử dụng máy tính cầm tay để tính: $log_{7}19; log_{11}26$

 Hướng dẫn giải

$log_{7}19≈1,5$

$log_{11}26≈1,3$

Bài 1 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính 

a) $log_{12}12^{3}$       b) $log_{0,5}0,25$      c) $log_{a}a^{-3}$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{12}12^{3}=3$

b) $log_{0,5}0,25=log_{0,5}0,5^{2}=2$

c) $log_{a}a^{-3}=-3$

Bài 2 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính

a) $8^{log_{2}5}$      b) $\frac{1}{10}^{log81}$     c) $5^{log_{25}16}$

 Hướng dẫn giải

a) $8^{log_{2}5}=2^{3log_{2}5}=5^{3}=125$

b) $\frac{1}{10}^{log81}=10^{-1log81}=\frac{1}{81}$

c) $5^{log_{25}16}=5^{log_{5}16^{\frac{1}{2}}}=4$

Bài 3 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $log_{a}b=2$. Tính 

a) $log_{a}(a^{2}b^{3})$

b) $log_{a}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}$

c) $log_{a}(2b)+log_{a}\left ( \frac{b^{2}}{2} \right )$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{a}(a^{2}b^{3})=log_{a}a^{2}+log_{a}b^{3}$

$=2log_{a}a+3log_{a}b=2+6=8$

b)$log_{a}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}=log_{a}a\sqrt{a}-log_{a}b\sqrt[3]{b}$

$=log_{a}a.a^{\frac{1}{2}}-log_{a}.b.b^{\frac{1}{3}}$

$=log_{a}a^{\frac{3}{2}}.log_{a}b^{\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}-\frac{4}{3}.2=\frac{-7}{6}$

c) $log_{a}(2b)+log_{a}\left ( \frac{b^{2}}{2} \right )=log_{a}\left ( 2b\cdot \frac{b^{2}}{2} \right )$

$=log_{a}\frac{2b^{3}}{2}=log_{a}b^{3}=3.2=6$

Bài 4 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $a^{3}.b^{2}=100$. Tính giá trị của biểu thức:

$P=3loga+2logb$

 Hướng dẫn giải

$P=3loga+2logb$

$=loga^{3}+logb^{2}$

$=log(a^{3}.b^{2})=log100=2$

Bài 5 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H+] trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được $[H+] =8.10^{-8}$ % . Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?

 Hướng dẫn giải

Có $pH=-log[H^{+}]=-log8.10^{-8}≈7,1$

=> Không thích hợp

Bài 6 trang 38 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một vi khuẩn có khối lượng khoảng $5.10^{-13}$ gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là $6.10^{27}$ (gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

 Hướng dẫn giải

 Số lượng tế bào đạt đến khối lượng trái đất là:

$N=6.10^{27}.10^{3}:5.10^{-13}=1,2.10^{17}$

Số lần phân chia:

$N=N_{0}.2^{n} =>n=\frac{lgN-lgN_{0}}{lg2}=\frac{lg1,2.10^{17}-lg5.10^{-13}}{lg2}\approx 97,6$

Thời gian cần thiết: $97,6:3=32,5$ (giờ)