Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 1 trang 89 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát Hình 32 và cho biết:

a) Hình chiếu của đường thẳng MO trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào

b) Góc giữa đường thẳng MO và hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng (P) là góc nào

Hướng dẫn giải

a) Hình chiếu của đường thẳng MO trên mặt phẳng (P) là OH

b) Góc giữa đường thẳng MO và OH góc MOH

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giả sử ở những giây đầu tiên sau khi cất cánh, máy bay chuyển động theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc 20° và có tốc độ 200 km/h. Tính độ cao của máy bay so với mặt đất theo đơn vị mét sau khi máy bay rời khỏi mặt đất 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

 Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức tính độ cao của một vật chuyển động theo đường thẳng với vận tốc ban đầu và gia tốc: $h = h_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}.a.t^{2}$

Để tìm vận tốc ban đầu và gia tốc của máy bay, ta cần áp dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Trong trường hợp này, góc giữa đường thẳng của máy bay và mặt đất là 20°. Ta có thể sử dụng hệ thức sau để tính vận tốc ban đầu của máy bay theo đường thẳng:

$sin(20°) = \frac{v_{0}}{200}$

$=> v_{0} = 200.sin(20°) ≈ 68.4$ m/s

Gia tốc của máy bay trong trường hợp này là gia tốc tự do $g = 9.81 m/s^{2}$ (giả sử không có lực cản khí). Vì máy bay đang chuyển động theo đường thẳng, nên gia tốc của nó chỉ có hướng lên trên, bằng giá trị của gia tốc tự do.

Sau 2 giây kể từ khi máy bay cất cánh, thời gian đã trôi qua là t = 2 giây. Áp dụng công thức trên, ta tính được độ cao của máy bay so với mặt đất như sau:

$h = h_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}a.t^{2}$ $h ≈ 88$ mét

II. Góc nhị diện 

1. Khái niệm

Hoạt động 2 trang 91 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra, mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó 

 Hướng dẫn giải

Hai nửa mặt phẳng có chung bờ

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong không gian cho hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?

 Hướng dẫn giải

Số góc nhị diện mà hai mặt phẳng (a) và (B) tạo ra bằng số điểm trên đường thẳng d.

2. Số đo của góc nhị diện

Hoạt động 3 trang 92 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.

Qua một điểm O trên đường thẳng d, ta kẻ hai tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cùng vuông góc với đường thẳng d. Góc xOy gọi là góc phẳng nhị diện
của góc nhị diện đã cho (Hình 38).
Giả sử góc x’O’y’ cũng là góc phẳng nhị diện của góc nhị XSAdiện đã cho với O’ khác 0 (Hình 39).
Hãy so sánh số đo của hai góc xOy và x’Oy’.

 Hướng dẫn giải

Số đo hai góc bằng nhau 

Luyện tập 3 trang 93 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau

a) [B, SA, D]

b) [B, SA, C]

 Hướng dẫn giải

a) $SA\perp (ABCD)$

=> $SA\perp AB, SA\perp AD$

=> Góc BAD là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, D]

Có ABCD là hình vuông => $\widehat{BAD}=90^{\circ}$

b)  $SA\perp (ABCD)$

=> $SA\perp AB, SA\perp AC$

=> Góc BAC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C]

Có ABCD là hình vuông => $\widehat{BAC}=45^{\circ}$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều : Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].
b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].
c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

 Hướng dẫn giải

a) $SA\perp (ABCD) => SA\perp AB, SA\perp AC$

=> $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,C]

Có $AB=BC=AC=a$

=> Tam giác ABC đều

=> $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=60^{\circ}$

b) $SA\perp (ABCD) => SA\perp AB, SA\perp AD$

=> $\widehat{BAD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,D]

Có ABCD là hình thoi

=> $\widehat{BAD}=180^{\circ}-\widehat{ABC}=120^{\circ}$

c) $SA\perp (ABCD) => (SC,(ABCD))=(SC,AC)=\widehat{SCA}$

Tam giác SAC vuông tại A

=> $tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a}=1$

=> $\widehat{SCA}=45^{\circ}$

Bài 2 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

 Hướng dẫn giải

$SO\perp (ABCD) => (SA,(ABCD))=(SA,OA)=\widehat{SAO}$

Tam giác SAC là tam giác đều => $\widehat{SAO}=60^{\circ}$

=> $(SA,(ABCD))=60^{\circ}$

b) ABCD là hình vuông => $AC\perp BD$

$SO\perp (ABCD) => SO \perp AC$

=> $AC \perp (SBD)$

$=> (SA,(SBD))=(SA, SO)=\widehat{ASO}=\frac{1}{2}\widehat{ASC}=30^{\circ}$

c) $SO \perp (ABCD) => SO\perp MO, SO\perp DO$

$=> \widehat{MOD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,SO,D]

Có ABCD là hình vuông => $\widehat{AOD}=90^{\circ}$

Tam giác AMO vuông cân tại M => $\widehat{AOM}=45^{\circ}$

$=> \widehat{MOD}=\widehat{AOM} + \widehat{AOD}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$

Bài 3 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

 Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ, ta có AB là chiều dài con dốc, AE là độ cao của điểm A so với mặt nước biển, BD là độ cao của điểm B so với mực nước biển, BC là chiều cao của con dốc, độ dốc là góc BAC

Ta có: $AE=200, BD=220,AB=120$

AEDC là hình chữ nhật => $AE=CD=200$ => $BC=220-200=20$

Vì tam giác ABC vuông tại C

=> $sin\widehat{ABC}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{6}$

=> $\widehat{ABC} \approx 9,59^{\circ}$

=> Độ dốc của con dốc đó là 10,66%

Bài 4 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB=AC= 30 cm và BC = $30\sqrt{3}$ cm.

 Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính

=> $d\perp AB, d\perp AC$

=> $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính

Xét tam giác ABC có 

$cos \widehat{ABC}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB.AC}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{BAC}=120^{\circ}$

Bài 5 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là $\widehat{B}, \widehat{C}, \widehat{D}, \widehat{E}$ trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, $\widehat{A}=\widehat{G}=90, \widehat{B}= \widehat{E}=x, \widehat{C}=\widehat{D}=y$ . Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

 Hướng dẫn giải

Kẻ $CH \perp AG(H\in AG),DK\perp AG(K\in AG)$

Gọi $I=BE\cap CH, J=BE\cap DK$

ABEG là hình chữ nhật => $BE=AB=12$

CDKH,CDJI là hình chữ nhật => $IH=JK=AB=2$

$AH=GK=BI=EJ=\frac{AG-HK}{2}=\frac{12-1}{2}=5,5$

$CD=d(C,AG)=4 =>CI=CH-IH=2$

Có tam giác BCI vuông tại I 

=> $tan\widehat{CBI}=\frac{CI}{BI}=\frac{2}{5,5}=\frac{4}{11}$

=> $\widehat{CBI}\approx 19,98^{\circ}$

=> $x=\widehat{ABI}+\widehat{CBI}=90^{\circ}+19,98^{\circ}=110^{\circ}$

=>$ y=180^{\circ}-x=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

Bài 6 trang 94 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC). Gọi a là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosa.

 Hướng dẫn giải

Kẻ $AH\perp BC (H\in BC)$

=> $SA\perp (ABC)$ => $SA\perp BC$

=> $BC \perp (SAH)$ => $BC\perp SH$

=> $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,BC,S]

=> $\widehat{SHA}=\alpha$

Có $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{\frac{1}{2}BC.SH}=cos\widehat{SHA}=cos\alpha$