Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2 Các quy tắc tính đạo hàm

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản

1. Đạo hàm của hàm số $y=x^{n} (n\in\mathbb{N} ,n>1)$

Hoạt động 1 trang 64 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x^{2}$ tại điểm $x_{0}$ bất kí bằng định nghĩa

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^{n}$ tại điểm x bất kì 

Hướng dẫn giải

a) $y'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}} =\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}$

b) $y=x^{n}$

=> $y'=n.x^{n-1}$

Luyện tập 1 trang 64 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hàm số $y=x^{22}$

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì 

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_{0}=-1$

Hướng dẫn giải

a) $y'=22x^{21}$

b) $y (-1)= 22.(-1)^{21}=-22$

2. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x_{0}=1$ bằng định nghĩa 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{x^{\frac{1}{2}}-x_{0}^{\frac{1}{2}}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{e^{\frac{1}{2}lnx}-e_{0}^{\frac{1}{2}lnx_{0}}}{x-x_{0}}$

$=\frac{1}{2}x_{0}^{\frac{1}{2}}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ln\left ( \frac{x}{x_{0}} \right )}{x-x_{0}}$

$=2x_{0}^{2}\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x}{x_{0}}-1}{x-x_{0}}$

$=\frac{1}{2}x_{0}^{\frac{1}{2}}lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{x_{0}}=\frac{1}{2}x_{0}^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{x_{0}}$

$=> f'(1)=\frac{1}{2}.1^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{1}=\frac{1}{2}$

 Luyện tập 2 trang 65 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{x}$ tại điểm $x_{0}=9$

 Hướng dẫn giải

- Có $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

=> $f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$

3.  Đạo hàm của hàm số lượng giác

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$ , tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{sinx-sinx_{0}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{2.cosx\frac{x+x_{0}}{2}.sin\frac{x-x_{0}}{2}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{2.\frac{x-x_{0}}{2}.cos\frac{x+x_{0}}{2}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}cos\frac{x+x_{0}}{2}=cos\frac{2x_{0}}{2}=cosx_{0}$

=> $(sinx)'=cosx$

Luyện tập 3 trang 65 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=sinx$ tại điểm $x_{0}=\frac{\pi }{2}$

Hướng dẫn giải

Có $f'(x)=cosx$

$=> f'\left ( \frac{\pi }{2} \right )=cos\frac{\pi }{2} =0$

Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = cos x$ tại điểm x bất kì 

 Hướng dẫn giải

 $f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{cosx-cosx_{0}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{-2.sin\frac{x+x_{0}}{2}.sin\frac{x-x_{0}}{2}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{-2.\frac{x+x_{0}}{2}.sin\frac{x-x_{0}}{2}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}-sin\frac{x+x_{0}}{2}=-sin\frac{2x_{0}}{2}=-sinx_{0}$

$=>f'(x)=(cosx)'=-sinx$

Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một vật dao động theo phương trình $f(x)=cosx$, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $x_{0}=2$ (s)

 Hướng dẫn giải

Để tính vận tốc của vật dao động tại một thời điểm xác định, ta cần lấy đạo hàm của hàm f(x) theo x tại thời điểm đó

Có $f'(x)=-sinx$

=> $f'(2) = -sin(2)$

Giải hoạt động 5 trang 66 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=tanx$ tại điểm x bất kì 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{tanx-tanx_{0}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{sinx}{cosx}-\frac{sinx_{0}}{cosx_{0}}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{cosx.cosx_{0}}=\frac{1}{cos^{2}x_{0}}=1+tan^{2}x$

Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=tanx$ tại điểm $x_{0}=\frac{-\pi }{6}$

 Hướng dẫn giải

Có $f'(x)=\frac{1}{cos^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}\frac{-\pi }{6}}=\frac{4}{3}$

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=cotx$ tại điểm x bất kì 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{cotx-cotx_{0}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{cosx}{sinx}-\frac{cosx_{0}}{sinx_{0}}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}-\frac{1}{sinxsinx_{0}}=\frac{-1}{sin^{2}x_{0}}$

Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=cotx$ tại điểm $x_{0}=\frac{-\pi }{3}$

 Hướng dẫn giải

$f'(x)=-\frac{1}{sin^{2}x}=-\frac{1}{sin^{2}\frac{-\pi }{3}}=\frac{-4}{3}$

Hoạt động 7 trang 67 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$, tính đạo hàm của hàm số $y=e^{x}$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{e^{x+x_{0}}-e^{x}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{e^{x}(e^{x_{0}}-1)}{x}$

$=e^{x}.\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{e^{x_{0}}-1}{x}=e^{x}$

$=> f'(x)=e^{x}$

Luyện tập 7 trang 67 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=10^{x}$ tại điểm $x_{0}=-1$

 Hướng dẫn giải

$f'(x)=10^{x}.ln10$

$=> f'(-1)=10^{-1}.ln10=\frac{ln10}{10}$

5. Đạo hàm của hàm số logarit

Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$, tính đạo hàm của hàm số $y=lnx$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa 

 Hướng dẫn giải

$f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{lnx-lnx_{0}}{x-x_{0}}$

$=\frac{1}{lne}\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ln\frac{x}{x_{0}}}{x-x_{0}}$

$=\frac{1}{lne}\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x}{x_{0}}-1}{x-x_{0}}=\frac{1}{lne}\lim_{u\rightarrow x_{0}}\frac{\frac{x-x_{0}}{x_{0}}}{x-x_{0}}=\frac{1}{x_{0}lne}$

=> $(lnx)'=\frac{1}{xlne}=\frac{1}{x}$

Luyện tập 8 trang 67 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=logx$ tại điểm $x_{0}=\frac{1}{2}$

 Hướng dẫn giải

$f'(x)=\frac{1}{xln10}$

$=> f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{\frac{1}2{}ln10}$

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Hoạt động 9 trang 68 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm $x_{0}\in (a; b)$

 Xét hàm số $h(x)=f(x)+g(x),x\in (a; b)$. So sánh 

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{h(x_{0}+\Delta x)-h(x_{0})}{\Delta x} $ và 

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} +\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}{\Delta x}$

b) Nêu nhận xét về $h'(x_{0}) và f'(x_{0})+g'(x_{0})

 Hướng dẫn giải

a) Có $\Delta x=x-x_{0},\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(x_{0}+\Delta x)-h(x_{0})}{\Delta x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(x)-h(x_{0}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_{0})-g(x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}{\Delta x}$

b) $h'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0})$

Luyện tập 9 trang 68 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số: $f(x)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì 

 Hướng dẫn giải

$f'(x)=\sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}$

Luyện tập 10 trang 69 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=tanx+cotx$ tại điểm $x_{0}=\frac{\pi }{3}$

 Hướng dẫn giải

$f'(x)=\frac{1}{cos^{2}x}-\frac{1}{sin^{2}x}$

$=> f'(\frac{\pi }{3})=\frac{1}{cos^{2}\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{sin^{2}\frac{\pi }{3}}=\frac{8}{3}$

2. Đạo hàm của hàm hợp

Hoạt động 10 trang 69 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số $y=f(u)=sinu; u=g(x)=x^{2}$

a) Bằng cách thay u bởi $x^{2}$ trong biểu thức $sinu$, hãu biểu thị giá trị của y theo biến số x

b) Xác định hàm số $y=f(g(x))$

 Hướng dẫn giải

a) $f(u)=sinx^{2}$

b) Hàm số: $y=f(x^{2})=sinx^{2}$

Luyện tập 11 trang 69 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hàm số $y=log_{2}(3x+1)$ là hàm hợp của hai hàm số nào 

 Hướng dẫn giải

Hàm số $y=log_{2}(3x+1)$ là hàm hợp của hai hàm số $y=log_{2}(u)$, $u=3x+1$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 71 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $u = u(x)$, $v = v(x)$, $w = w(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) $(u+v+w)'=u'+v+w';$

b) $(u+v-w)'=' + v'-w';$

c) $(uv)'=u'v';$

d) $\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'}{v'}$ với $v=v(x)\neq 0, v'=v'(x)\neq 0$

 Hướng dẫn giải

Phát biểu a, b là phát biểu đúng

Bài 2 trang 71 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho $u= u(x), v = v(x), w = w(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Chứng minh rằng $(u.v.w)'=u' .v.w+u.v'.w+u.v.w'$

 Hướng dẫn giải

Có $(u.v)'=u'v+uv'$

=> $(u.v.w)'=u' .v.w+u.v'.w+u.v.w'$

Bài 3 trang 71 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau

a) $y=4x^{3}-3x^{2}+2x+10$

b) $y=\frac{x+1}{x-1}$

c) $y=-2x\sqrt{x}$

d) $y=3sinx+4cosx-tanx$

e) $y=4^{x}+2e^{x}$

g) $y=xlnx$

 Hướng dẫn giải

a) $y=4x^{3}-3x^{2}+2x+10$

$y'=12x^{2}-6x+2$

b) $y=\frac{x+1}{x-1}$

$y'=(x+1)\cdot \frac{1}{x-1}$

$y'=\frac{1}{x-1}+\frac{-x-1}{(x-1)^{2}}=\frac{-2}{(x-1)^{2}}$

c) $y=-2x\sqrt{x}$

$y'=-2\sqrt{x}+(-2x)\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y'=-2\sqrt{x}-\frac{2x}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}-\sqrt{x}=-3\sqrt{x}$

d) $y=3sinx+4cosx-tanx$

$y'=3cosx-4sinx-\frac{1}{cos^{2}x}$

e) $y=4^{x}+2e^{x}$

$y'=4^{x}ln4+2e^{x}$

g) $y=xlnx$

$y'=lnx+1$

Bài 4 trang 71 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hàm số $f(x)=2^{3x+2}$

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào 

b) Tìm đạo hàm f(x)

 Hướng dẫn giải

 a) Hàm số f(x) là hàm hợp của hai hàm số $y=2^{u}, u=3x+2$

b) $f'(x)=3.2^{3x+2}.ln2$

Bài 5 trang 72 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: 

a) $sin3x+sin^{2}x$

b) $log_{2}(2x+1)+3^{-2x+1}$

 Hướng dẫn giải

a) $sin3x+sin^{2}x$

$y'= 3cos3x+sin2x$

b) $log_{2}(2x+1)+3^{-2x+1}$

$y'=\frac{2}{(2x+1)ln2}+(-2).3^{-2x+1}.ln3$