Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Mặt phẳng nghiêng thường được sử dụng trong lao động vì tính tiện dụng của nó. Quan sát hình mặt phẳng nghiêng (P) và mặt đất (Q) trong hình dưới đây và tìm hiểu tại sao:

• $\widehat{CAK}$ được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q)
• $\widehat{CBK}$ được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

Hướng dẫn trả lời:

K là hình chiếu vuông góc của C lên (Q). Nên $\widehat{CAK}$ được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q)

$(P) \cap (Q), CB \perp AB, BK \perp AB$ nên $\widehat{CBK}$ được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khám phá 1: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P)

a) Trong trường hợp a vuông góc với (P), tìm góc giữa a và một đường thẳng b tuỳ ý trong (P)

b) Trong trường hợp a không vuông góc với (P), tìm góc giữa a và đường thẳng a' là hình chiếu vuông góc của a trên (P)

Hướng dẫn trả lời:

a) Nếu $a \perp (P)$ thì a vuông góc với mọi đường thẳng thuộc (P)

Góc giữa a và một đường thẳng b tuỳ ý trong (P) là $90^{o}$

b) $(a,a') = \alpha$

Thực hành 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng (ABCD)

a) AA'

b) BC'

c) A'C

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $AA' \perp (ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng AA' và (ABCD) là $90^{o}$

b) $CC' \perp (ABCD)$ nên C là hình chiếu vuông góc của C' lên (ABCD).

Suy ra góc giữa BC' và (ABCD) là $\widehat{C'BC} = 45^{o}$ (Vì BCC'C' là hình vuông)

c) Gọi cạnh của hình lập phương là a

Ta có: $AC =a\sqrt{2}, tan\widehat{ACA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\widehat{ACA'} = 35^{o}$

$AA' \perp (ABCD)$ nên A là hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD)

Suy ra góc giữa A'C và (ABCD) là $\widehat{ACA'} = 35^{o}$

Vận dụng 1: Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết AB = 1 m, AB = 3,5 m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $DK = CH = 2, AK = \sqrt{AD^{2}-DK^{2}}=\frac{\sqrt{33}}{2}$

$BK = \sqrt{AK^{2}+AB^{2}}=\frac{\sqrt{37}}{2}$

$tan\widehat{DBK} = \frac{DK}{KB}$. Nên $\widehat{DBK} = 43,4^{o}$

Góc giữa đường thẳng BD và đáy hố là $43,4^{o}$

2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện

Khám phá 2: Cho hai đường thẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Hãy gọi tên các nửa mặt phẳng có chung bờ d. Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành bao nhiêu phần?

Hướng dẫn trả lời:

Các nửa mặt phẳng chia không gian thành 4 phần

Khám phá 3: Cho góc nhị diện $[P_{1},d,Q_{1}]$. Gọi O là một điểm tuỳ ý trên d, Ox là tia nằm trong $(P_{1})$ và vuông góc với d, Oy là tia nằm trong $(Q_{1})$ và vuông góc với d (Hình 6)

a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và mp(Ox, Oy)

b) Nêu nhận xét về số đo của góc xOy khi O thay đổi trên d

Hướng dãn trả lời:

a) $d \perp mp(Ox,Oy)$

b) Khi O thay đổi trên d thì số đo góc $\widehat{xOy}$ không đổi

Thực hành 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định và tính góc phẳng nhị diện:

a) [S, BC, O]

b) [C, SO, B]

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $SH \perp BC$

Mà $BC \perp SO$ nên $BC\perp (SOH)$. Suy ra $OH \perp BC$. 

Do đó $[S, BC, O] =\widehat{SHO}$

Ta có: $OH =\frac{a}{2}, OC = OB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO = \sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$tan\widehat{SHO} = \frac{SH}{OH} = \sqrt{2}$. Suy ra $\widehat{SHO} = 54,7^{o}$

Vậy $[S, BC, O] = 54,7^{o}$

b) Vì $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp OB, SO \perp OC$

Suy ra $[C, SO, B] = \widehat{BOC} = 90^{o}$

Vận dụng 2: Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ $SM \perp BC$

Mà $BC \perp SO$ nên $BC \perp (SOM)$. Suy ra $BC \perp OM$

Do đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $\widehat{SMO}$

Ta có: $SO = 98; OM = \frac{1}{2}.180 = 90$

$tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = 1,1$. Suy ra $\widehat{SMO} = 47,4^{o}$

Vậy góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $47,4^{o}$

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD, Vẽ hình bình hành BCED

a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD)

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A,CD,B]; [A,CD,E]

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi O là tâm tam giác BCD. Do tứ diện ABCD đều nên $AO \perp (BCD)$

Nên góc giữa đường thẳng AB và (BCD) là $\widehat{ABO}$

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD. 

O là trọng tâm tam giác BCD nên $BO = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$cos\widehat{ABO} = \frac{BO}{AB} =\frac{\sqrt{3}}{3}$ nên $\widehat{ABO} = 54,7^{o}$

Suy ra góc giữa đường thẳng AB và (BCD} bằng $54,7^{o}$

b) Gọi M là trung điểm CD. 

BCED là hình bình hành nên ED = BC = a, CE = BD = a. Nên BCED là hình thoi

Ta có $BM\perp CD, EM \perp CD$

Mà $CD \perp AO$ nên $CD \perp (ABM)$. Suy ra $CD \perp AM$

$[A, CD, B] = \widehat{AMB}, [A, CD, E] =\widehat{AME}$

Ta có: $OM = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$AO = \sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$tan\widehat{AMO} = \frac{AO}{OM} = 2\sqrt{2}$.

Nên $\widehat{AMO}= 70,5^{o}, \widehat{AME} = 180^{o} - 70,5^{o} = 109,5^{o}$

Vậy $[A, CD, B] = 70,5^{o} , [A, CD, E] = 109,5^{o}$

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và có tất cá các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng SA và (ABCD)

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, SO, B], [S, AB, O]

Hướng dân trả lời:

a) Gọi a là độ dài các cạnh của S.ABCD

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có: $SO \perp (ABCD)$

Do đó, góc giữa SA và (ABCD) là $\widehat{OSA}$

Ta có: $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$cos\widehat{SOA} = \frac{AO}{SA} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Nên $\widehat{SOA} = 45^{o}$

Vậy góc giữa SA và (ABCD) là $45^{o}$

b)Vì $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AO, SO \perp BO$

$[A, SO, B] = \widehat{AOB} = 90^{o}$

Kẻ M là trung điểm của AB. Ta có: $SM \perp AB, OM \perp AB$

$[S, AB, O] = \widehat{SMO}$

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$cos\widehat{SMO} = \frac{MO}{SM} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\widehat{SMO} = 54,7^{o}$

Vậy $[S, AB, O] = 54,7^{o}$

Bài 3: Cho hình chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}$, OO' = a

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b) Tìm góc phẳng nhị diện [O, AB, A'], [O', A'B; A]

Hướng dẫn trả lời:

a) OO' = a nên SO = 2a

$SO \perp (ABCDEF)$ nên góc giữa cạnh bên và đáy là $\widehat{SAO}$

Ta có: $AO =BC =a; SO = 2OO' = 2a$

$tan\widehat{SAO} =\frac{SO}{OA} =2$

Nên $\widehat{SAO} = 63,4^{o}$

b) Kẻ $MH \perp (ABCDEF)$ nên $MH = OO' = a$

$MO' = HO = \frac{a\sqrt{3}}{6}$; $OI =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$IH = OI - OH =  \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$tan\widehat{MIO} = \frac{MH}{IH} = \frac{6}{\sqrt{3}}$ nên $\widehat{MIO} = 73,9^{o}$ 

$[O, AB, A'] = \widehat{MIO} = 73,9^{o}$

$[O',A'B', A] = \widehat{IMO} = 180^{o} - 73,9^{o}=106,1^{o}$

Bài 4: Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng CA' và (CC'B'B)

b) Tính số đo góc nhị diện cạnh CC'

Hướng dẫn trả lời:

a) Góc giữa CA' và (CC'B'B) là $\widehat{A'CB'}$

Ta có: $CB' =\sqrt{10^{2}+12^{2}} = 2\sqrt{61}$

$tan\widehat{A'CB'} = \frac{A'B'}{CB'} = 0,256$. Nên $\widehat{A'CB'} = 14,36^{o}$

b) Góc nhị diện cạnh CC' là $\widehat{ACB}$

Ta có: $tan\widehat{ACB} =\frac{AB}{BC} =\frac{1}{3}$. Nên $\widehat{ACB} = 18,4^{o}$

Bài 5: Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng $135^{o}$. Tính số mét khối cần di chuyển ra khỏi hầm

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $OJ = \frac{1}{2}.14 = 7; O'K = \frac{1}{2}.10 =5$, suy ra $OH = 5, JH = 7-5 = 2$

Mặt bên tạo với đáy nhỏ 1 góc $\widehat{O'KJ} = 135^{o}$ nên $\widehat{KJH} = 45^{o}$

$KH = OO' = JH.tan45^{o} = 2$

Thể tích khối chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}.2.(10^{2}+\sqrt{10^{2}.14^{2}}+14^{2}) = 290,7 (m^{3})$