Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương VII

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}$. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(-1;-4) có hệ số góc bằng

A. -3

B. 9

C. -9

D. 72

Hướng dẫn trả lời:

Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(-1;-4) có hệ số góc là:

$y'(-1) = 3x^{2} - 6x = 3.(-1)^{2} - 6.(-1) = 9$

Đáp án: B

Câu 2: Hàm số $y=-x^{2}+x+7$ có đạo hàm tại x = 1 bằng

A. -1

B. 7

C. 1

D. 6

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $y'(1) = -2x + 1 = -2.1+1=-1$

Đáp án: A 

Câu 3: Cho hai hàm số $f(x) =2x^{3} -x^{2}+3$ và $g(x) = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} -5$. Bất phương trình f'(x)>g'(x) có tập nghiệm là:

A. $(-\infty;0] \cup [1;+\infty)$

B. (0;1)

C. [0;1]

D. $(-\infty;0) \cup (1; +\infty)$

Hướng dẫn trả lời:

$f'(x)>g'(x)$

$\Leftrightarrow 6x^{2}-2x > 3x^{2}+x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x > 0$

$\Leftrightarrow x > 1$ hoặc $x<0$

Đáp án: D

Câu 4: Hàm số $y=\frac{x+3}{x+2}$ có đạo hàm là:

A. $y' = \frac{1}{(x+2)^{2}}$

B. $y' = \frac{5}{(x+2)^{2}}$

C. $y' = \frac{-1}{(x+2)^{2}}$

D. $y' = \frac{-5}{(x+2)^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

$y' = \frac{(x+3)'(x+2) - (x+3)(x+2)'}{(x+2)^{2}} =\frac{1.(x+2) - (x+3).1}{(x+2)^{2}} = \frac{-1}{(x+2)^{2}}$

Đáp án: C

Câu 5: Hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ có đạo hàm cấp hai tại x = 1 là:

A. $y''(1)=\frac{1}{2}$

B. $y''(1) = \frac{1}{4}$

C. $y''(1) = 4$

D. $y''(1) = \frac{1}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

$y'=(x+1)'.\frac{-1}{(x+1)^{2}}=\frac{-1}{(x+1)^{2}}$

$y'(1) = \frac{-1}{(1+1)^{2}}= \frac{-1}{4}$

Đáp án: B

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6: Cho hàm số $f(x) =x^{2}-2x+3$ có đồ thị (C) và điểm $M(-1;6) \in (C)$. Viết  phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $y' = 2x-2$

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(-1;6) là y'(-1) = 2.(-1) - 2 = -4

Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M(-1;6) là:

$y-6 = (-4).(x+1)$ Hay y = -4x + 2

Câu 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3x^{4}-7x^{3}+3x^{2}+1$

b) $y = (x^{2}-x)^{3}$

c) $y=\frac{4x-1}{2x+1}$ 

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 3.4x^{3} - 7.3x^{2} +3.2x = 12x^{3} - 21x^{2} + 6x$

b) $y'= (x^{2} -x)'.3.(x^{2}-x)^{2} = 3(2x-1)(x^{2}-x)^{2}$

c) $y' = \frac{(4x-1)'(2x+1) - (4x-1).(2x+1)'}{(2x+1)^{2}}  =\frac{4.(2x+1) - (4x-1).2}{(2x+1)^{2}}  = \frac{6}{(2x+1)^{2}} $

Câu 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (x^{2}+3x-1)e^{x}$

b) $y=x^{3}log_{2}x$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = (x^{2}+3x-1)'.e^{x} + (x^{2}+3x-1).(e^{x})'$

$= (2x+3).e^{x} + (x^{2}+3x-1).e^{x} = (x^{2} +5x-1).e^{x}$

b) $y'=(x^{3})'.log_{2}x + x^{3}.(log_{2}x)' = 3x^{2}log_{2}x + x^{3}.\frac{1}{x.ln2}$

Câu 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=tan(e^{x}+1)$

b) $y=\sqrt{sin3x}$

c) $y=cot(1-2^{x})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = (e^{x}+1)'.\frac{1}{cos(e^{x}+1)^{2}} = e^{x}.\frac{1}{cos(e^{x}+1)^{2}} $

b) $y=(sin3x)'.\frac{1}{2.\sqrt{sin3x}} = (3x)'.cos3x.\frac{1}{2.\sqrt{sin3x}} = 3cos3x.\frac{1}{2.\sqrt{sin3x}}$

c) $y' = (1-2^{x})'.\frac{-1}{sin^{2}(1-2^{x})} = 2^{x}.ln2.\frac{1}{sin^{2}(1-2^{x})}$

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=x^{3}-4x^{2}+2x-3$

b) $y=x^{2}e^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 3x^{2}-8x+2$

$y'' =6x - 8$

b) $y'=(x^{2})'.e^{x} +x^{2}.(e^{x})'=2x.e^{x}+x^{2}.e^{x}=(2x+x^{2}).e^{x}$

$y'' = (2x+x^{2})'e^{x} + (2x+x^{2}).(e^{x})' = (2+2x).e^{x} + (2x+x^{2}).e^{x} = (x^{2}+4x+2)e^{x}$

Câu 11: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thi quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức $s(t) = 4,9t^{2}$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:

a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t = 2

b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc rơi của viên sỏi là: $v(t) = s'(t) = 9,8t$

a) Khi t = 2 thì v(2) = 9,8.2 = 19,6 (m/s)

b) Khi viên sỏi chạm đất thì s(t) = 44,1 Hay $4,9t^{2} = 44,1 \Leftrightarrow t = 3$

Ta có: v(3) = 9,8.3 = 29,4 (m/s)

Câu 12: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t) =2t^{3} + 4t+1$, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét

Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t = 1

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc của vật là: $v(t) = s'(t) = 6t^{2} + 4$

Gia tốc của vật là $v'(t) = 12t$

Khi t = 1 thì $v(1) = 6.1^{2} + 4 = 10; v'(1) =12.1 = 12$ 

Câu 13: Dân số P (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức $P(t) = \frac{500t}{t^{2}+9}$, trong đó t là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 12

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ tăng trưởng dân số là:

$P'(t) = \frac{(500t)'(t^{2}+9)-500t(t^{2}+9)'}{(t^{2}+9)^{2}}$

$P'(t) = \frac{500.(t^{2}+9)-500t.2t}{(t^{2}+9)^{2}}$

$P'(t) =\frac{4500-500t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}$

Khi t = 12 thì $P'(12) = \frac{4500-500.12^{2}}{(12^{2}+9)^{2}} = -2,88$

Câu 14: Hàm số $S(r) =\frac{1}{r^{4}}$ có thể được sử dụng để xác định sức cản S của dòng máu trong mạch máu có bán kính r ( tính theo milimet). Tìm tốc độ thay đổi của S theo r khi r = 0,8

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ thay đổi của S là

$S'(r) = (r^{4})'.\frac{-1}{(r^{4})^{2}}=4r^{3}.\frac{-1}{r^{8}}=\frac{-4}{r^{5}}$

Khi r = 0,8 thì $S'(0,8) = \frac{-4}{0,8^{5}} = -12.2$

Câu 15: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức 

$T(t) = -0,1r^{2}+1,2t+98,6$

trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t = 1,5

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ thay đổi của nhiệt độ là: $T'(t) = -0,2t + 1,2$

Khi t = 1,5 thì T'(1,5) = -0,2.1,5 + 1,2 = 0,9

Câu 16: Hàm số $R(v) =\frac{6000}{v}$ có thể được sử dụng để xác định nhịp tim R của một người mà tim của người đó có thể đẩy đi được 6000 ml máu trên mỗi phút và v ml máu trên mỗi nhịp đập. Tìm tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v = 80

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ thay đổi của nhịp tim là $R'(v) = \frac{-6000}{v^{2}}$

Khi v = 80 thì $R'(v) = \frac{-6000}{80^{2}} = -0,9375$