Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Chuyện kể rằng, ngày xưa ở xứ Ấn Độ, người phát minh ra bàn cờ vua được nhà vua cho phép tự chọn phần thưởng tuỳ thích. Nhà phát minh đã đề nghị phần thưởng là những hạt thóc đạt vào 64 ô của bàn cờ theo quy tắc như sau: 1 hạt thóc ở ô thứ nhất, 2 hạt thóc ở ô thứ hai, 4 hạt thóc ở ô thứ ba,... Cứ như thế, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước. Nhà vua nhanh chóng chấp nhận lời đề nghị, vì cho rằng phần thưởng như vậy thì quá dễ dàng.

Tuy nhiên, theo phần thưởng này, tổng số hạt thóc có trong 64 ô là $2^{64}-1$, tính ra được hơn $18.10^{18}$ hạt thóc, hay hơn 450 tỉ tấn thóc (mỗi hạt thóc nặng khoảng 25mg). Nhà vua không thể có đủ thóc để thưởng cho nhà phát minh.

Từ tính huống trên, có nhận xét gì về giá trị của biểu thức $2^{x}$ khi x trở nên lớn?

Hướng dẫn trả lời:

Khi x trở lên lớn thì $2^{x}$ trở lên rất lớn

1. Hàm số mũ

Khám phá 1: Nguyên phân là quá trình tế bào phân chia thành hai tế bào con giống hệt nhau về mặt di truyền

Lập bảng sau đây để tính số tế bào được tạo ra từ một tế bào ban đầu sau những lần nguyên phân

a) Hoàn thành bảng trên vào vở

b) Gọi y là số tế bào được tạo ra từ một tế bào sau x (x = 0, 1, 2,...) lần nguyên phân. Viết công thức biểu thức y theo x

Hướng dẫn trả lời:

a)

b) $y=2^{x}$

Khám phá 2: a) Xét hàm số mũ $y = 2^{x}$ với tập xác định $\mathbb{R}$

i) Hoàn thành bảng giá trị sau:

ii) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm $M(x;2^{x})$ với $x \in \mathbb{R}$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y=2^{x}$ như Hình 2. Từ đồ thị này, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi $x \to +\infty$, $x \to -\infty$ và tập giá trị của hàm số đã cho

b) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị của hàm số $y=(\frac{1}{2})^{x}$. Từ đó, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi $x \to +\infty$, $x \to -\infty$ và tập giá trị của hàm số này.

Hướng dẫn trả lời:

a)

• Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
• Khi $x \to +\infty$, $y \to +\infty$
• Khi $x \to -\infty$, $y \to 0$
• Tập giá trị của hàm số là $(0;+\infty)$

b) $y=(\frac{1}{2})^{x}

Đồ thị của hàm số trên là:

• Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
• Khi $x \to +\infty$, $y \to 0$
• Khi $x \to -\infty$, $y \to +\infty$
• Tập giá trị của hàm số là $(0;+\infty)$

Thực hành 1: Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số $y=3^{x}$ và $y=(\frac{1}{3})^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 2: So sánh các cặp số sau:

a) $0,85^{0,1}$ và $0,85^{-0,1}$

b) $\pi^{-1,4}$ và $\pi^{-0,5}$

c) $\sqrt[4]{3}$ và $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do 0,85 < 1 nên hàm số $y = 0,85^{x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Mà 0,1 > -0,1

Suy ra $0,85^{0,1} < 0,85^{-0,1}$

b) Vì $\pi>1$ nên hàm số $y=\pi^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà -1,4 < -0,5

Suy ra $\pi^{-1,4} < \pi^{-0,5}$

c) Ta có: $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}; \frac{1}{\sqrt[3]{3}} =3^{\frac{-1}{3}}$

Vì $3>1$ nên hàm số $y=3^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Mà $\frac{1}{4}>\frac{-1}{3}$

Suy ra $3^{\frac{1}{4}} >\pi^{\frac{-1}{3}}$ Hay $\sqrt[4]{3}>\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Vận dụng 1: Khối lượng vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy sau t giờ kể từ thời điểm ban đầu được cho bởi công thức $M(t) = 50.1,06^{t}$ (g)

a) Tìm khối lượng vi khuẩn tại thời điểm bắt đầu nuối cấy (gọi là khối lượng ban đầu)

b) Tính khối lượng vi khuẩn sau 2 giờ và sau 10 giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

c) Khối lượng vi khuẩn tăng dần hay giảm dần theo thời gian? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

a)  Khối lượng vi khuẩn tại thời điểm bắt đầu nuối cấy là: $M(0) = 50.1,06^{0}=50$

b) Khối lượng vi khuẩn sau 2 giờ là: $M(2) = 50.1,06^{2}=56,18$

Khối lượng vi khuẩn sau 10 giờ là: $M(10) = 50.1,06^{10}=89,54$

c) Do 1,06 > 1 nên hàm số M(t) đồng biến

Do đó, khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian

2. Hàm số logarit

Khám phá 3: Cho s và t là hai đại lượng liên hệ với nhau theo công thức $s=2^{t}$

a) Với mỗi giá trị của t nhận giá trị trong $\mathbb{R}$, tìm được bao nhiêu giá trị tương ứng của s? Tại sao?

b) Với mỗi giá trị của s thuộc $(0;+\infty)$, có bao nhiêu giá trị tương ứng của t?

c) Viết công thức biểu thị t theo s và hoàn thành bảng sau

Hướng dẫn trả lời:

a) Với mỗi giá trị t thuộc $\mathbb{R}$, ta xác định duy nhất 1 giá trị s

b) Với mỗi giá trị s thuộc $(0;+\infty)$, ta xác định duy nhất 1 giá trị t

c)

Khám phá 4: a) Xét hàm số $y=log_{2}x$ với tập xác định $D=(0;+\infty)$

i) Hoàn thành bảng giá trị sau:

ii) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm $M(x; log_{2}x)$ với x > 0 và nối lại ta được đồ thị hàm số $y=log_{2}x$ như Hình 4. Từ đồ thị này, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi $x \to +\infty, x \to 0^{+}$ và tập giá trị của hàm số đã cho

b) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị của hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$. Từ đó, nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi $x \to +\infty, x \to 0^{+}$ và tập giá trị của hàm số này

Hướng dẫn trả lời:

a)

• Hàm số liên tục trên $(0;+\infty)$
• Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$
• Khi $x \to +\infty$, $y \to +\infty$
• Khi $x \to 0^{+}$, $y \to -\infty$

b) Hàm số $y = log_{\frac{1}{2}}x$

Đồ thị hàm số:

• Hàm số liên tục trên $(0;+\infty)$
• Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$
• Khi $x \to +\infty$, $y \to -\infty$
• Khi $x \to 0^{+}$, $y \to +\infty$

Thực hành 3: Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số $y=log_{3}x$ và $y=log_{\frac{1}{3}}x$,

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 4: So sánh các cặp số sau:

a) $log_{\frac{1}{2}}4,8$ và $log_{\frac{1}{2}}5,2$

b) $log_{\sqrt{5}}2$ và $log_{5}2\sqrt{2}$

c) $-log_{\frac{1}{4}}2$ và $log_{\frac{1}{2}}0,4$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{1}{2} < 0$ nên hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$

Mà 4,8 < 5,2 nên $log_{\frac{1}{2}}4,8>log_{\frac{1}{2}}5,2$

b) Ta có: $log_{\sqrt{5}}2 = \frac{log2}{log\sqrt{5}}=\frac{log2}{log5^{\frac{1}{2}}}=\frac{log2}{\frac{1}{2}.log5}= 2.\frac{log2}{log5}$

$log_{5}2\sqrt{2}=\frac{log2\sqrt{2}}{log5}=\frac{log(2.2^{\frac{1}{2}})}{log5}=\frac{log2^{\frac{3}{2}}}{log5} = \frac{3}{2}.\frac{log2}{log5}$

Suy ra: $log_{\sqrt{5}}2>log_{5}2\sqrt{2}$

c) Ta có: $-log_{\frac{1}{4}}2 = -\frac{log2}{log\frac{1}{4}} =-\frac{log2}{log\frac{1}{2}^{2}} = -\frac{log2}{2.log\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2}.\frac{log2}{log\frac{1}{2}}=\frac{log2^{\frac{-1}{2}}}{log\frac{1}{2}}=log_{\frac{1}{2}}2^{\frac{-1}{2}}$

Vì $\frac{1}{2} < 0$ nên hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$

Mà $2^{\frac{-1}{2}}>0,4$ nên $log_{\frac{1}{2}}2^{\frac{-1}{2}}<log_{\frac{1}{2}}0,4$

Hay $-log_{\frac{1}{4}}2<log_{\frac{1}{2}}0,4$

Vận dụng 2: Mức cường độ âm được tính theo công thức $L = 10log\frac{I}{I_{0}}$ (dB), $I_{0} = 10^{-12} W/m^{2}$ 

a) Tính thì thầm có cường độ âm $I=10^{-10} W/m^{2}$ thì có mức cường độ âm bằng bao nhiêu?

b) Để nghe trong thời gian dài mà không gây hại cho tai, âm thanh phải có cường độ không vượt quá 100000 lần cường độ của tiếng thì thầm. Âm thanh không gây hại cho tai khi nghe trong thời gian dài phải ở mức cường độ âm như thế nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Mức cường độ âm của tiếng thì thầm là $L=10log\frac{10^{-10}}{10^{-12}} = 20$ (dB)

b) Để âm thanh không gây hại cho tai khi nghe thời gian dài thì cường độ âm là:

$I = 100000.10^{-10}=10^{-5} (W/m^{2})$

Mức cường độ âm giới hạn đó là: $L = 10log\frac{10^{-5}}{10^{-12}} = 70 (dB)$

BÀI TẬP

Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=4^{x}$

b) $y = (\frac{1}{4})^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b)

Bài 2: So sánh các cặp số sau

a) $1,3^{0,7}$ và $1,3^{0,6}$

b) $0,75^{-2,3}$ và $0,75^{-2,4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì 1,3 > 1 nên hàm số $y=1,3^{x}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Mà 0,7 > 0, 6 nên $1,3^{0,7}>1,3^{0,6}$

b) Vì 0,75 < 1 nên hàm số $y=0,75^{x}$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Mà -2,3 > -2,4 nên $0,75^{-2,3}>0,75^{-2,4}$

Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $log_{2}(3-2x)$

b) $log_{3}(x^{2}+4x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}(3-2x)$ xác định khi 3 - 2x > 0 Hay $x < \frac{3}{2}$

b) $log_{3}(x^{2}+4x)$ xác định khi $x^{2}+4x > 0$ hay x > 0 hoặc x < -4

Bài 4: Vẽ đồ thị các hàm số

a) y = logx

b) $y=log_{\frac{1}{4}}x$

Hướng dẫn trả lời:

a)

b)

Bài 5: So sánh các cặp số sau:

a) $log_{\pi}0,8$ và $log_{\pi}1,2$

b) $log_{0,3}2$ và $log_{0,3}2,1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\pi > 1$ nên hàm số $log_{\pi}x$ đồng biến trên $(0;+\infty)$

Mà 0,8 < 1,2 nên $log_{\pi}0,8<log_{\pi}1,2$

b) Vì $0,3 > 1$ nên hàm số $log_{0,3}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty)$

Mà 2 < 2,1 nên $log_{0,3}2>log_{0,3}2,1$

Bài 6: Cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = I_{0}.a^{d}$, trong đó $I_{0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là hằng số (a > 0) và d là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.

a) Có thể khẳng định rằng 0 < a < 1 không? Giải thích.

b) Biết rằng cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng $0,95I_{0}$. Tìm giá trị của a

c) Tại độ sâu 20m, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với $I_{0}$? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì cường độ ánh sáng giảm dần theo độ sâu, tức là hàm số $I =I_{0}a^{d}$ nghịch biến

Do đó, 0 < a < 1

b) Khi d = 1, ta có $0,95I_{0} = I_{0}.a^{1}$

Suy ra a = 0,95

c) Khi d = 20. Ta có $I = I_{0}.0,95^{20} = 0,36I_{0}$

Vậy tại độ sâu 20m thì $I = 36%I_{0}$

Bài 7: Công thức $h = -19,4log\frac{P}{P_{0}}$ là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao h so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí P tại điểm đó và áp suất $P_{0}$ của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng $P_{a}$ - đơn vị áp suất, đọc là Pascal)

a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}P_{0}$ thì máy bay đang ở độ cao nào?

b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng $\frac{4}{5}$ lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười) 

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi $P = \frac{1}{2}P_{0}$ thì $h = -19,4.log\frac{\frac{1}{2}P_{0}}{P_{0}} = 5,84 (km)$

b) Ta có $P_{A} =\frac{4}{5}P_{B}$

Ta có:

$h_{A} - h_{B} = -19,4.log\frac{P_{A}}{P_{0}} +19,4.log\frac{P_{B}}{P_{0}} = -19,4 (log\frac{P_{A}}{P_{0}} - log\frac{P_{B}}{P_{0}})$ 

$= -19,4log\frac{\frac{P_{A}}{P_{0}} }{\frac{P_{B}}{P_{0}}} = -19,4.log\frac{P_{A}}{P_{B}}=-19,4.log\frac{4}{5} = 1,88$

Vậy ngọn núi A cao hơn ngon núi B 1,88 km