Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 4: Hai mặt phẳng song song

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Bề mặt trên của mỗi bậc thang này được đặt như thế nào so với mặt đất?

Hướng dẫn trả lời:

Bề mặt trên của mỗi bậc thang được đặt song song so với mặt đất

1. Hai mặt phẳng song song

Khám phá 1: Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với các đỉnh A,B,C,D,A',B',C',D' như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Không có bất kì điểm chung nào

Hướng dẫn trả lời:

a) Các cặp mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng là:

(ABC) và (ABD); (AA'B) và (ABB'); (BB'C) và (BCC');...

b) Không có cặp mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Các cặp mặt phẳng không có điểm chung nào là:

(ABCD) và (A'B'C'D'); (ADD'A') và (BCC'B'); (ABB'A') và (DCC'D')

Vận dụng 1: Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4

Hướng dẫn trả lời:

Một số cặp mặt phẳng song song là: mặt kệ sách và mặt đất; hai mặt của quyển sách;...

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Khám phá 2: Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Giải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất 1 trong 2 đường thẳng a,b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b cắt nhau nên c không thể đồng thời song song với cả a và b được

Do đó, đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a,b

Nếu đường thẳng c cắt a hoặc b, mà đường thằng c nằm trên mặt phẳng (Q) nên đường thẳng a hoặc b có 1 điểm chung với mặt phẳng (Q)

Điều này trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) 

b) Số điểm chung của (P) và (Q) là 0

Mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau

Thực hành 1: Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD)

Hướng dẫn trả lời:

Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra EF//BC. Do đó EF//(BCD)

Ta có FH là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra FH//CD. Do đó EF//(ACD)

Mặt khác ta có mặt phẳng (EFH) chứa EF và FH, EF∩FH=F

Suy ra (EFH)//(BCD)

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Khám phá 3: a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a' và b'. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa mp(a,b) và (Q)

Hướng dẫn trả lời:

a) Vẽ đường thẳng a đi qua A và song song với a'. Ta được đường thẳng a đi qua A và song song với (Q)

Vẽ đường thẳng b đi qua A và song song với b'. Ta được đường thẳng b đi qua A và song song với (Q)

b) mp(a,b)//(Q)

Khám phá 4: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thoả mãn (P)//(Q, 

(R)∩(P)=a và (R)∩(Q)=b. Xét vị trí tương đối của a và b

Hướng dẫn trả lời:

a//b

Thực hành 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thẳng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M, N, P lần lượt giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với AB, AD và SA

Ta có (ABCD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song $(\alpha)$ và (SBD) tại MN và BD nên MN//BD. Do đó $\frac{MN}{BD}= \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$

Ta có (SAB) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song $(\alpha)$ và (SBD) tại MP và AB nên MP//AB. Do đó $\frac{MP}{SB}= \frac{AM}{AB}$

Ta có (SAD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song $(\alpha)$ và (SBD) tại NP và AD nên NP//AD. Do đó $\frac{NP}{SD}= \frac{AN}{AB}$

Suy ra: $\frac{MN}{BD} = \frac{MP}{SB}=\frac{NP}{SD}$

Mà tam giác SBD đều nên SB = BD = SD

Vậy ta có: MN = MP = NP hay tam giác MNP đều

Vận dụng 2: Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt của các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bán. Giải thích

Hướng dẫn trả lời:

Giao tuyến tạo bởi (P) và các lớp bánh song song với nhau. Bởi vì giao tuyến tạo bởi mặt phẳng (P) và các mặt phẳng song song nhau sẽ song song với nhau.

4. Định lý Thales trong không gian

Khám phá 5: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a' tại các điểm A, B, C và A', B', C'. Gọi $B_{1}$ là giao điểm của AC' với (Q) (Hình 12)

a) Trong tam giác ACC', có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB}{BC}$ và $\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$

b) Trong tam giác AA'C', có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB_{1}}{B_{1}C}$ và $\frac{A'B'}{B'C'}$

c) Từ đó,nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{AB}{A'B'},\frac{BC}{B'C'},\frac{AC}{A'C'}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác ACC', ta có $BB_{1}//CC'$ nên $\frac{AB}{BC}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$

b) Trong tam giác AA'C', ta có $B'B_{1}//AA'$ nên $\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{A'B'}{B'C'}$

c) Ta có: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$

Thực hành 3: Cho hình chóp S.ABC có SA =9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy các điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi quá M, N, cắt SB theo thứ tự tại M', N' và cắt SC theo thứ tự tại M'', N''. Tính độ dài các đoạn thẳng SM', M''N'', N''C

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác SAB có MM'//AB nên $\frac{SM}{SA}=\frac{SM'}{SB} $. Suy ra $SM'= \frac{16}{3}$

Trong tam giác SAB có NN'//AB nên $\frac{SN}{SA}=\frac{SN'}{SB} $. Suy ra $SN'= \frac{28}{3}$ 

Do đó $M'N'= SN' - SM' = 4$

Trong tam giác SAC, có MM''//AC nên $\frac{SM}{SA}=\frac{SM''}{SC}$. Suy ra $SM''=\frac{20}{3}$

Trong tam giác SAC có NN''//AB nên $\frac{SN}{SA}=\frac{SN''}{SC} $. Suy ra $SN''= \frac{35}{3}$ 

Do đó $M''N'' = SN'' - SM'' = 5$

$N''C = SC - SN'' = \frac{10}{3}$ 

5. Hình lăng trụ và hình hộp

Khám phá 6: Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quá, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau

Các hình trên đều có 2 mặt phẳng song song với nhau

Khám phá 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) Bốn mặt bên và mặt đấy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành

b) Các mặt AA'C'D và BB'D'D là hình bình hành

c) Bốn đoạn thẳng A'C, AC',B'D, BD' có cùng trung điểm

Hướng dẫn trả lời:

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC

a) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABB'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và A'B' nên AB//A'B'

Mà AA'// BB' nên mặt bên ABB'A' là hình bình hành

Tương tự ta có mặt bên BCC'B', CDD'C', ADD'A' là hình bình hành

Ta có: CD//C'D', A'B'//AB mà AB//CD nên C'D'//A'B'

B'C'//BC, A'D'//AD mà BC//AD nên B'C'//A'D'

Suy ra mặt đáy A'B'C'D' là hình bình hành

b) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ACC'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AC và A'C' nên AC//A'C'

Mà AA'//CC' nên ACC'A' là hình bình hành

Tương tự ta ó BB'D'D là hình bình hành

c) Ta có ACC'A' là hình bình hành nên AC', A'C là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)

BDD'B' là hình bình hành nên BD', B'D là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Ta có (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABC'D') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và C'D' nên AB//C'D'

Mà ABCD là hình bình hành nên AB = DC; DCC'D' là hình bình hành nên DC=D'C'. Do dó AB=C'D'

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Nên AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra A'C, AC', B'D, BD' có cùng trung điểm.

Thực hành 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và một mặt phẳng (α) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại NP và SR nên NP//SR

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (BDD'B') lần lượt tại MS và PQ nên PQ//MS

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') lần lượt tại MN và QR nên MN//QR

Vận dụng 3: Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Hướng dẫn trả lời:

Hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là hình hộp chữ nhật và hình lập phương

BÀI TẬP

Bài 1: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A,B,C,D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng:

AA' + CC' = BB' + DD'

Hướng dẫn trả lời:

AB//CD nên AB//(CDD'C'), AA'//DD' nên DD'//(CDD'C')

Ta có (ABB'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AB và AA' cùng song song với (CDD'C') nên (ABB'A')//(CDD'C')

AD//BC nên AD//(BCC'B'), AA'//BB' nên AA'//(BCC'B')

Ta có (ADD'A') đi chứa 2 đường thẳng cắt nhau AD và AA' cùng song song với (CBB'C') nên (ADD'A')//(CBB'C')

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại A'B' và CD' nên AB'//CD' 

Mặt phẳng (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (CBB'C') lần lượt tại A'D' và CB' nên AD'//CB' 

Suy ra A'B'C'D' là hình bình hành, nên A'C' cắt B'D' tại trung điểm O

Gọi O' là giao của AC và BD

Mặt phẳng (AA'C'C) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại AA' và CC' nên AA'//CC' 

Trong hình thang ACC'A' có OO' là đường trung bình nên AA'+CC' = 2OO'

Mặt phẳng (BDD'B') cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại BB' và DD' nên BB'//DD'

Trong hình thang BDD'B' có OO' là đường trung bình nên BB'+DD' = 2OO'

Vậy AA' + CC' = BB' + DD'

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a) Chứng minh rằng (OMN)//(SBC)

b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác SBD có ON là đường trung bình nên ON//SB. Suy ra MN//(SBC)

Trong tam giác SAD có MN là đường trung bình nên MN//AD. Mà AD//BC nên MN//BC. Suy ra MN//(SBC)

Mặt phẳng (OMN) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và ON cùng song song với (SBC)

Do đó, (OMN)//(SBC)

b) Trong tam giác ABC có OE là đường trung bình nên OE//BC. Suy ra OE//(SBC)

Mà (OMN)//(SBC) nên E∈(OMN)

Ta có: (OMN)//(SBC); EF⊂(OMN) nên EF//(SBC)

Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M', N'.

a) Chứng minh (CBE)//(ADF)

b) Chứng minh (DEF)//(MNN'M')

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có AD//BC nên AD//(BEC)

AF//BE nên AF//(BEC)

Mặt phẳng (ADF) đi qua hai đường thẳng cắt nhau AD và AF cùng song song với (CBE) nên (ADF)//(CBE)

b) Vì ABCD và ABEF là hình vuông có cạnh bằng nhau nên AC = BF

Trong tam giác ADC có MM'//CD nên $\frac{AM'}{AD} = \frac{AM}{AC}$

Trong tam giác ABF có NN'//AB nên $\frac{AN'}{AF} = \frac{BN}{BF}$

Mà AM = BN nên $\frac{AN'}{AF} =\frac{AM'}{AD}$. Suy ra M'N'//DF. Nên M'N'//(DEF)

Ta có MM'//AB//EF nên MM'//(DEF)

Mặt phẳng (MNN'M') chứa hai đường thẳng cắt nhau MM' và M'N' cùng song song với (DEF) 

Do đó, (MNN'M')//(DEF)

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C. Chứng minh $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D', I là giao điểm của AC' và A'C

Do ACCA' là hình bình hành nên I là trung điểm của A'C

$G_{1}$ là trọng tâm tam giác BDA' nên $\frac{A'G_{1}}{AO} = \frac{2}{3}$

Tam giác AA'C có A'O là trung tuyến, $\frac{A'G_{1}}{AO} = \frac{2}{3}$ nên $G_{1}$ là trọng tâm của tam giác AA'C.

Mà I là trung điểm A'C nên $G_{1} \in AI$ và $AG_{1} = \frac{2}{3}AI$

Mà $AI = \frac{1}{2}AC'$ nên $AG_{1} = \frac{1}{3}AC'$

Tương tự ta có $C'G_{2} = \frac{1}{3}AC'$

Suy ra $G_{1}, G_{2}$ chia AC' thành 3 đoạn thẳng bằng nhau

Bài 5: Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F', Bình gắn hai thanh tre $A_{1}D_{1}, F_{1}C_{1}$ song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại $O_{1}$ (Hình 19)

a) Xác định giao tuyến của mp$(A_{1}D_{1}, F_{1}C_{1})$ với các mặt bên của lăng trụ

b) Cho biết $A'A_{1} = 6AA_{1}$ và AA' = 70 cm. Tính $CC_{1}$ và $C_{1}C'$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do mặt phẳng $(A_{1}C_{1}D_{1}F_{1})$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $A_{1}D_{1}$ và $C_{1}F_{1}$ và cùng song song với mặt phẳng (ABCDEF)

Nên $(A_{1}C_{1}D_{1}F_{1})//(ABCDEF)$

Gọi $B_{1}, E_{1}$ lần lượt là giao của mặt phẳng $(A_{1}C_{1}D_{1}F_{1})$ với BB' và EE'

Ta có giao tuyến của $(A_{1}C_{1}D_{1}F_{1})$ với các mặt bên của lăng trụ là $A_{1}B_{1}, B_{1}C_{1}, C_{1}D_{1}, D_{1}E_{1}, E_{1}F_{1}, F_{1}A_{1}$

b) Ta có: $A'A_{1} = 6AA_{1}; AA' = 70$ nên $AA_{1} = 10$

Do (ACC'A') cắt hai mặt phẳng $(A_{1}C_{1}D_{1}F_{1})//(ABCDEF)$ lần lượt tại $A_{1}C_{1}$ và AC nên $A_{1}C_{1}//AC$

Mà $AA_{1}//CC_{1}$ nên tứ giác $AA_{1}C_{1}C$ là hình bình hành. 

Suy ra $CC_{1} = AA_{1} = 10$

Mà CC' = AA' = 70

Nên $C_{1}C' = 70 - 10 = 60$

Câu 6: Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.

Hướng dẫn trả lời:

Trong hình a: các mặt tấm pin điện năng lượng mặt trời song song với nhau

Trong hình b: Các mặt của toà nhà song song với nhau

Một số ví dụ khác về mặt phẳng song song: mặt của các bậc cầu thang, mặt phẳng của các bức tường đối diện nhau