Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 0,8. Gieo 2 hạt giống một cách độc lập. Tính xác suất có đúng 1 trong 2 hạt đó nảy mầm

Hướng dẫn trả lời:

Xác suất hạt 1 nảy mầm, hạt 2 không nảy mầm là: 0,8.0,2 = 0,16

Xác suất hạt 1 không nảy mầm, hạt 2 nảy mầm là: 0,2.0,8 = 0,16

Xác suất có đúng 1 hạt nảy mầm là: 0,16 + 0,16 = 0,32

1. Biến cố hợp

Khám phá 1: Trong hộp có 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ra ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ từ hộp. Gọi A là biến cố "Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số chẵn"; B là biến cố "Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số chắn" và C là biến cố "Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra là số chẵn"

Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố trên

Hướng dẫn trả lời:

A = {(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(2;5);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4);(4;5)}

B = {(1;2);(2;2);(3;2);(4;2);(5;2);(1;4);(2;4);(3;4);(4;4);(5;4)}

C = {(1;2);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(2;5);(3;2);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4);(4;5); (5;2);(5;4)}

Thực hành 1: Một lớp học có 15 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 3 học sinh của lớp. Gọi A là biến cố "Cả 2 học sinh được chọn đều là nữ", B là biến cố "Có 2 học sinh nữ trong 3 học sinh được chọn"

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A? Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố $A\cup B$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$

Hướng dẫn trả lời:

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{17}^{3} = 680$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_{17}^{2}.C_{15}^{1} = 2040$

b) $A \cup B$ là biến cố "Có ít nhất 2 học sinh nữ trong 3 học sinh được chọn"

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ là: 680 + 2040 = 2720

2. Quy tắc cộng xác suất

Khám phá 2: Cho hai biến cố xung khắc A và B. Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A và 12 kết quả thuận lợi cho biến cố B. Hãy so sánh $P(A \cup B)$ với P(A) + P(B)

Hướng dẫn trả lời:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 17$

Thực hành 2: Hãy trả lời câu hỏi ở Mở đầu

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $A_{1},A_{2}$ lần lượt là biến cố "Hạt giống thứ nhất nảy mầm" và biến cố "Hạt giống thứ hai nảy mầm"

Ta có $A_{1},A_{2}$ là hai biến cố độc lập và $P(A_{1}) = P(A_{2}) = 0,8$.

Xác suất của biến cố "Có đúng 1 trong 2 hạt giống nảy mầm" là:

$P(A_{1}\bar{A_{2}} \cup \bar{A_{1}}A_{2}) = P(A_{1}\bar{A_{2}}) + P(\bar{A_{1}}A_{2})$

$= P(A_{1})P(\bar{A_{2}}) + P(\bar{A_{1}})P(A_{2}) = 0,8.0,2 + 0,2.0,8 = 0,32$

Khám phá 3: Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.Tính xác suất của biến cố "Lá bài được chọn có màu đỏ hoặc là lá có số chia hết cho 5"

Hướng dẫn trả lời:

Xác suất của biến cố "Lá bài được chọn có màu đỏ hoặc là lá có số chia hết cho 5" là: $\frac{30}{52} = \frac{15}{26}$ 

Thực hành 3: Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau. Biết P(A) = 0,9 và P(B) = 0,6. Hãy tính xác suất của biến cố $A \cup B$

Hướng dẫn trả lời:

$P(A \cup B) = P(A)+P(B) -P(AB)$

$= P(A)+P(B) -P(A).P(B) =0,9+0,6-0,9.0,6 = 0,96$

Vận dụng: Khảo sát một trường trung học phổ thông, người ta thấy có 20% học sinh thuận tay trái và 35% học sinh bị cận thị. Giả sử đặc điểm thuận tay nào không ảnh hưởng đến việc học sinh có bị cận thị hay không. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất của biến cố học sinh đó bị cận thị hoặc thuận tay trái

Hướng dẫn trả lời:

A là biến cố "Học sinh bị cận thị", P(A)  = 0,35

B là biến cố "Học sinh thuận tay trái", P(B) = 0,2

Xác suất biến cố học sinh bị cận thị hoặc thuận tay trái là:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

$= P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 0,48$

BÀI TẬP

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 2 quả bóng vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 3 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

a) "Cả 3 quả bóng lấy ra đều có cùng màu"

b) "Có ít nhất 2 quả bóng xanh trong 3 quả bóng lấy ra"

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi A là biến cố "Cả 3 quả bóng lấy ra đều có màu xanh"; $P(A) =\frac{C_{5}^{3}}{C_{13}^{3}}$

B là biến cố "Cả 3 quả bóng lấy ra đều có màu đỏ", $P(B) =\frac{C_{6}^{3}}{C_{13}^{3}}$

C là biến cố "Cả 3 quả bóng lấy ra đều màu vàng, P(C) = 0

Khi đó $A \cup B \cup C$ là biến cố "Cả 3 quả bóng lấy ra cùng màu"

Do A, B, C là các biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,105$

b) Gọi D là biến cố "Có đúng 2 quả bóng xanh trong 3 quả bóng được chọn"

$P(D) = \frac{C_{5}^{2}.C_{8}^{1}}{C_{13}^{3}}$

Khi đó $A \cup D$ là biến cố "Có ít nhất 2 quả bóng xanh trong 3 quả bóng lấy ra"

$P(A \cup D) = P(A) + P(D) = 0,315$

Bài 2: Trên đường đi từ Hà Nôi về thăm Đền Hùng ở Phú Thọ, Bình, Minh và 5 bạn khác ngồi vào 7 chiếc ghế trên một xe ô tô 7 chỗ. Khi xe quay lại Hà Nội, mỗi bạn lại chọn ngồi ngẫu nhiên một ghế. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế của mình"

Hướng dẫn trả lời:

A là biến cố "Bình vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình", $P(A) =\frac{1}{7}$

B là biến cố "Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình", $P(B) =\frac{1}{7}$

AB là biến cố "Bình và Minh ngồi đúng ghế cũ của mình", $P(AB) = \frac{5!}{7!}$

Khi đó, $A \cup B$ là biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế của mình"

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) -P(AB) = \frac{11}{42}$

Bài 3: Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau

a) Biết P(A) = 0,3 và P(AB) = 0,2. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$

b) Biết P(B) = 0,5 và $P(A \cup B) =0,7$. Tính xác suất của biến cố A

Hướng dẫn trả lời:

a) $P(AB) = P(A).P(B)$ nên $P(B) = \frac{2}{3}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{23}{30}$

b) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)-P(AB) = P(A) + P(B) - P(A).P(B)$

$\Leftrightarrow  0,7 = P(A) + 0,5 - 0,5P(A)$

$\Leftrightarrow P(A) = 0,4$

Bài 4: Lan gieo một đồng xu không cân đối 3 lần độc lập với nhau. Biết xác suất xuất hiện mặt sấp trong mỗi lần gieo đều bằng 0,4. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố "Có đúng 1 lần gieo được mặt sấp trong 3 lần gieo"

Hướng dẫn trả lời:

Nhìn vào sơ đồ, ta thấy xác suất của biến cố "Có đúng 1 lần gieo được mặt sấp trong 3 lần gieo" là: 0,144 + 0,144 + 0,144 + 0,144 = 0,576

Bài 5: Một hộp chứa 50 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 50. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra là số chẵn"

b) B: "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 4"

Hướng dẫn trả lời:

a) M là biến cố "Số ghi trên 2 thẻ đều là số chẵn", $P(M) = \frac{C_{25}^{2}}{C_{50}^{2}}$

N là biến cố "Số ghi trên 2 thẻ đều là số lẻ", $P(N) = \frac{C_{25}^{2}}{C_{50}^{2}}$

Biến cố A "Tổng các số ghi trên 2 thẻ là số chẵn" là $M \cup N$

Do M, N là 2 biến cố xung khắc

$P(A) = P(M) + P(N) = \frac{24}{49}$

b) C là biến cố "Có 1 số chia hết cho 4, 1 số là số lẻ", $P(C) = \frac{C_{12}^{1} +C_{25}^{1}}{C_{50}^{2}}$

Biến cố B "Tích các số ghi trên 2 thẻ chia hết cho 4" là $M \cup C$

M và C là 2 biến cố xung khắc nên:

$P(B) = P(M)+ P(C) = \frac{24}{49}$