Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Các công thức lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghét bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Hướng dẫn trả lời:

Do các cung AB, BC bằng nhau nên góc lượng giác (OC, OB) = (OB, OA)

Suy ra (OC, OA) = 2.(OB, OA)

Ta có:

BB' = R.sin(OB, OA)

CC' = R.sin(OC, OA)

Từ đó tính được sin(OC, OA) và biết được khoảng cách từ điểm C đến AH.

1. Công thức cộng

Khám phá 1: Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ sau đây:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = \left | \overrightarrow{OM} \right |.\left | \overrightarrow{ON} \right |cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos(\alpha -\beta )$

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = x_{M}.x_{N}+y_{M}.y_{N}$

Hãy suy ra công thức tính $cos(\alpha -\beta )$ theo các giá trị lượng giác của $\alpha $ và $\beta $. Từ đó, hãy suy ra công thức $cos(\alpha +\beta )$ bằng cách thay $\beta $ bằng -$\beta $.

Hướng dẫn trả lời:

Từ hay cách tính $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}$, ta có:

$cos(\alpha -\beta ) = x_{M}.x_{N}+y_{M}.y_{N}$

$cos(\alpha -\beta ) = OM.cos\beta .ON.cos\alpha  + OM.sin\beta .ON.sin\alpha $

$cos(\alpha -\beta ) = cos\beta .cos\alpha  + sin\beta .sin\alpha $

Thay $\beta $ bằng -$\beta $, ta được:

$cos(\alpha +\beta ) = cos-\beta .cos\alpha  + sin-\beta .sin\alpha $

$cos(\alpha +\beta ) = cos\beta .cos\alpha  - sin\beta .sin\alpha $

Do ta biết được BB', đường kính AH nên có thể tính được R và sin(OB, OA)

Thực hành 1: Tính $sin(\frac{\pi }{12})$ và $tan(\frac{\pi }{12})$

Hưỡng dẫn trả lời:

$sin(\frac{\pi }{12}) = sin(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{3}).cos(\frac{\pi }{4}) - cos(\frac{\pi }{3}).sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan(\frac{\pi }{12}) = tan(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}) = \frac{tan\frac{\pi }{3} -tan\frac{\pi }{4} }{1+tan\frac{\pi }{3}tan\frac{\pi }{4}} = \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$

2. Công thức góc nhân đôi

Khám phá 2: Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp $\beta  = \alpha $ và tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $.

Hướng dẫn trả lời:

Khi $\beta  = \alpha $, ta có:

$cos(\alpha +\alpha ) = cos\alpha .cos\alpha - sin\alpha .sin\alpha $

$cos2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha$

$sin(\alpha +\alpha ) = sin\alpha .cos\alpha + cos\alpha .sin\alpha $

$sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha $

$tan(\alpha +\alpha ) = \frac{tan\alpha +tan\alpha }{1-tan\alpha .tan\alpha } $

$tan2\alpha = \frac{2tan\alpha }{1-tan^{2}\alpha } $

Thực hành 2: Tính $cos\frac{\pi }{8}$ và $tan\frac{\pi }{8}$

Hướng dẫn trả lời

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{2} =cos\frac{\pi }{4} = 2.cos^{2}\frac{\pi }{8} - 1$. Suy ra $cos^{2}\frac{\pi }{8} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Vì $0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{2} $ nên $cos\frac{\pi }{8} > 0 $. Suy ra $cos\frac{\pi }{8} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}$

Ta có: $tan^{2}\frac{\pi }{8} + 1 = \frac{1}{cos^{2}\frac{\pi }{8}} $. Suy ra $tan^{2}\frac{\pi }{8} = \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Vì $0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{2} $ nên $tan\frac{\pi }{8} > 0 $. Suy ra $tan\frac{\pi }{8} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Khám phá 3: Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) $cos(\alpha -\beta )$ và $cos(\alpha +\beta )$

b) $sin(\alpha -\beta )$ và $sin(\alpha +\beta )$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )$

= $cos(\alpha ).cos(\beta ) + sin(\alpha ).sin(\beta ) + cos(\alpha ).cos(\beta ) - sin(\alpha ).sin(\beta )$

= $2.cos(\alpha ).cos(\beta )$

$cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )$

= $cos(\alpha ).cos(\beta ) + sin(\alpha ).sin(\beta ) - cos(\alpha ).cos(\beta ) + sin(\alpha ).sin(\beta )$

= $2.sin(\alpha ).sin(\beta )$

b) $sin(\alpha -\beta )+sin(\alpha +\beta ) $

= $sin(\alpha ).cos(\beta ) - cos(\alpha ).sin(\beta ) + sin(\alpha ).cos(\beta ) + cos(\alpha ).sin(\beta )$

= $2.sin(\alpha ).cos(\beta )$

$sin(\alpha -\beta )-sin(\alpha +\beta )$

= $sin(\alpha ).cos(\beta ) - cos(\alpha ).sin(\beta ) - sin(\alpha ).cos(\beta ) - cos(\alpha ).sin(\beta )$

= $-2.cos(\alpha ).sin(\beta )$

Thực hành 3: Tính giá trị của biểu thức $sin\frac{\pi }{24}cos\frac{5\pi }{24}$ và $sin\frac{7\pi }{8}cos\frac{5\pi }{8}$

Hướng dẫn trả lời:

$sin\frac{\pi }{24}cos\frac{5\pi }{24} = \frac{1}{2}\left [ sin(\frac{\pi }{24}-\frac{5\pi }{24})+sin(\frac{\pi }{24}+\frac{5\pi }{24} \right ]$

$= \frac{1}{2}\left [ sin(\frac{-\pi }{6})+sin(\frac{\pi }{4})\right ]= \frac{1}{2}.(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$

$sin\frac{7\pi }{8}sin\frac{5\pi }{8} = \frac{1}{2}\left [ cos(\frac{7\pi }{8}-\frac{5\pi }{8})-cos(\frac{7\pi }{8}+\frac{5\pi }{8}) \right ] $

$= \frac{1}{2}\left [ cos(\frac{\pi }{4})-cos(\frac{3\pi }{2})\right ]= \frac{1}{2}.(\frac{\sqrt{2}}{2}-0) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Khám phá 4: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $a = \frac{\alpha +\beta }{2} $ và $b = \frac{\alpha -\beta }{2} $, ta được các đẳng thức nào?

Hướng dẫn trả lời:

$cosa.cosb = \frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]$

$cos\frac{\alpha +\beta }{2} .cos\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}[cos(\frac{\alpha +\beta }{2} -\frac{\alpha -\beta }{2})+cos(\frac{\alpha +\beta }{2} +\frac{\alpha -\beta }{2})]$

$cos\frac{\alpha +\beta }{2} .cos\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}.(cos\alpha +cos\beta )$

$sina.sinb = \frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)]$

$sin\frac{\alpha +\beta }{2} .sin\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}[cos(\frac{\alpha +\beta }{2} +\frac{\alpha -\beta }{2})-cos(\frac{\alpha +\beta }{2} -\frac{\alpha -\beta }{2})]$

$sin\frac{\alpha +\beta }{2} .sin\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}.(cos\alpha-cos\beta )$

$sina.cosb = \frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]$

$sin\frac{\alpha +\beta }{2} .cos\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}[sin(\frac{\alpha +\beta }{2} -\frac{\alpha -\beta }{2})+sin(\frac{\alpha +\beta }{2} +\frac{\alpha -\beta }{2})]$

$sin\frac{\alpha +\beta }{2} .cos\frac{\alpha -\beta }{2} = \frac{1}{2}(sin\beta +sin\alpha )$

$sinb.cosa = \frac{1}{2}[sin(b-a)+sin(a+b)]$

$sin\frac{\alpha -\beta }{2} .cos\frac{\alpha +\beta }{2} = \frac{1}{2}[sin(\frac{\alpha -\beta }{2}-\frac{\alpha +\beta }{2} )+sin(\frac{\alpha +\beta }{2} +\frac{\alpha -\beta }{2})]$

$sin\frac{\alpha -\beta }{2} .cos\frac{\alpha +\beta }{2} = \frac{1}{2}(sin\alpha -sin\beta )$

Thực hành 4: Tính $cos\frac{7\pi }{12} + cos\frac{\pi }{12}$.

Hướng dẫn trả lời:

$cos\frac{7\pi }{12} + cos\frac{\pi }{12} = 2.cos\frac{\frac{7\pi }{12}+\frac{\pi }{12}}{2}.cos\frac{\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{12}}{2} = 2.cos\frac{\pi }{3}.cos\frac{\pi }{4}=2.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vận dụng: Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm. Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có AH = 120. Suy ra R = 120 : 2 = 60 (cm)

$sin\alpha  = \frac{BB'}{R}=\frac{27}{60} = \frac{9}{20}$

$cos\alpha  = \sqrt{1-sin^{2}\alpha } = \frac{\sqrt{319}}{20}$ do có $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

CC' = R.$sin2\alpha$ = R.$2.sin\alpha .cos\alpha $ = 60. $2.\frac{9}{20}.\frac{\sqrt{319}}{20} \approx $48,2 (cm)

BÀI TẬP

Bài tập 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) $\frac{5\pi }{12}$

b) $-555^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

$sin(\frac{5\pi }{12}) = sin(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})+cos(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) $

$= \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$cos(\frac{5\pi }{12}) = cos(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}) = cos(\frac{\pi }{6}).cos(\frac{\pi }{4})-sin(\frac{\pi }{6}).sin(\frac{\pi }{4}) $

$= \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan(\frac{5\pi }{12}) = \frac{sin(\frac{5\pi }{12})}{cos(\frac{5\pi }{12})} = \frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$sin(-555^{o}) = sin(720^{o}-555^{o}) = sin165^{o} = sin(180^{o}-165^{o}) = sin15^{o}$

$= sin(45^{o}-30^{o})= sin(45^{o}).cos(30^{o})-cos(45^{o}).sin(30^{o})$

$= \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$cos(-555^{o}) = cos(720^{o}-555^{o}) = cos165^{o} = -cos(180^{o}-165^{o})$

$= -cos15^{o} = -cos(45^{o}-30^{o})= -cos(45^{o}).cos(30^{o})-sin(45^{o}).sin(30^{o})$

$= -\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$tan(-555^{o}) = \frac{sin(-555^{o})}{cos(-555^{o})} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

Bài tập 2: Tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$, $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha )$ biết $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $cos\alpha <0$

$cos\alpha = -\sqrt{1-sin^{2}\alpha } = -\frac{12}{13}$

$sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) = sin\alpha .cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha .sin\frac{\pi }{6} = \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-12}{13}.\frac{1}{2} = \frac{-5\sqrt{3} -12}{26}$

$cos(\frac{\pi }{4}-\alpha ) = cos\frac{\pi }{4} .cos\alpha + sin\frac{\pi }{4} .sin\alpha = \frac{-12}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-5}{13}.\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-17\sqrt{2}}{26}$

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $, biết:

a) $sin\alpha  = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

b) $sin\frac{\alpha}{2}  = \frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <2\pi $

Hướng dẫn trả lời

a) $cos2\alpha  =1 -2sin^{2}\alpha  = \frac{1}{3}$

Do $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $0<2\alpha <\frac{\pi }{2}$. Suy ra $sin2\alpha >0$

$sin2\alpha  = \sqrt{1-cos^{2}2\alpha }  = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

b) $cos\alpha  =1 -2sin^{2}\frac{\alpha}{2}  = \frac{-1}{8}$

$cos2\alpha  =2cos^{2}\alpha - 1 = \frac{-31}{32}$

Do $\pi <\alpha <2\pi $ nên $sin\alpha <0$

Mà $cos\alpha <0$. Suy ra $sin2\alpha >0$

$sin2\alpha = -\sqrt{1-cos2\alpha } = \frac{\sqrt{63}}{32}$

Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha $

b) $(cos\alpha  + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha $

Hướng dẫn trả lời:

a) $\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha $

= $-\sqrt{2}cos\alpha - cos\alpha $

= $-(\sqrt{2}+1)cos\alpha $

b) $(cos\alpha  + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha$

= $cos^{2}\alpha  +sin^{2}\alpha + 2sin\alpha .cos\alpha -2sin\alpha .cos\alpha $

= 1

Bài tập 5: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết:

a) $cos2\alpha = \frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$

b) $sin2\alpha = -\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $sin\alpha <0$ và $cos\alpha >0$

Ta có: $\frac{2}{5}= cos2\alpha = 2.cos^{2}\alpha - 1 = 1-2sin^{2}\alpha $

Suy ra: $cos\alpha  = \frac{\sqrt{70}}{10}$ và $sin\alpha  = -\frac{\sqrt{30}}{10}$

b) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$ nên $\pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}$

Suy ra: $sin\alpha >0$, $cos\alpha <0$ và $cos2\alpha <0$

$cos2\alpha  = \sqrt{1-sin^{2}2\alpha} = -\frac{\sqrt{65}}{9}$

Suy ra: $cos\alpha \approx -0,69$ và $sin\alpha \approx 0,16$

Bài tập 6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sinA = sinBcosC + sinC.cosB.

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{A} +  \widehat{B} + \widehat{C}=\pi  $

Ta có: $sinA = sin(\pi -B- C)$

$sinA= sin(B+C)$

$sinA = sinB.cosC + cosB.sinC$

Bài tập 7: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn $\widehat{CAD} = 30^{o}$. Tính tan$\widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Hướng dẫn trả lời:

$tan\widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}$

$tan\widehat{BAD} = tan(\widehat{BAC}+\widehat{CAD})=\frac{tan\widehat{BAC}+tan\widehat{CAD}}{1-tan\widehat{BAC}.tan\widehat{CAD}} \approx 2,34$

$CD = BD - BC = AB.tan\widehat{BAD} \approx 6,36$

Bài tập 8: Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I,A,M thẳng hàng. Cho $\alpha $ là góc quay của trục khuỷu, O là vị trị của pít-tông khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính toạ độ $x_{M}$ của điểm M trên trục Ox theo $\alpha $.

b) Làm tròn $\alpha =0$. Sau 1 phút chuyển động, $x_{M}$ = -3cm. Xác định $x_{M}$ sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$  thì M ở vị trí O, H ở vị trí I. Ta có IO = HM = AM

$x_{M} = IM - OI = IH + HM - OI = IH + AM - AM = IH = IA.cos\alpha $

$x_{M} = 8cos\alpha $

b) Sau khi chuyển động 1 phút, trục khuỷu quay được một góc là $\alpha $

Khi đó $x_{M}$ = -3cm. Suy ra $cos\alpha  = \frac{-3}{8}$

Sau khi chuyển động 2 phút, trục khuỷu quay được một góc là $2\alpha $

$x_{M} = 8.cos2\alpha = 8.(2cos^{2}\alpha -1) = -5,75$

Bài tập 9: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là $\alpha $

a) Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin\alpha  = \frac{-30}{31}$

$cos\alpha  = \sqrt{1-(\frac{-30}{31})^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{31}$

b) $sin(OA, ON) = sin(\alpha -\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} - cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,27$

Chiều cao điểm N so với mặt đất là: 60 + 31.0,37 = 68,27 (m)

$sin(OA, OP) = sin(\alpha +\frac{2\pi }{3}) = sin\alpha .cos\frac{2\pi }{3} -+cos\alpha .sin\frac{2\pi }{3} \approx 0,7$

Chiều cao điểm P so với mặt đất là: 60 + 31.0,7 = 81,7 (m)