Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Góc lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Mỗi hình dưới đây thể hiện chuyển động quay của một điểm trên bánh lái tàu từ vị trí A đến vị trí B. Các chuyển động này có điểm nào giống nhau, điểm nào khác nhau?

Hướng dẫn trả lời:

Giống nhau: Bắt đầu ở vị trí A, kết thúc ở vị trí B

Khác nhau:

• Hình a và c bánh lái chuyển động ngược chiều kim đồng hồ, hình b chuyển động cùng chiều kim đồng hồ.
• Hình a bánh lái chuyển động nhiều hơn 1 vòng. Hình b và c bánh lái chuyển động ít hơn 1 vòng

1. Góc lượng giác

Khám phá 1: Một chiếc bánh lái tàu có thể quay theo cả hai chiều. Trong Hình 1 và Hình 2, lúc đầu thanh OM ở vị trí OA.

a) Khi quay bánh lái ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1), cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc $60^{o}$. Bảng dưới đây cho ta góc quay $\alpha $ của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp.

b) Nếu bánh lái được quay theo chiều ngược lại, nghĩa là quay cùng chiều kim đồng hồ (Hình 2) với cùng tốc độ như trên, người ta ghi -$60^{o}$ để chỉ góc mà thanh OM quay được sau mỗi giây. Bảng dưới đây cho ta góc quay $\alpha $ của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp.

Hướng dẫn trả lời:

Bảng a:

Bảng b:

Thực hành 1: Cho $\widehat{MON}$ = $60^{o}$. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (OM,ON). 

Hướng dẫn trả lời:

Số đo của góc lượng giác (OM,ON) trong Hình 6a là $60^{o}$

Số đo của góc lượng giác (OM,ON) trong Hình 6b là $60^{o}$ + 2. $360^{o}$ = $780^{o}$

Số đo của góc lượng giác (OM,ON) trong Hình 6c là $60^{o}$ - 3$60^{o}$ = -$300^{o}$

Công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (OM,ON) là:

(OM,ON) = $60^{o}$ + k. $360^{o}$ (k $\epsilon$ $\mathbb{Z}$) 

Vận dụng 1: Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?

Hướng dẫn trả lời:

Kim phút quét một góc là: 2. (-$360^{o}$) + (-$90^{o}$) = -$810^{o}$

Khám khá 2: Cho Hình 7

a) Xác định số đo các góc lượng giác (Oa, Ob), (Ob, Oc) và (Oa, Oc).

b) Nhận xét về mối liên hệ giữa ba số đo góc này.

Hướng dẫn trả lời:

(Oa, Ob) = $135^{o}$

(Ob, Oc) = -$80^{o}$

(Oa, Oc) = $415^{o}$ 

Ta thấy:

(Oa, Oc) = $415^{o}$ = $135^{o}$ + (-$80^{o}$) + $360^{o}$ 

(Oa, Oc) = (Oa, Ob) + (Ob, Oc) + $360^{o}$

Vận dụng 2: Trong Hình 8, chiếc quạt có 3 cánh được phân bố đều nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

(Ox, ON) = $70^{o} + k.360^{o}$

(Ox; OP) = $190^{o} + k.360^{o}$

2. Đơn vị radian

Khám phá 3: Vẽ đường tròn tâm O bán kính R bất kì. Dùng một đoạn dây mềm đo bán kính và đánh dấu được một cung  AB có độ dài bằng đúng R (Hình 9). Đo và cho biết $\widehat{AOB}$ có số đo bằng bao nhiêu độ.

Hướng dẫn trả lời:

$\widehat{AOB}$ $\approx $ $57^{o}$

Thực hành 2: Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:

Hướng dẫn trả lời:

3. Đường tròn lượng giác

Khám phá 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và điểm A(1; 0). 

a) Cho điểm B(0;1). Số đo góc lượng giác (OA,OB) bằng bao nhiêu radian?

b) Xác định các điểm A' và B' trên đường tròn sao cho các góc lượng giác (OA,OA'), (OA,OB') có số đo lần lượt là $\pi $ và -$\frac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

(OA, OB) = $\frac{\pi }{2}$

Thực hành 3: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:

a) -$1485^{o}$

b) $\frac{19\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có -$1485^{o}$ = -$45^{o}$ + (-4).$360^{o}$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo -$1485^{o}$ là điểm M trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho $\widehat{AOM}$ = -$45^{o}$

b) Ta có $\frac{19\pi }{4}$ = $\frac{3\pi }{4}$ + 2.$2\pi $. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{19\pi }{4}$ là điểm N trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho $\widehat{AON}$ = $\frac{3\pi }{4}$

BÀI TẬP

Bài tập 1: Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

a) $38^{o}$

b) -$115^{o}$

c) $\left ( \frac{3}{\pi } \right )^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $38^{o}$ = $\frac{19\pi }{90}$ rad

b) -$115^{o}$ = -$\frac{23\pi }{36}$ rad

c) $\left ( \frac{3}{\pi } \right )^{o}$ = $\frac{1}{60}$ rad

Bài tập 2: Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

a) $\frac{\pi }{12}$

b) -5

c) $\frac{13\pi }{9}$

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{\pi }{12}$ = $15^{o}$

-5 = -$286,5^{o}$

$\frac{13\pi }{9}$ = $260^{o}$

Bài tập 3: Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác

a) $\frac{-17\pi }{3}$

b) $\frac{13\pi }{4}$

c) $-765^{o}$

Hướng dẫn trả lời

a) Ta có $\frac{-17\pi }{3} = \frac{\pi }{3} - 3.2\pi$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{-17\pi }{3}$ là điểm M trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho $\widehat{AOM} = \frac{\pi }{3}$

b) Ta có $\frac{13\pi }{4} = \frac{5\pi }{4} + 2\pi$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{13\pi }{4}$ là điểm N trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho $\widehat{AON} = \frac{5\pi }{4}$

c) Ta có $-765^{o} = -45^{o} - 2.360^{o}$. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $-765^{o}$ là điểm P trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho $\widehat{AOP} = -45^{o}$

Bài tập 4: Góc lượng giác $\frac{31\pi }{7}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

$\frac{3\pi }{7}$; $\frac{10\pi }{7}$; $\frac{-25\pi }{7}$.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 

$\frac{31\pi }{7} = \frac{3\pi }{7} + 2.2\pi $

$\frac{-25\pi }{7} = \frac{3\pi }{7} - 2.2\pi $

Vậy góc lượng giác $\frac{31\pi }{7}$ có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{3\pi }{7}$ và $\frac{-25\pi }{7}$

Bài tập 5: Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) và (OA, ON) trong Hình 14

Hướng dẫn trả lời:

(OA, OM) = $\frac{2\pi }{3} + k.2\pi $

(OA, ON) = $\frac{5\pi }{12} + k.2\pi $

Bài tập 6: Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON).

Hướng dẫn trả lời:

(Ox, ON) = $-99^{o} +k.360^{o}$

Bài tập 7: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:

a) $\frac{\pi }{2} + k\pi (k \in  \mathbb{Z})$

b) $k\frac{\pi }{4} (k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

Góc lượng giác có số đo có dạng $\frac{\pi }{2} + k\pi  (k\in \mathbb{Z})$ được biểu diễn bằng điểm A trên đường tròn lượng giác.

Góc lượng giác có số đo có dạng $k\frac{\pi }{4} (k \in  \mathbb{Z})$ được biểu diễn bằng điểm B trên đường tròn lượng giác.

Bài tập 8: Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong Hình 16 có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?

$\frac{\pi }{2} + k \frac{2\pi }{3} (k \in \mathbb{Z})$; $\frac{-\pi }{6} + k \frac{2\pi }{3} (k \in \mathbb{Z})$; $\frac{\pi }{3} + k \frac{\pi }{3} (k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

Điểm B, C, D biểu diễn cho góc lượng giác $\frac{\pi }{2} + k \frac{2\pi }{3} (k \in \mathbb{Z})$

Bài tập 9: Hải li là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc $\alpha = \left ( \frac{1}{60}\right )^{o}$ của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo $\alpha$ sang radian và cho biết 1 hải li bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là 6371km. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn trả lời:

$\alpha = \left ( \frac{1}{60}\right )^{o} = \frac{\pi }{10800} $rad

1 hải li = $\frac{\pi }{10800}$. 6371 $\approx $ 1,85 (km)