Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương II

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_{n})$ lần lượt là:

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{27}$

B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{25}$

D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{28}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Câu 2: Cho dãy số: $\frac{1}{3}; \frac{1}{3^{2}};\frac{1}{3^{3}};\frac{1}{3^{4}};\frac{1}{3^{5}};...$ Số hạng tổng quát của dãy số này là

A. $u_{n}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3^{n+1}}$

B. $u_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}$

C. $u_{n}=\frac{1}{3^{n}}$

D. $u_{n}=\frac{1}{3^{n-1}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Câu 3: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn

B. Dãy số giảm và bị chặn

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới

D. Dãy số giảm và bị chặn trên

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$

$u_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+3}<1-\frac{1}{n+2}=u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$.

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm

$u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}<1,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n}= 1 - \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Đáp án: B

Câu 4: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$, công sai d. Khi đó, với $n\geq 2$ ta có

A. $u_{n}=u_{1}+d$

B. $u_{n}=u_{1}+(n+1)d$

C. $u_{n}=u_{1}-(n-1)d$

D. $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Câu 5: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1}=3$ và $u_{2}=-1$. Khi đó

A. $u_{3}=4$

B. $u_{3}=2$

C. $u_{3}=-5$

D. $u_{3}=7$

Hướng dẫn trả lời

$u_{2}= u_{1} + d \Leftrightarrow -1=3+d \Leftrightarrow d = -4$

$u_{3}= u_{1} + 2d = 3 + (-4).2 = -5$

Đáp án: C

Câu 6: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}=-1$ và công sai d = 3. Khi đó $S_{5}$ bằng

A. 11

B. 50

C. 10

D. 25

Hướng dẫn trả lời:

$S_{5} = \frac{5.\left [ 2.(-1)+(5-1).3 \right ]}{2}= 25$

Đáp án: D

Câu 7: Có bao nhiêu số thực x để 2x - 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn trả lời:

Do 2x - 1; x; 2x + 1 lần lượt tạo thành cấp số nhân. Gọi công bội là q

Ta có: $\left\{\begin{matrix}x = (2x-1)q\\2x+1=xq\end{matrix}\right.$

Suy ra: $\frac{x}{2x-1}=\frac{2x+1}{x} \Leftrightarrow x^{2}=4x^{2}-1$

$\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x = \frac{-\sqrt{3}}{3}$

Đáp án: B

Câu 8: Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là:

A. $\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{2}$

B. $\frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}$

C. $\frac{\pi }{6}; \frac{2\pi }{6}; \frac{4\pi }{6}$

D. $\frac{\pi }{7}; \frac{2\pi }{7}; \frac{4\pi }{7}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi 3 góc của tam giác đó là: u; 2u; 4u

Ta có: $u + 2u + 4u = \pi \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{7}$

Vậy 3 góc của tam giác là $\frac{\pi }{7}, \frac{2\pi }{7}, \frac{4\pi }{7}$

Đáp án: D

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 9: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}}$

Ta có: $u_{n+1} = \left ( \frac{3}{2} \right )^{n+1}-\frac{1}{2^{n+1}}>\left ( \frac{3}{2} \right )^{n}-\frac{1}{2^{n}} = u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

Câu 10: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}= \frac{2n+1}{n+2}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}= \frac{2n+1}{n+2} = 2 -\frac{3}{n+2}$

Ta có:

$u_{n}<2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n}>\frac{1}{2}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới

Suy ra, dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Câu 11: Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng $(u_{n})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{1}+40d=0\\\frac{4.(2u_{1}+3d)}{2}=14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}15u_{1}+40d=0\\2u_{1}+3d=7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=8\\d=-3\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+6d+u_{1}+14d=60\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u_{1}+20d=60\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=30-10d\\(u_{1}+3d)^{2}+ (u_{1}+11d)^{2}=1170\end{matrix}\right.$

Suy ra: $(30-10d+3d)^{2}+(30-10d+11d)^{2}=1170$

$\Leftrightarrow 900-420d + 49d^{2}+900+60d+d^{2}=1170$

$\Leftrightarrow 50d^{2} -360d + 630 = 0$

$\Leftrightarrow d = 3$ hoặc $d =\frac{21}{5}$

Với $d = 3$ thì $u_{1} = 0$

Với $d =\frac{21}{5}$ thì $u_{1} = -12$

Câu 12: Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q của cấp số nhận $(u_{1})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}.q^{4}=96\\u_{1}.q^{5}=192\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=6\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}.q^{3} + u_{1}.q=72\\u_{1}.q^{4} + u_{1}.q^{2}=144\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=2\\u_{1}=8\end{matrix}\right.$

Câu 13: Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110 000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là 12%/năm, xuất cư là 2%/năm, tử vong là 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.

Hướng dẫn trả lời:

Số cá thể của quần thể qua các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là: q = 1 + 0,12 - 0,02 - 0,08 = 1,02

Số cá thể sau hai năm là: $110000.1,02^{2} = 114444$ (cá thể)

Câu 14: Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La Trung là 400 Hz và tần số phím La Cao cao hơn 12 phím là 800 Hz. Tìm công bội của cấp số nhân nói trên.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $q^{12}=\frac{800}{400}=2$

Suy ra: q = 1,06

Câu 15: Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giảm thống kê năm 2020). Nếu trung bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)

Hướng dẫn trả lời:

Ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là: $97,6.(1+0,0114)^{20} = 122,4$ (triệu người)