Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Một đại lí bảo hiểm đã thống kê số lượng khách mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày ở biểu đồ bên. 

Hãy so sánh độ tuổi trung bình của khách hàng nam và khách hàng nữ

Hướng dẫn trả lời:

Độ tuổi trung bình của khác hàng nam lớn hơn của khách hàng nữ

1. Số liệu ghép nhóm

Khám phá 1: Sử dụng dữ liệu ở biểu đồ trong Mở đầu, hoàn thiện bảng thống kê về số lượng khách hàng nữ theo tuổi sau:

Hướng dẫn trả lời:

Thực hành 1: Một cửa hàng đã thống kế số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:

Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện của mỗi nhóm

Hướng dẫn trả lời:

2. Số trung bình

Khám phá 2: Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 cau hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:

a) Tính giá trị đại diện $c_{1}; 1 \leq i \leq 5$, của từng nhóm số liệu

b) Tính $n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+n_{3}c_{3}+n_{4}c_{4}+n_{5}c_{5}$

c) Tính $\overline{x}=\frac{n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+n_{3}c_{3}+n_{4}c_{4}+n_{5}c_{5}}{40}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $c_{1} = 18,5; c_{2} = 23,5; c_{3} = 28,5; c_{4} = 33,5; c_{5} = 38,5$

b) $n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+n_{3}c_{3}+n_{4}c_{4}+n_{5}c_{5} = 1200$

c) $\overline{x}=\frac{n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+n_{3}c_{3}+n_{4}c_{4}+n_{5}c_{5}}{40}=\frac{1200}{40} =30$

Thực hành 2: Hãy ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 trong Khám phá 1

Hướng dẫn trả lời:

Số câu trả lời đúng của học sinh lớp 11A1 là 30 câu

Thực hành 3: Hãy ước lượng cân nặng trung bình của học sinh trong Ví dụ 2 sau khi ghép nhóm và so sánh kết quả tìm được với cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc.

Hướng dẫn trả lời:

Cân nặng trung bình của học sinh trong lớp 11 xấp xỉ là 

(47.4+51.5+55.7+59.7+63.5):28=55,6 (kg)

Giá trị ước lượng cân nặng trung bình xấp xỉ bằng cân nặng trung bình của mẫu số liệu gốc

3. Mốt

Khám phá 3: Từ mẫu số liệu ở Mở đầu, hãy cho biết khách hàng nam và khách hàng nữ ở khoảng tuổi nào mua bảo hiểm nhân thọ nhiều nhất. Ta có thể biết mốt của mẫu số liệu đó không?

Hướng dẫn trả lời:

Khách hàng nam ở khoảng tuổi từ 40 đến 50 mua bảo hiểm nhân thọ nhiều nhất

Khách hàng nữ ở khoảng tuổi từ 30 đến 40 mua bảo hiểm nhân thọ nhiều nhất

Ta có thể biết được mốt của số liệu đó

Thực hành 4: Hãy sử dụng dữ liệu ở mở đầu để tư vấn cho đại lí xác định khách hàng nam và nữ ở tuổi nào hay mua bảo hiểm nhất

Hướng dẫn trả lời:

Số khách hàng mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nam là [40;50)

Do đó $u_{m}=40, n_{m-1} = 6; n_{m+1} = 7; u_{m+1} - u_{m} = 50-40=10$

Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 

$M_{0} = 40 + \frac{10-6}{(10-6)+(10-7)}.10 = 45,7$

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nam 46 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nữ là [30;40)

Do đó $u_{m}=30, n_{m-1} = 3; n_{m+1} = 6; u_{m+1} - u_{m} = 40-30=10$

Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 

$M_{0} = 30 + \frac{9-3}{(9-3)+(9-6)}.10 = 36,7$

Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nữ 37 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất

BÀI TẬP

Bài 1: Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của minh ở bảng sau (đơn vị: mét)

a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném

b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên

d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất

Hướng dẫn trả lời:

a) Cự li trung bình của mỗi lần ném là 71,6 (m)

b) 

c) 

Cự li trung bình mỗi lần ném xấp xỉ bằng $\frac{69,6.4+70,4.2+71,2.9+72.10+72,8.5}{30}= 71,5$ (m)

d) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [71,6; 72,4)

Do đó: $u_{m}=71,6; n_{m-1} = 9; n_{m+1}=5; u_{m+1}-u_{m} = 72,4-71,6=0,8$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{0} = 71,6 + \frac{10-9}{(10-9)+(10-5)}.0,8 = 71,7$ (m)

Vậy khả năng anh Văn ném được 71,7 m là cao nhất 

Bài 2: Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

a) Tìm số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút

b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút là 17,4 xe

b) 

c) Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:

$\frac{8.5+13.9+18.3+23.9+28.4}{30}=17,7$

Bài 3: Một thư viện thống kế số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn trả lời:

Số liệu trên được hiệu chỉnh như sau:

Số sách được mượn trung bình mỗi ngày xấp xỉ bằng:

$(18.3+23.6+28.15+33.27+38.33+43.14+48.5):92 = 34,6$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [30,5;35,5)

Do đó $u_{m}=30,5; n_{m-1} = 15, n_{m+1}=22, u_{m+1} - u_{m} = 35,5 - 30,5 = 5$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

$M_{0} = 30,5 + \frac{27-15}{(27-15)+(27-22)}.5 = 34$

Bài 4: Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn trả lời:

Chiều cao của 200 cây keo được thống kê như bảng sau:

Chiều cao trung bình của 200 cây xấp xỉ bằng:

$(8,65.20+8,95.35+9,25.60+9,55.55+9,85.30):200 = 9,31$ (m)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [9,1;9,4)

Do đó: $u_{m}=9,1; n_{m-1}=35; n_{m+1} = 55; u_{m+1}-u_{m} = 9,4-9,1=0,3$

Mốt của mẫu số liệu trên là:

$M_{0} = 9,1 +\frac{60-35}{(60-35)+(60-55)}.0,3 = 9,35$ (m)