Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khám phá 1: Thả một sợi dây AO chạm sàn nhà tại điểm O. Kẻ một đường thẳng xOy bất kì trên sàn nhà

a) Dùng êke để kiểm tra xem AO có vuông góc với xOy không

b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà

Hướng dẫn trả lời:

a) $AO \perp xOy$

b) Dây dọi vuông góc với 1 đường thẳng bất kì trong sàn nhà

Khám phá 2: Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P). Xét một đường thẳng c bất kì trong (P) (c song song với a và b). Gọi O là giao điểm của d và (P). Trong (P) vẽ qua O ba đường thẳng a', b', c' lần lượt song song với a, b, c. Vẽ một đường thẳng cắt a', b', c' lần lượt tại B, C, D. Trên d lấy hai điểm E, F sao cho O là trung điểm của EF (Hình 4)

a) Giải thích tai sao hai tam giác CEB và CFB bằng nhau

b) Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì a//a', $d \perp a$ nên $d \perp a'$, Hay $EF \perp OB$

Tam giác EBF có $OB \perp EF$; O là trung điểm EF nên tam giác EBF cân tại B. Suy ra BE = BF

Tương tự ta chứng minh được CE = CF

Suy ra tam giác CEB bằng tam giác CFB

b) Vì tam giác CEB và CFB bằng nhau nên DE = DF

Nên tam giác DEF cân tại D có DO là trung tuyến nên $DO \perp EF$

Suy ra $d \perp c$

Khám phá 3: a) Trong không gian, cho điểm O và đường thẳng d. Gọi a, b là hai đường thẳng phân biệt đi qua O và vuông góc với d (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng d vf mp(a,b)?

b) Trong không gian, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi (Q) và (R) là hai mặt phẳng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a,b nằm trong (P) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng (P) và giao tuyến d của (Q), (R)?

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên $ d \perp (P)$

b) Vì $a \perp (Q); d \in (Q)$ nên $a \perp d$

Vì $b \perp (R), d \in (R)$ nên $b \perp d$

Vì đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên $ d \perp (P)$

Thực hành 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) $CB \perp (SAB)$ và $CD \perp (SAD)$

b) $HK \perp AI$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BC, SA \ perp CD$

Ta có CB vuông góc với hai đường thẳng AB và SA cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (SAB) nên $CB \perp (SAB)$

Ta có CD vuông góc với hai đường thẳng AD và SA cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (SAD) nên $CD \perp (SAD)$

b) Vì $BC \perp (SAB); AH \in (SAB)$ nên $BC \perp AH$

Ta có AH vuông góc với hai đường thẳng SB và BC cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (SBC) nên $AH \perp (SBC)$

Mà $SC \in (SBC)$. Suy ra $AH \perp SC$

Vì $CD \perp (SAD); AK \in (SAD)$ nên $CD \perp AK$

Ta có AK vuông góc với hai đường thẳng SD và CD cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (SCD) nên $AK \perp (SCD)$

Mà $SC \in (SCD)$. Suy ra $AK \perp SC$

Ta có SC vuông góc với hai đường thẳng AK và AH cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (AHK) nên $SC \perp (AHK)$

Mà $HK \in (AHK)$ nên $SC \perp HK$

VÌ $SA \perp (ABCD); DB \in (ABCD)$ nên $SA \perp DB$

Mà HK // BD nên $HK \perp SA$

Ta có HK vuông góc với hai đường thẳng SA và SC cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (SAC) nên $HK \perp (SAC)$

Mà $AI \in (SAC)$ nên $HK \perp AI$

Vận dụng 1: Làm thế nào để dựng cột chống biển báo nào đó vuông góc với mặt đất?

Hướng dẫn trả lời:

Chân cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau. Ta dựng cột chống vuông góc với hai đường thẳng đó sẽ được cột chống biển báo vuông góc với mặt đất.

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Khám phá 4: Nêu nhận xét về vị trí tương đối của:

a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất

b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn

c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất song song với nhau

b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn song song với nhau

c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà song song với nhau

Thực hành 2: Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A', B', C' lần lượt là trung điểm cuẩ OA, AB, AC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng:

a) $OA \perp (A'B'C')$

b) $B'C' \perp (OAH)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác AOB có A'B' là đường trung bình nên A'B'//AB hay A'B'//(OBC)

Tam giác AOC có A'C' là đường trung bình nên A'C"//AC hay A'C'//(OBC)

Suy ra (A'B'C')//(OBC)

Mà $OA\perp (OBC)$ nên $OA \perp (A'B'C')$

b) Vì $OA \perp (OBC); BC \in (OBC)$ nên $OA \perp CB$

Ta có đường thẳng BC vuông góc với hai đường thẳng OH và OA cắt nhau cùng thuộc (AOH) nên $BC \perp (OAH)$

Mà tam giác ABC có B'C' là đường trung bình nên B'C'//BC

Suy ra $B'C' \perp (AOH)$ 

Thực hành 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB là cạnh góc vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, AB, CD, SC. Chứng minh rằng:

a) $SA \perp (MNPQ)$

b) $MQ \perp (SAB)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác SAB có MN là đường trung bình nên MN//SA

Mà $SA \perp (ABCD)$ nên $MN \perp (ABCD)$. Suy ra $MN \perp AB$

Hình thang ABCD có NP là đường trung bình nên NP//BC//AD. Mà $BC \perp AB$ nên $NP \perp AB$

Ta có AB vuông góc với hai đường thẳng MN và NP cắt nhau cùng thuộc (MNPQ) nên $AB \perp (MNPQ)$

b) Vì $AB \perp (MNPQ); MQ \in (MNPQ)$ nên $AB \perp MQ$

Tam giác SBC có MQ là đường trung bình nên MQ//BC. Mà $SA \perp BC$ nên $SA\perp MQ$

Ta có MQ vuông góc với hai đường thẳng SA và AB cắt nhau cùng thuộc (SAB) nên $MQ \perp (SAB)$

Vận dụng 2: Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thế nào dùng êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.

Hướng dẫn trả lời:

Ta dùng êke để kiểm tra từng mặt phẳng tấm gỗ có vuông góc với trụ chống không. Nếu có thì các tấm gỗ này song song với nhau

3. Phép chiếu vuông góc

Khám phá 5: Hai người thợ trong hình đang thả dây rọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M' nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM' với mặt sàn?

Hướng dẫn trả lời:

MM' vuông góc với mặt sàn

Thực hành 4: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp (ABCD)$ và đáy ABCD là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm C, đường thẳng CD và tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB)

Hướng dẫn trả lời:

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AD; SA \perp BC$

Ta có: $CB \perp AB, CB \perp SA$ nên $CB \perp (SAB)

Vậy hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là điểm B

Ta có: $DA \perp AB, DA \perp SA$ nên $DA \perp (SAB)

Vậy hình chiếu vuông góc của D lên (SAB) là điểm A

Suy ra hình chiếu vuông góc của CD lên (SAB) là AB; hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (SAB) là tam giác SAB.

Khám phá 6: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Lấy hai điểm A, B trên b và gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P).

a) Xác định hình chiếu b' của b trên (P)

b) Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp(b,b')

ii) hai đường thẳng a và b'

c) Cho a vuông góc với b', nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp(b,b')

ii) giữa hai đường thẳng a và b

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình chiếu b' của b trên (P) là A'B'

b)  $a \perp mp(b,b')$

$b \perp b'$

c) $a \perp mp(b,b')$

$a \perp b$

Thực hành 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng đi qua O và vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh $AH \perp BC$

Hướng dẫn trả lời:

Vì $OA \perp OB, OA \perp OC$ nên $OA \perp (OBC)$. Suy ra $OA \perp BC$

$OH \perp (ABC); BC \in (OBC)$ nên $BC \perp OH$

Ta có BC vuông góc với hai đường thẳng AH và OA cắt nhau cùng thuộc (OAH) nên $BC \perp (OAH)$

Suy ra $BC \perp AH$

Vận dụng 3: Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi

Hướng dẫn trả lời

Thả sợi dây rọi từ điểm A trên trần nhà và đánh dấu điểm A' nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn

Thả sợi dây rọi từ điểm B trên trần nhà và đánh dấu điểm B' nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn

Ta có A'B' là hình chiếu vuông góc của AB trên trên nền nhà

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \perp (ABCD)$. Cho biết ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2AD

a) Chứng minh $CD \perp (SAD)$

b) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh $CM \perp (SAB)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp CD$

Ta có: $DC \perp AD; DC \perp SA$ nên $DC \perp (SAD)$

b) Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp CM$

Ta có: AB = 2CD nên AM = CD. Suy ra AMCD là hình chữ nhật nên $CM \perp AB$

Mà $CM \perp SA$

Suy ra: $CM \perp (SAB)$

Bài 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) $AC \perp (SHK)$

b) $CK \perp (SDH)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABD có HK là đường trung bình nên HK//BD

Vì ABCD là hình vuông nên $AC \perp BD$. Suy ra $AC \perp HK$

Vì $SH \perp (ABCD)$ nên $SH \perp AC$

Ta có: $AC \perp SH, AC \perp HK$ nên $AC \perp (SHK)$

b) Ta có tam giác AHD và tam giác DKC bằng nhau nên $DH \perp CK$

Mà $SH \perp (ABCD)$ nên $SH \perp CK$

Suy ra $CK \perp (SDH)$

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, có các cạnh bên đều bằng 2a

a) Tính góc giữa SC và AB

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD)

Hướng dẫn trả lời:

a) AB//CD nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD: $\widehat{SCD}$

$cos\widehat{SCD} =\frac{(2a)^{2}+a^{2}-(2a)^{2}}{2.2a.a}=\frac{1}{4}$

Suy ra $\widehat{SCD} =75,5^{o}$

b) Kẻ $SO \perp (ABCD)$. Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có: $AO \perp OB; AC = \sqrt{2}.\sqrt{2}.a=2a; AO = BO = \frac{1}{2}.2a=a$

Hình chiếu vuông góc của tam giác SAB là tam giác OAB có diện tích là $\frac{1}{2}.a.a=\frac{1}{2}.a^{2}$

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{ASB} = 90^{o}; \widehat{BSC} = 60^{o}$ và $\widehat{ASC} = 120^{o}$. Gọi I là trung điểm cạnh AC. Chứng minh $SI \perp (ABC)$

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác SAB vuông tại S 
có: $AB =\sqrt{SA^{2}+SB^{2}}=a\sqrt{2}$

Tam giác SBC có: SB=SC=a, $\widehat{BSC} = 60^{o}$ nên tam giác SBC đều. Suy ra BC = a

Tam giác SAC có: $AC = \sqrt{SA^{2}+SC^{2}-2SA.SC.cos\widehat{ASC}} = a\sqrt{3}$

Tam giác ABC có $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại B

Mà I là trung điểm AC nên $BI = \frac{AC}{2}= a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SAC cân cạnh a có SI là trung tuyến nên $SI \perp AC$

Suy ra: $SI = \sqrt{SA^{2}-AI^{2}}=\frac{a}{2}$

Tam giác SIB có $SI^{2}+IB^{2} = SB^{2}$ nên tam giác SIB vuông tại I.

Ta có: $SI \perp IB; SI \perp AC$ nên $SI \perp (ABC)$

Bài 5: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' vuông góc với đáy (Hình 24)

Cho biết AB = AC = 2,4m; BC = 2m; AA' = 3m

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA' và BC; A'B' và AC

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C)

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì AA' // BB' nên góc giữa AA' và BC là góc giữa BB' và BC

Vì cạnh bên vuông góc với đáy nên $BB' \perp BC$. Do đó, $\widehat{B'BC}=90^{o}$

Vì A'B'//AB nên góc giữa A'B' và AC là góc giữa AB và AC

Ta có: $cos\widehat{BAC} = \frac{2,4^{2}+2,4^{2}-2^{2}}{2.2,4.2,4}=\frac{47}{72}$

Nên $\widehat{BAC} = 49,2^{o}$

b) Kẻ $AH \perp BC$. Vì cạnh bên vuông góc với đáy nên $BB' \perp AH$

Ta có $AH \perp BB', AH \perp BC$ nên $AH \perp (BCC'B')$

Hình chiếu vuông góc của ABB' lên (BB'C'C) là HBB'.

Ta có: $S_{HBB'} = \frac{1}{2}.HB.BB' = \frac{1}{2}.\frac{BC}{2}.BB' = \frac{3}{2}$