Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Dãy số

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Gọi $u_{1};u_{2};u_{3};....;u_{n}$ lần lượt là diện tích các hình vuông có độ dài cạnh là 1;2;3;...;n. Tính $u_{3}$ và $u_{4}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{3} = 3.3 = 9$

$u_{4} = 4.4 = 16$

1. Dẫy số là gì?

Khám phá 1: Cho hàm số:

$u: \mathbb{N}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$

      $n \mapsto u(n) = n^{2}$

Tính $u(1); u(2); u(50); u(100)$

Hướng dẫn trả lời:

$u(1) = 1^{2} = 1$

$u(2) = 2^{2} = 4$

$u(50) = 50^{2} = 2500$

$u(100) = 100^{2} = 10000$

Khám phá 2: Cho hàm số:

$v: {1;2;3;4;5} \rightarrow \mathbb{R}$

                      $n \mapsto v(n) = 2n$

Tính $v(1), v(2), v(3),v(4),v(5)$.

Hướng dẫn trả lời:

$v(1) = 2.1 = 2$

$v(2) = 2.2 = 4$

$v(3) = 2.3 = 6$

$v(4) = 2.4 = 8$

$v(5) = 2.5 = 10$

Thực hành 1: Cho dãy số:

$u: \mathbb{N}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$

         $n \mapsto u_{n} = n^{3}$

a) Hãy cho biết dãy trên là dãy hữu hạn hay vô hạn

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho

Hướng dẫn trả lời:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn

b)

$u_{1} = 1^{3} =1$

$u_{2} = 2^{3} =8$

$u_{3} = 3^{3} =27$

$u_{4} = 4^{3} =64$

$u_{5} = 5^{3} =125$

Vận dụng 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên

Hướng dẫn trả lời:

a) $s: {1; 2; 3; 4; 5} \rightarrow \mathbb{R}$

                          $n \mapsto s(n) = \pi .n^{2}$

b) $s(1) = \pi.1^{2} = \pi$

$s(5) = \pi.5^{2} = 25\pi$

2. Cách xác định dãy số

Khám phá 3: Cho các dãy số $(a_{n}), (b_{n}),(c_{n}), (d_{n})$ được xác định như sau:

• $a_{1}=0; a_{2}=1; a_{3}=2; a_{4}=3;a_{5}=4$
• $b_{n}=2n$
• $\left\{\begin{matrix}c_{1}=1\\ c_{n} = c_{n-1}+1 (n\geq 2)\end{matrix}\right.$
• $d_{n}$ là chu vi của đường tròn có bán kính n

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $a_{1}=0; a_{2}=1; a_{3}=2; a_{4}=3$

$b_{1}=2; b_{2}=4; b_{3}=6; b_{4}=8$

$c_{1}=1; c_{2}=2; c_{3}=3; c_{4}=4$

$d_{1}=2\pi ; d_{2}=4\pi ; d_{3}=6\pi ; d_{4}=8\pi $

Thực hành 2: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=3\\u_{n+1}=2u_{n} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$

a) Chứng minh $u_{2}=2.3; u_{3}=2^{2}.3;u_{4}=2^{3}.3$

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{2}=2.u_{1}=2.3$

$u_{3}=2.u_{2}=2.2.3=2^{2}.3$

$u_{4}=2.u_{3}=2.2^{2}.3=2^{3}.3$

b) $u_{n}= 2^{n-1}.3$

Vận dụng 2: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi $u_{n}$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số $(u_{n})$ bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

b) Viết hệ thức truy hồi

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{n}= 13 + n$

b) $\left\{\begin{matrix} u_{1}=14\\u_{n}=u_{n-1}+1\end{matrix}\right.$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Khám phá 4: Cho hai dãy số $(a_{n})$ và $(b_{n})$ được xác định như sau: $a_{n} = 3n+1$; $b_{n} = -5n$

a) So sánh $a_{n}$ và $a_{n+1}$, $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$

b) So sánh $b_{n}$ và $n_{n+1}$, $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$, ta có: $a_{n}<a_{n+1}$

b) $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$, ta có: $b_{n}>b_{n+1}$

Thực hành 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2n-1}{n+1}$

b) $(x_{n})$ với $x_{n} = \frac{n+2}{4^{n}}$

c) $(t_{n})$ với $t_{n} = (-1)^{n}.n^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $u_{n} = \frac{2n-1}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}<u_{n+1} = 2 - \frac{3}{n+2} \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng

b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy $(x_{n})$ đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:

$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\frac{n+1+1}{4^{n+1}}}{\frac{n+1}{4^{n}}} = \frac{n+2}{4.(n+1)} < 1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra $x_{n+1}<x_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $(x_{n})$ là dãy số giảm

c) Ta có: $t_{1}=-1; t_{2}= 4; t_{3}=-9$. Suy ra $t_{1}<t_{2},t_{2}>t_{3}$.

Vậy $(t_{n})$ không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm

Vận dụng 3: Một chồng gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi $u_{1}=25$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, $u_{n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng giảm của dãy số này

b) Gọi $v_{1}=14$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, $v_{n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng giảm của dãy số này

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $u_{n} = 26 -n >u_{n+ 1} = 26 -n-1=25-n$

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm

b) Ta có: $v_{n} = 13+n <v_{n+ 1} = 13+n+1=14+n$

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

4. Dãy số bị chặn

Khám phá 5: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Hướng dẫn trả lời:

$\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Ta có: $u_{n}>0; u_{n}<1$

Thực hành 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n}= cos\frac{\pi }{n}$

b) $(b_{n})$ với $b_{n}= \frac{n}{n+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: 

$a_{n} = cos\frac{\pi }{n} \leq 1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $(a_{n})$ bị chặn trên.

$a_{n} = cos\frac{\pi }{n} \geq -1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $(a_{n})$ bị chặn dưới.

Suy ra, dãy số  $(a_{n})$ bị chặn.

b)Ta có: 

$b_{n} = \frac{n}{n+1} < 1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $(b_{n})$ bị chặn trên.

$b_{n} = \frac{n}{n+1} >0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $(b_{n})$ bị chặn dưới.

Suy ra, dãy số  $(b_{n})$ bị chặn.

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm $u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n})$ của dãy số:

$\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{2}= \frac{1}{2}; u_{3}= \frac{1}{3}$

$u_{n}=\frac{1}{n}$

Bài 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Tìm $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{1}= \frac{1}{2}; u_{2}=\frac{2}{3}; u_{3} = \frac{3}{4}$

$u_{n}= \frac{n}{n+1}$

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

$y_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$y_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$\forall n\in \mathbb{N}^{*}, y_{n+1}<y_{n}$

Vậy dãy số $(y_{n})$ là dãy số giảm

Bài 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n}=sin^{2}\frac{n\pi }{3}+cos\frac{n\pi }{4}$

b) $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$, Ta có:

$0\leq sin^{2}\frac{n\pi }{3} \leq 1$

$-1\leq cos\frac{n\pi }{4} \leq 1$

Suy ra -$1\leq a_{n} \leq 2$

Vậy dãy số $(a_{n})$ bị chặn

b) $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2} = 6 -\frac{16}{n+2}$

$u_{n} < 6, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên

$u_{n} >-2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới

Suy ra, dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Bài 5: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$

Chứng minh $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=\frac{2n-1}{n+1} = 2 - \frac{3}{n+1}$

Ta có $\forall n\in \mathbb{N}^{*}, u_{n+1}=2 - \frac{3}{n+2}> u_{n} = 2 - \frac{3}{n+1}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

$u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} > -1, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới

$u_{n}= 2 - \frac{3}{n+1} < 2, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên

Suy ra dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Bài 6: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm giá trị của a để:

a) $(u_{n})$ là dãy số tăng

b) $(u_{n})$ là dãy số giảm

Hướng dẫn trả lời:

a) $(u_{n})$ là dãy số tăng khi $\forall x \in \mathbb{N}^{*}$ thì:$u_{n+1}>u_{n}$

$\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}>\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}>a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}>\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow 2-a <0$

$\Leftrightarrow a>2$

b) $(u_{n})$ là dãy số tăng khi $\forall x \in \mathbb{N}^{*}$ thì:$u_{n+1}<u_{n}$

$\Leftrightarrow \frac{(n+1)a+2}{n+1+1}<\frac{na+2}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow a+\frac{2-a}{n+2}<a+\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow \frac{2-a}{n+2}<\frac{2-a}{n+1}; \forall x \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow 2-a >0$

$\Leftrightarrow a<2$

Bài 7: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Hướng dẫn trả lời:

$u_{1}=1; u_{2}=1; u_{3}=2; u_{4}=3; u_{5}=5; u_{6}=8; u_{7}=13; u_{8}=21$

Ta có dãy số $(u_{n})$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\ u_{2}=1\\u_{n} = u_{n-1}+u_{n-2}\end{matrix}\right.$