Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong thực tế, người ta thường nói mặt ngang và mặt đứng của các bậc thang vuông góc với nhau. Vậy thế nào là hai mặt phẳng vuông góc?

Hướng dẫn trả lời:

Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Khám phá 1:

a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm (Hình 1) bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh hay không?

b) Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại đo được góc giữa mặt phẳng nghiêng (Q) là mặt đất (P).

Hướng dẫn trả lời:

a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh

b) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Khi đặt thiết bị lên mặt phẳng nghiêng (Q) thì OM vuông góc với (Q), ON vuông góc với mặt đất (P). Đo góc giữa OM và ON là góc giữa (Q) và (P)

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Khám phá 2: Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng. Do góc $\widehat{xOy}$

Hướng dẫn trả lời:

$\widehat{xOy} = 90^{o}$

Khám phá 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của d và (MHK) (Hình 8)

a) Giả sử $(P) \perp (Q)$, hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tìm trong (P) đường thẳng vuông góc với (Q)$

b) Giả sử (P) chứa đường thẳng a với $a \perp (Q)$, hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tính góc giữa (P) và (Q)

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $MH \perp (P)$ nên $MH \perp OH$; $MK \perp (Q)$ nên $MK \perp OK$

Mà  $(P) \perp (Q)$ nên $HM \perp MK$

Suy ra MHOK là hình chữ nhật.

Trong (P) có $OH \perp OK$

b) $a \perp (Q)$ nên $a \perp OK$; $HM \perp (P)$ nên $HM \perp a$

Suy ra $HM//OK$. Mà $HM \perp OH; MK \perp OK$

Nên MHOK là hình chữ nhật

Góc giữa (P) và (Q) là $\widehat{HMK} = 90^{o}$

Thực hành 1: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng:

a) $(SAC) \perp (ABCD)$

b) $(SAC) \perp (SDB)$

Hướng dẫn trả lời:

Vì S.ABCD có cạnh bên bằng nhau và là hình vuông nên S.ABCD là hình chóp đều. Gọi O là tâm của đáy. Ta có: $SO \perp ABCD)$

a) Ta có $SO \perp (ABCD); SO \in (SAC)$ nên $SAC) \perp (ABCD)$

b) Vì $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AC$

Mà ABCD là hình vuông nên $AC \perp BD$.

Suy ra $AC \perp (SBD)$ và $SAC) \perp (SBD)$ 

Vận dụng 1: Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10

Hướng dẫn trả lời:

Đặt 1 cạnh của 2 êke sát với mặt sàn sao cho cạnh còn lại của 2 êke chạm nhau tạo thành 1 đường thẳng. Nếu đường thẳng đó nằm sát với bức tường thì bức tường vuông góc với mặt sàn

3. Tính chất cơ bản vè hai mặt phẳng vuông góc

Khám phá 4: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c. Trong (Q) vẽ đường thẳng b vuông góc với c. Hỏi

a) (P) có vuông góc với (Q) không?

b) Đường thẳng b vuông góc với (P) không? 

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $a \perp (Q), a \in (P)$ nên $(P) \perp (Q)$

b) Vì $a \perp (Q), b \in (P)$ nên $a \perp b$

Ta có: $b \perp a; b \perp c$ nên $b \perp (P)$

Khám phá 5: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Lấy điểm M trong (R), vẽ hai đường thẳng MH và MK lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Hỏi:

a) Hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R) không?

b) Đường thẳng a có vuông góc với (R) không?

Hướng dẫn trả lời:

a) MH và MK nằm trong (R)

b) Vì $MH \perp (P), a \in (P)$ nên $a \perp MH$

$MK \perp (Q), a \in (Q)$ nên $a \perp MK$

Suy ra $a \perp (R)$

Thực hành 2: Tứ diện ABCD có $AB \perp (BCD)$. Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:

a $(ACD) \perp (ABE)$ và $(ADC) \perp (DFK)$

b) $OH \perp (ADC)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $AB \perp (BCD)$ nên $AB\perp DC$

Mà $BE \perp CD$. Do đó, $CD \perp (ABE)$

Suy ra: $(ACD) \perp (ABE)$

Ta có: $AB \perp (BCD)$ nên $AB \perp DF$. Mà $DF \perp BC$ nên $DF \perp (ABC)$. Suy ra $DF \perp AC$

Ta lại có: $AC \perp DK$ nên $AC \perp (DFK)$

Suy ra: $(ADC) \perp (DFK)$

b) Ta có: $(ABE) \perp (ADC); (DFK) \perp (ADC)$

Mà (ABE) và (ADC) cắt nhau tại OH

Suy ra: $OH \perp (ADC)$

Vận dụng 2: Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn

Hướng dẫn trả lời:

Mở quyển sách ra và đặt chân sách lên mặt bàn

4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Khám phá 6: a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnh bên AA' vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này?

b) Cho hình lăng trụ có đáy là đa giác đều và có cạnh bên vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18b). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này?

c) Một hình lăng trụ nếu có đáy là hình bình hành và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18c) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

d) Một hình hộp nếu có đáy là hinh chữ nhật và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18d) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

Hướng dẫn trả lời:

a) Mặt bên hình lăng trụ là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy

b) Mặt bên hình lăng trụ là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy

c) Hình lăng trụ có 4 mặt là hình chữ nhật

d) Hình lăng trụ có 6 mặt là hình chữ nhật

Thực hành 3: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A'C và A'D theo a và h

Hướng dẫn trả lời:

Hướng dẫn trả lời:

$AC = \sqrt{a^{2} + a^{2} -2a.a.cos120^{o}} =  a\sqrt{3}$

$A'C = \sqrt{3a^{2} + h^{2}}$

$AD = 2a$

$A'D = \sqrt{4a^{2} + h^{2}}$

Vận dụng 3: Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 30 cm (Hình 20). Tính tổng diện tích các mặt bên của lồng đèn đó

Hướng dẫn trả lời:

Tổng diện tích các mặt bên của lồng đèn đó: $6.10.30 = 1800 (cm^{2})$

5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

Khám phá 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng SO có vuông góc với đáy không?

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng SO vuông góc với đáy

Thực hành 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a; SA = 2a. Tính SO theo a

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}} =  \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vận dụng 4: Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136 m và cạnh đáy dài khoảng 152 m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài đường cao của mặt bên là: $\sqrt{126^{2}+(\frac{152}{2})^{2}} = 147,15$ (m)

Khám phá 8: Cho hình chóp đều $S.A_{1}A_{2}A_{3}....A_{6}$. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại $A_{1}'; A_{2}'; A_{3}';....;A_{6}'$.

a) Đa giác $A_{1}'A_{2}'A_{3}'...A_{6}'$ có phải lục giác đều không? Giải thích

b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai lục giác $A_{1}A_{2}A_{3}....A_{6}$ và $A_{1}'A_{2}'A_{3}'...A_{6}'$. Đường thẳng OO' có vuông góc với mặt đáy không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Đa giác $A_{1}'A_{2}'A_{3}'...A_{6}'$ là lục giác đều

Vì $(P)//(A_{1}A_{2}A_{3}....A_{6})$ nên $A_{1}A_{2}//A_{1}'A_{2}'; A_{2}A_{3}//A_{2}'A_{3}';...;A_{6}A_{1}//A_{6}'A_{1}'$.

Suy ra: $\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}'A_{2}'} = \frac{A_{2}A_{3}}{A_{2}'A_{3}'} =...= \frac{A_{6}A_{1}}{A_{6}'A_{1}'}$

Mà $A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} =...=A_{6}A_{1}$

Nên $A_{1}'A_{2}' = A_{2}'A_{3}' =...=A_{6}'A_{1}'$

b) Đường thẳng OO' vuông góc với mặt đáy

Thực hành 5: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy lớn a, cạnh đáy nhỏ $\frac{a}{2}$ và cạnh bên 2a. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $AB = \frac{a}{2}; A'B' = a$ nên $SO = OO'=\frac{1}{2}SO'; SA' = 2AA'=4a$

Tam giác A'B'C' đều cạnh a có O' là trọng tâm nên $A'O' = \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Ta có: $SO' = \sqrt{SA'^{2}-A'O'^{2}}= \frac{\sqrt{141}}{3}a$

Suy ra: $OO' = \frac{\sqrt{141}}{6}a$

Vận dụng 5: Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích đáy lớn là: $\frac{3\sqrt{3}.1^{2}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy nhỏ là: $\frac{3\sqrt{3}.0,7^{2}}{2} = \frac{147\sqrt{3}}{20}$

Một mặt bên của hình chóp cụt là hình thang cân có đáy lớn là 1 m, đáy nhỏ là 0,7 m và cạnh bên là 0,7 m 

Chiều cao của mặt bên là: $\sqrt{0,7^{2} - (\frac{1-0,7}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{187}}{20}$

Diện tích một mặt bên là: $\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{187}}{20}. (0,7+1)  =0,58$ $(m^{2})$

Tổng diện tích cần sơn là: $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{147\sqrt{3}}{20} + 6.0,58 =18,8$ ($m^{2}$)

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAC)$

b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng $(ABI) \perp (SBC)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi $SH\perp AC$ mà $(SAC) \perp (ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$

Vì $SH \perp (ABC)$ nên $SH \perp BC$. Mà $CB \perp AC$

Nên $CB \perp (SAC)$

Suy ra: $(SBC) \perp (SAC)$

b) Vì $BC \perp (SAC)$ nên $BC \perp AI$

Mà tam giác SAC đều, I là trung điểm SC nên $AI \perp SC$

Suy ra: $AI \perp (SBC)$

Nên $(ABI) \perp (SBC)$ 

Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:

a) $(SBC) \perp (SAD)$

b) $(SAB) \perp (SAC)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác ABC đều có I là trung điểm nên $AI \perp CB$ hay $AD \perp BC$

Vì $SD \perp (ABC)$ nên $SD \perp BC$

Suy ra $BC \perp (SAD)$

Nên $(SAD) \perp (SBC)$

b)  Tam giác ABC đều nên $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, và $AD = a\sqrt{3}$

Tam giác SAD vuông tại D nên $SA = \sqrt{AD^{2}+SD^{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

Kẻ $IO \perp SA$ Suy ra $\Delta AOI \sim  \Delta ADS$

Suy ra: $OI = \frac{AI.DS}{AS} = \frac{a}{2}$

Tam giác BOC có OI là  trung tuyến, $OI = \frac{a}{2}$. Nên BOC vuông tại O

Ta có: $BC \perp (SAD)$ nên $SA \perp BC$. Mà $SA \perp OI$ nên $SA \perp (OBC)$

Suy ra: $SA \perp IB; SA\perp IC$

Góc giữa (SAB) và (SAC) là góc giữa IB và IC và bằng $90^{o}$

Vậy $SAB) \perp (SAC)$

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA' = 2a, AD = 2a, AB = BC = a

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC'

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = a\sqrt{2}$

$AC' = \sqrt{AC^{2}+CC'^{2}} = a\sqrt{6}$

b) $S_{ABCD} =S_{A'B'C'D'} = \frac{1}{2}.2a.(a+2a) = 3a^{2}$

$S_{ABB'A'} = 2a.a=2a^{2}$

$S_{ADD'A} = 2a.2a=4a^{2}$

$S_{CBB'C'} = 2a.a=2a^{2}$

$S_{CDD'C'} = 2a.\sqrt{a^{2}+a^{2}}= 2a^{2}\sqrt{2}$

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

$2.3a^{2}+2a^{2}+4a^{2}+2a^{2}+2a^{2}\sqrt{2} = (14+2\sqrt{2})a^{2}$

Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD =a, AC' = 2a

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA'

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình thoi ABCD có AB = BD = a. Suy ra $AC =a\sqrt{3}$

$AA' = CC' =\sqrt{AC'^{2}-AC^{2}}=a$

b) Diện tích một mặt đáy là: $\frac{1}{2}a.a\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}$

Diện tích một mặt bên là: $a.a=a^{2}$

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là: $2.\frac{1}{2}.a^{2}\sqrt{3} + 4a^{2} = (4+\sqrt{3})a^{2}$

Bài 5: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi OO' là đường nối tâm của hai đáy, OO' = a

Kẻ $Oi \perp A'B'; OK \perp (AB); IE \perp (ABCD); E \in OK$

Ta có: $OI = OE =\frac{a}{2}; OK = \frac{2a}{2}=a; EK = 2a-a=2; IE = a$

$IK = \sqrt{IE^{2}+EK^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Kẻ $A'H \perp AB; AH = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$HK = A'I = \frac{a}{2}; AK = \frac{AB}{2}=a; AH = AK - HK = \frac{a}{2}$

$AA' =\sqrt{AH^{2}+A'H^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Bài 6: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m và cạnh đáy dài 34 m. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: SO = 21,6; AB = CB = 34

$OA = 34.\frac{\sqrt{2}}{2}=17\sqrt{2}$

$SA = \sqrt{(17\sqrt{2})^{2}+21,6^{2}} =  32,32$ (m)