Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Hàm số liên tục

Tại bãi xe A: trong 1 giờ đầu số tiền phí gửi giữ nguyên, sau đó tăng dần đều theo thời gian.

Tại bãi xe B: Cứ sau 1 giờ, tiền gửi lại tăng thêm 1 số không cố định

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Khám phá 1: Cho hàm số $y = f(x) = \left\{\begin{matrix}1; 0\leq x\leq 1\\1+x; 1<x\leq 2\\5-x; 2<x\leq 3\end{matrix}\right.$ có đồ thị như Hình 1

Tại mỗi điểm $x_{0}=1$ và $x_{0}=2$, có tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng $f(x_{0})$ không?

Hướng dẫn trả lời:

• Với $x_{0}=1$: Ta có:

$\lim_{x \to 1^{+}}f(x) = 1+1=2$

$\lim_{x \to 1^{-}}f(x) = 1$

Suy ra: không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

• Với $x_{0}=2$: Ta có:

$\lim_{x \to 2^{+}}f(x) = 5-2=3$

$\lim_{x \to 2^{-}}f(x) = 1+2=3$

Suy ra $\lim_{x \to 2}f(x) =3$ và $\lim_{x \to 2}f(x) = f(2)$

Thực hành 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x) = 1-x^{2}$ tại điểm $x_{0}=3$

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+1; x>1\\-x; x \leq 1\end{matrix}\right.$ tại điểm $x_{0} = 1$ 

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $f(3) = -8$ và $\lim_{x \to 3}f(x)=\lim_{x \to 3}(1-x^{2}) = 1 - 3^{2}=-8$

Suy ra: $\lim_{x \to 3}f(x) = f(3)$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại điểm $x_{0} = 3$

b) $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+1) = 1^{2}+1=2$

$\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}(-x) = -1$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm $x_{0} = 1$

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Khám phá 2: Cho hàm số $y=f(x)= \left\{\begin{matrix}x+1; 1<x\leq 2\\k; x=1\end{matrix}\right.$

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm $x_{0}\in (1;2)$

b) Tìm $\lim_{x \to 2^{-}}f(x)$ và so sánh giá trị này với f(2)

c) Với giá trị nào của k thì $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=k$?

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại mỗi điểm $x_{0}\in (1;2)$ ta có: $f(x_{0}) = x_{0} + 1$ và $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}(x+1)$

Suy ra $\lim_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0})$

Vậy với mỗi điểm $x_{0}\in (1;2)$ thì hàm số y = f(x) liên tục

b) $\lim_{x \to 2^{-}}f(x) = \lim_{x \to 2^{-}}(x+1)=2+1=3$

$f(2) = 2+1=3$

Vậy $\lim_{x \to 2^{-}}f(x) = f(2)$

c) $\lim_{x \to 1^{+}}f(x) = \lim_{x \to 1^{+}}(x+1)=1+1=2$

Thực hành 2: Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên $[1;2]$

Hướng dẫn trả lời:

Với mọi $x_{0}\in (1;2)$, ta có:

$\lim_{x \to x_{0}}f(x)= \lim_{x \to x_{0}}\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x} \right ) = \lim_{x \to x_{0}}\sqrt{x-1} + \lim_{x \to x_{0}}\sqrt{2-x}$

$= \sqrt{\lim_{x \to x_{0}}x-1} +\sqrt{2-\lim_{x \to x_{0}}x} = \sqrt{x_{0}-1}+\sqrt{2-x_{0}} = f(x_{0})$

Do đó f(x) liên tục tại mọi điểm $x_{0}\in (1;2)$

Ta lại có:

$\lim_{x \to 1^{+}}f(x) = \lim_{x \to 1^{+}}\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x} \right )$

$= \sqrt{\lim_{x \to 1^{+}}x-1} +\sqrt{2-\lim_{x \to 1^{+}}x}=0+\sqrt{2-1}=1=f(1)$

$\lim_{x \to 2^{-}}f(x) = \lim_{x \to 2^{-}}\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x} \right )$

$= \sqrt{\lim_{x \to 2^{-}}x-1} +\sqrt{2-\lim_{x \to 2^{-}}x}= \sqrt{2-1}+0 = 1 =f(2)$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $[1;2]$

Vận dụng 1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

$P(x) = \left\{\begin{matrix}4,5x; 0<x\leq 400\\4x+k; x>400\end{matrix}\right.$ (k là một hằng số)

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên $(0;+\infty)$

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên $(0;+\infty)$?

Hướng dẫn trả lời:

a) Với k = 0. Xét:

$\lim_{x \to 400^{-}}P(x)=\lim_{x \to 400^{-}}4,5x=4,5.400 = 1800$

$\lim_{x \to 400^{+}}P(x)=\lim_{x \to 400^{-}}4x=4.400 = 1600$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x \to 400}P(x)$ và hàm số P(x) không liên tục tại $x_{0}=400$

Vậy hàm số P(x) không liên tục trên $(0; +\infty)$

b) Để hàm số P(x) liên tục trên $(0; +\infty)$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0}=400$ hay $\lim_{x \to 400}P(x) = P(400)$

Ta có:

$\lim_{x \to 400^{-}}P(x)=\lim_{x \to 400^{-}}4,5x=4,5.400 = 1800$

$\lim_{x \to 400^{+}}P(x)=\lim_{x \to 400^{-}}(4x+k)=4.400+k = 1600+k$

Để tồn tại $\lim_{x \to 400}P(x)$ thì 1800 = 1600 + k. Suy ra k = 200

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Khám phá 3: Cho hai hàm số $y=f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $y=g(x)=\sqrt{4-x}$

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho

b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của f(x) là $\mathbb{R}$\{1}

Tập xác định của g(x) là $(-\infty;4]$

b) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1;+\infty)$ do tại $x_{0} = 1$ thì f(x) không xác định, hay không tồn tại $f(x_{0})$

Hàm số g(x) liên tục trên khoảng $(-\infty;4]$ do tại $x>4$ thì g(x) không xác định, hay không tồn tại $g(x_{0})$ với $x_{0}>4$

Thực hành 3: Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt{x^{2}-4}$

Hướng dẫn trả lời:

$y = \sqrt{x^{2}-4}$ là hàm căn thức, có tập xác định $(-\infty;-2]\cup [2;+\infty)$ nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty;-2]$ và $[2;+\infty)$

Thực hành 4: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-2x}{x}; x\neq 0\\a; x=0\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

 $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-2x}{x}; x\neq 0\\a; x=0\end{matrix}\right.$ là hàm phân thức có tập xác định $(-\infty;0)\cup (0;+\infty)$ nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục trên $x_{0}=0$

Ta có: 

$f(0) = a$

$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}-2x}{x}=\lim_{x \to 0}(x-2) = 0-2 = -2$

Vậy a = -2

Vận dụng 2: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T(x)=\left\{\begin{matrix} 10000; 0<x\leq 0,7\\10000 + (x-0,7).14000; 0,7<x\leq 20\\280200 + (x-20).12000; x>20\end{matrix}\right.$

Xét tính liên tục của hàm số T(x)

Hướng dẫn trả lời:

T(x) = 10000 với $0<x\leq 0,7$  là hàm số đa thức nên nó liên tục trên (0;0,7)

T(x) = 10000 +(x-0,7).14000 với $0,7<x\leq 20$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,7;20)

T(x) = 280200 +(x-20).12000 với x>20 là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(20; +\infty)$

Ta có:

$\lim_{x \to 0,7^{-}}T(x)= \lim_{x \to 0,7^{-}}10000=10000$

$\lim_{x \to 0,7^{+}}T(x)= \lim_{x \to 0,7^{+}}\left [ 10000+(x-0,7).14000 \right ]=10000$

Suy ra: $\lim_{x \to 0,7}T(x)= T(0,7)$

Vậy hàm số T(x) liên tục tại 0,7

$\lim_{x \to 20^{-}}T(x)= \lim_{x \to 20^{-}}\left [ 10000+(x-0,7).14000 \right ]=280200$

$\lim_{x \to 20^{+}}T(x)= \lim_{x \to 20^{+}}\left [ 280200+(x-20).12000 \right ]=280200$

Suy ra: $\lim_{x \to 20}T(x)= T(20)$

Vậy hàm số T(x) liên tục tại 20

Vậy hàm số T(x) liên tục trên $(0; +\infty)$

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Khám phá 4: Cho hai hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x-1}$ và $y = g(x)=\sqrt{4-x}$

Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x-1}$ là hàm phân thức có tập xác định là $(-\infty;1)\cup (1;+\infty)$ nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại x = 2. Hay $\lim_{x \to 2}f(x) = f(2)$

Hàm số $y = g(x)=\sqrt{4-x}$ là hàm phân thức có tập xác định là $(-\infty;4)$ nên hàm số f(x) liên tục trên khoảng $(-\infty;4)$

Suy ra hàm số g(x) liên tục tại x =2. Hay $\lim_{x \to 2}g(x) = g(2)$

Ta có: $\lim_{x \to 2}f(x) +\lim_{x \to 2}g(x)= f(2)+g(2)$

Suy ra: $\lim_{x \to 2}[f(x)+g(x)] = f(2) + g(2)$

Vậy hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại x = 2

Thực hành 5: Xét tính liên tục của hàm số

a) $y = \sqrt{x^{2}} + 3-x$

b) $y = \frac{x^{2}-1}{x}.cosx$

Hướng dẫn trả lời:

a)Hàm số $y = \sqrt{x^{2}}$ và $y = 3-x$ liên tục với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Do đó hàm số $y = \sqrt{x^{2}} + 3 - x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = (-\infty;0) \cup (0;+\infty)$

Hàm số $y = \frac{x^{2}-1}{x}$ liên tục tại mọi điểm $x_{0} \neq 0$

Hàm số y = cosx liên tục tại mọi điểm $x_{0} \in \mathbb{R}$

Do đó hàm số $y = \frac{x^{2}-1}{x}.cosx$ liên tục trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$

Vận dụng 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoahf, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (-1<x<1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6)

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích tam giác ONP

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (-1;1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\lim_{x \to 1^{-}}S(x)$ và $\lim_{x \to 1^{+}}S(x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $S(x)= |x_{m}|.|y_{m}| = |x|.\sqrt{1-x^{2}}$

b) Hàm số $y=|x|$ liên tục tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$

Hàm số $y=\sqrt{1-x^{2}}$ liên tục trên khoảng (-1;1)

Vậy hàm số $S(x)= |x|.\sqrt{1-x^{2}}$ liên tục trên khoảng (-1;1)

c) $\lim_{x \to 1^{-}}S(x)= \lim_{x \to 1^{-}}(|x|.\sqrt{1-x^{2}})=0$

$\lim_{x \to -1^{+}}S(x)= \lim_{x \to -1^{+}}(|x|.\sqrt{1-x^{2}})=0$

BÀI TẬP

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+1; x \geq 0\\1-x; x<0\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 0

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+2; x \geq1\\ x; x<1\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{-}}(1-x)=1-0=1$

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}(x^{2}+1)=0^{2}+1=1$

Suy ra: $\lim_{x \to 0}f(x)= f(0)$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0

b) $\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}x=1$

$\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+2)=1^{2}+2=3$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1

Bài 2: Cho hàm số $\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-4}{x+2}; x \neq -2\\ a; x=-2\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\lim_{x \to -2}f(x)=\lim_{x \to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2} = \lim_{x \to -2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} =\lim_{x \to -2}(x-2)=-2-2=-4$

$f(-2) =a$ 

Để hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số f(x) phải liên tục tại $x_{0}=-2$

Hay $\lim_{x \to -2}f(x) = f(-2)$

Suy ra: a = -4

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) $f(x) = \frac{x}{x^{2}-4}$

b) $g(x) = \sqrt{9-x^{2}}$

c) $h(x) = cosx + tanx$

Hướng dẫn trả lời:

a) $f(x) = \frac{x}{x^{2}-4}$ là hàm số phân thức có tập xác định là $(-\infty;-2)\cup (-2;2) \cup (2;+\infty)$

Nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;2)$, $(-2;2)$ và $(2;+\infty)$

b) $g(x) = \sqrt{9-x^{2}}$ là hàm số căn thức có tập xác định là $[-3;3]$ nên hàm só g(x) liên tục trên đoạn $[-3;3]$

c) $h(x) = cosx + tanx$ là hàm số lượng giác có tập xác định là $\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2} + k\pi$}

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

Bài 4: Cho hàm số $f(x) = 2x -sinx$, $g(x) = \sqrt{x-1}$

Xét tính liên tục hàm số $y = f(x).g(x)$ và $y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số $f(x) = 2x -sinx$ liên tục với mọi $x \in \mathbb{R}$

Hàm số $g(x) = \sqrt{x-1}$ liên tục trên khoảng $[1;+\infty)$

Suy ra: hàm số $y=f(x).g(x)$ liên tục trên khoảng $[1;+\infty)$

$g(x) \neq 0$ khi $x \neq 1$

Suy ra hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục trên khoảng $(1;+\infty)$

Bài 5: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

$C(x)=\left\{\begin{matrix} 60000; 0<x \leq 2\\100000; 2<x \leq 4\\200000; 4<x \leq 24\end{matrix}\right.$

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Hướng dẫn trả lời:

C(x) = 60000 khi $x \in (0;2)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (0;2)

C(x) = 100000 khi $x \in (2;4)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (2;4)

C(x) = 200000 khi $x \in (4;24)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (4;24)

Ta có: 

$\lim_{x \to 2^{-}}C(x)= 60000$

$\lim_{x \to 2^{+}}C(x)= 100000$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2}$ hay hàm số C(x) không liên tục tại 2

$\lim_{x \to 4^{-}}C(x)= 100000$

$\lim_{x \to 4^{+}}C(x)= 200000$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 4}$ hay hàm số C(x) không liên tục tại 4

Bài 6: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là: 

$F(r)=\left\{\begin{matrix} \frac{GMr}{R^{3}}; 0<r<R\\ \frac{GM}{r^{2}}; r\geq R\end{matrix}\right.$

Trong đó M là khối lương, R là bán kính của Trái đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên $(0;+\infty)$ không?

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{r \to R^{-}}F(r)=\lim_{r \to R^{-}}\frac{GMr}{R^{3}}=\frac{GMR}{R^{3}}=\frac{GM}{R^{2}}$

$\lim_{r \to R^{+}}F(r)=\lim_{r \to R^{+}}\frac{GM}{r^{2}}=\frac{GM}{R^{2}}$

Suy ra: $\lim_{r \to R}F(r) = F(R)$. Hay hàm số F(r) liên tục tại $r_{0} = R$

$F(r)= \frac{GMr}{R^{3}}$ khi 0<r<R nên hàm F(r) liên tục trên (0;R)

$F(r)= \frac{GM}{r^{3}}$ khi r>R nên hàm F(r) liên tục trên $(R;+\infty)$

Vậy hàm số F(r) liên tục trên $(0;+\infty)$