Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 3: Hàm số liên tục

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Cho hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

$f(x)  = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}{1}=1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(1+x)}=2$

=> Không tồn tại giới hạn f(x) .
$f(x)  = \lim_{x\rightarrow 2^{-}}{(1+x)}=3$

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}{(5-x)}=3$

=> Tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2}{f(x)}=3$

Vậy $f(2)=\lim_{x\rightarrow 2}{f(x)}$

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow 3}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 3}{(1-x^{2})}=-8=f(3)$

Vậy hàm số liên tục tại $x_{0}=3$
b) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{(-x)}=-1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(x^{2}+1)}=2$
=> $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)} \neq \lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}$ nên không tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}$

Vậy hàm số không liên tục tại $x_{0}=1$

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN

Bài 1: Cho hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\forall x_{0} \in (1; 2)$, ta có 

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}{(x+1)}=x_{0}+1=f(x_{0})$

Vậy hàm số liên tục tại $\forall x_{0} \in (1; 2)$.
b) $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 2^{-}}{(x+1)}=3=f(2)$

c) $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(x+1)}=2$

Vậy với k=2 thì $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}=k$

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

$\forall x_{0} \in (1; 2)$, ta có:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}{(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x})}$

= $\lim_{x\rightarrow x_{0}}{\sqrt{x-1}}+\lim_{x\rightarrow x_{0}}{\sqrt{2-x}}$

= $\sqrt{x_{0}-1}+\sqrt{2-x_{0}}$

= $f(x_{0})$

=> Hàm số liên tục tại mọi điểm $x_{0}\in (1; 2)$.

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x})}$

= $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{\sqrt{x-1}}+\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{\sqrt{2-x}}$

= 1

= $f(1)$

Tương tự ta có: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{f(x)}=f(2)$

Vậy, hàm số liên tục trên [1; 2].

Bài 3: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá...

Hướng dẫn trả lời:

a) Với k=0, $\lim_{x\rightarrow x_{0}}{P(x)}=P(x_{0})$, $\forall x_{0} \in (0; +\infty)$, $x_{0}\neq 400$.

$\lim_{x\rightarrow 400^{-}}{P(x)}= \lim_{x\rightarrow 400^{-}}{(4,5x)}=1800$

$\lim_{x\rightarrow 400^{+}}{P(x)}= \lim_{x\rightarrow 400^{+}}{(4x)}=1600$

=> $\lim_{x\rightarrow 400^{-}}{P(x)} \neq \lim_{x\rightarrow 400^{+}}{P(x)}$

=> P(x) không liên tục tại $x_{0}=400$

b) $\lim_{x\rightarrow 400^{-}}{P(x)}= \lim_{x\rightarrow 400^{-}}{(4,5x)}=1800=P(400)$

$\lim_{x\rightarrow 400^{+}}{P(x)}= \lim_{x\rightarrow 400^{+}}{(4x+k)}=1600+k$

Để P(x) liên tục tại x=400, ta phải có 1600+k=1800 

=> k=200.

3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ SƠ CẤP

Bài 1: Cho hai hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

a) $f(x)=\frac{1}{x-1}$ ; $D = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$
$g(x)=\sqrt{4-x}$; $D = (-\infty; 4]$

b) Với $x_{0}\neq 1$, 

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}{\frac{1}{x-1}}$

= $\frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}{(x-1)}}$

= $\frac{1}{x_{0}-1}$

= $f(x_{0})$

=> f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$

Tương tự, y=g(x)=$\sqrt{4-x}$ liên tục trên khoảng $(-\infty; 4]$.

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}{\sqrt{4-x}}$

= $\sqrt{4-x_{0}}$

= $g(x_{0})$; $x_{0}\in (-\infty; 4)$

=> $\lim_{x\rightarrow 4^{-}}{g(x)}=g(4)$

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

$y=\sqrt{x^{2}-4}$ là hàm số căn thức, $D = (-\infty; -2]\cup [2; +\infty)$. 

=> Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; -2]$ và $[2; +\infty)$.

Bài 3: Cho hàm số f(x)...

Hướng dẫn trả lời:

y=f(x)= $\frac{x^{2}-2x}{x}$ là hàm phân thức xác định khi $x\neq 0$ nên f(x) liên tục tại $\forall x\neq 0$ 

Ta có: Để hàm số y=f(x) liên tục trên R thì hàm số y=f(x) phải liên tục tại điểm x = 0

=> $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^{2}-2x}{x}}= \lim_{x\rightarrow 0}{(x-2)}=-2$

Vậy a=-2 thì hàm số y=f(x) liên tục trên R

Bài 4: Một hãng taxi đưa ra giá cước...

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số T(x) xác định trên các khoảng (0; 0,7),(0,7; 20) và $(20; +\infty)$ nên hàm số liên tục trên khoảng đó

+) Xét hàm số liên tục tại x = 0,7.

$\lim_{x\rightarrow 0,7^{-}}{T(x)}= \lim_{x\rightarrow 0,7^{-}}{10000}=10000=T(0; 7)$

$\lim_{x\rightarrow 0,7^{+}}{T(x)}= \lim_{x\rightarrow 0,7^{+}}{[10000+(x-0,7).14000]}=10000$

=> $\lim_{x\rightarrow 0,7^{-}}{T(x)}=\lim_{x\rightarrow 0,7^{+}}{T(x)}= T(0,7)$

=> T(x) liên tục tại x=0,7.

+) Xét hàm số liên tục tại x = 20

$\lim_{x\rightarrow 20^{-}}{T(x)}= \lim_{x\rightarrow 20^{-}}{[10000+(x-0,7).14000]}=280200=T(20)$

$\lim_{x\rightarrow 20^{+}}{T(x)}= \lim_{x\rightarrow 20^{+}}{[280200+(x-20).12000]}=280200$

=> $\lim_{x\rightarrow 20^{-}}{T(x)}= \lim_{x\rightarrow 20^{+}}{T(x)}=T(20)$

=> T(x) liên tục tại x=20.

Vậy T(x) liên tục trên $(0; +\infty)$

4. TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1: Cho hai hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\rightarrow 2}{ f(x)}=f(2)$, $\lim_{x\rightarrow 2}{ g(x)}=g(2)$

Ta có : $\lim_{x\rightarrow 2}{ [f(x)+g(x)]}=\lim_{x\rightarrow 2}{ f(x)}+\lim_{x\rightarrow 2}{ g(x)}=f(2)+g(2)$

=> y=f(x)+g(x) liên tục tại điểm x=2.

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) D = R. 

$y=\sqrt{x^{2}+1}$ và y=3-x xác định trên R nên các hàm số liên tục trên R.

b) $D=(-\infty; 0)\cup (0; +\infty)$ 

Hàm số $y=\frac{x^{2}-1}{x}$ là phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$

Hàm số y=cosx là hàm lượng giác liên tục trên R nên hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$

=> Hàm số đã cho liên tục trên khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1...

Hướng dẫn trả lời:

a) Diện tích tam giác ONP là:

$S(x)=2.S_{OMN}=2.\frac{1}{2}.OM.MN=x.\sqrt{1-x^{2}}$ với -1<x<1.

b) ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$

Hàm số liên tục trên (-1; 1)

Vì hàm số y=x và $y=\sqrt{1-x^{2}}$ đều liên tục trên (-1; 1)

c) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{S(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{x\sqrt{1-x^{2}}}=0$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{S(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(-x\sqrt{1-x^{2}})}=0$

=> $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{S(x)}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{S(x)}=0$

5. BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}{1-x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{(x^{2}+1)}=1$

=> $\lim_{x\rightarrow 0}{f(x)}$ =f(0) = 1 

Vậy hàm số liên tục tại x = 0

b) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 1^{-}}{x}=1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}= \lim_{x\rightarrow 1^{+}}{(x^{2}+2)}=3$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)} \neq \lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}$

=> Không tồn tại $\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}$

Vây hàm số không liên tục tại x=1.

Bài 2: Cho hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$
Ta có: $\lim_{x\rightarrow -2}{f(x)}$

= $\lim_{x\rightarrow -2}{\frac{x^{2}-4}{x+2}}$

= $\lim_{x\rightarrow -2}{(x-2)}$

=-4. 

Để hàm số liên tục tại x=-2 

=> f(-2)= $\lim_{x\rightarrow -2}{f(x)}$ ⬄ a=-4.

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau..

Hướng dẫn trả lời:

a) $D = R∖{\pm 2}$ 

Hàm số liên tục tại trên các khoảng $(-\infty; -2)$, (-2; 2) và $(2; \infty)$

b) D = [-3; 3].

Hàm số liên tục trên đoạn [-3; 3].

c) $D = R∖ {\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z}$

Hàm số liên tục tại mọi điểm $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ với $k \in Z$.

Bài 4: Cho hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số y=f(x).g(x) có $D = [1; +\infty)$.

Ta có: Hàm số y=f(x).g(x) đều liên tục trên D

=> y=f(x).g(x) liên tục trên $[1; +\infty)$. 

=> y= $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục trên $(1; +\infty)$.

Bài 5: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá...

Hướng dẫn trả lời:

+) Với $x \in (0; 2)$ ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với $x \in (2; 4)$ ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với $x \in (4; 24)$ ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

Tại x = 2, $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}{C(x)}=60000 \neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}}{C(x)}=100000$ 

Tại x = 4, $\lim_{x\rightarrow 4^{-}}{C(x)}=100000 \neq \lim_{x\rightarrow 4^{+}}{C(x)}=200000$ 

=> Hàm số gián đoạn tại các điểm 2; 4 và liên tục tại các điểm còn lại của khoảng (0; 24]

Bài 6: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là...

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số liên tục trên các khoảng (0; R) và $(R; +\infty)$
$\lim_{r\rightarrow R^{-}}{ F(r)}=\lim_{r\rightarrow R^{-}}{\frac{ GMr}{R^{3}}}=\frac{ GMR}{R^{3}}=\frac{ GM}{R^{2}}$

$\lim_{r\rightarrow R^{+}}{ F(r)}=\lim_{r\rightarrow R^{+}}{\frac{ GM}{r^{2}}}=\frac{ GM}{R^{2}}$

$F(R)=\frac{GM}{R^{2}}$

=> $\lim_{r\rightarrow R^{+}}{ F(r)}= \lim_{r\rightarrow R^{-}}{ F(r)}=F(R)$, nên hàm số liên tục tại r=R.
Do đó hàm số liên tục trên $(0; +\infty)$