Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Phép tính lôgarit

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Thang Richter được sử dụng để đo độ lớn các trận động đất. Nếu máy đo địa chấn ghi được biên độ lớn nhất của một trận động đất là $A = 10^{M} \mu m (1 \mu m=10^{-6} m)$ thì trận động đất đó có độ lớn bằng M độ Richter. Người ta chia các trận động đất thành các mức độ như sau:

Đo độ lớn của động đất theo thang Richer có ý nghĩa như thế nào?

Hướng dẫn trả lời:

Theo thang Richter, độ Richter càng lớn thì động đất càng mạnh

1. Khái niệm lôgarit

Khám phá 1: Độ lớn M (theo độ Richter) của một trận động đất được xác định như Mở đầu

a) Tìm độ lớn theo thang Richter của các trận động đất có biên độ lớn nhất lần lượt là $10^{3,5} \mu m; 100000 \mu m; 100.10^{4,3} \mu m$

b) Một trận động đất có biên độ lớn nhất $A = 65 000 \mu m$ thì độ lớn M của nó phải thoả mãn hệ thức nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi $A = 10^{3,5}$ thì M = 3,5

Khi $A = 100000 = 10^{5}$ thì M = 5

Khi $A = 100.10^{4,3}= 10^{2}.10^{4,3}=10^{2+4,3}=10^{6,3}$ thì M = 6,3

b) Khi A = 65000, ta có:

A > 10000 hay $A > 10^{4}$. Suy ra M > 4

A < 100000 hay $A < 10^{5}$. Suy ra M < 5

Suy ra 4 < M < 5

Thực hành 1: Tính:

a) $log_{3}\sqrt[3]{3}$

b) $log_{\frac{1}{2}}8$

c) $\left ( \frac{1}{25} \right )^{log_{5}4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{3}\sqrt[3]{3} = log_{3}3^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$

b) $log_{\frac{1}{2}}8 = log_{\frac{1}{2}}2^{3}=log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2^{-3}} = log_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{2} \right )^{-3}=-3$

c) $\left ( \frac{1}{25} \right )^{log_{5}4}=(5^{-2})^{log_{5}4}=(5^{log_{5}4})^{-2}=4^{-2}=\frac{1}{16}$

2. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay

Thực hành 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ sáu):

a) $log_{5}0,5$

b) log25

c) $ln\frac{3}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{5}0,5=-0,430676$

b) log25 =  1,397940

c) $ln\frac{3}{2} = 0,405465$

3. Tính chất của phép tính lôgarit

Thực hành 2: Cho các số thực dương a, M, N với $a\neq 1$. Bạn Quân đã vẽ sơ đồ và tìm ra công thức biến đổi biểu thức $log_{a}(MN)$ như sau:

a) Giải thích cách làm của bạn Quân

b) Vẽ sơ đồ tương tự để tìm công thức biến đổi cho $log_{a}\frac{M}{N}$ và $log_{a}M^{\alpha} (\alpha \in \mathbb{R})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Áp dụng công thức $a^{log_{a}b} =b$, ta có:

$a^{log_{a}M} =M; a^{log_{a}N} =N$ nên $MN = a^{log_{a}M}.a^{log_{a}N} = a^{log_{a}M+log_{a}N}$

Mặt khác  $a^{log_{a}MN} = MN$ 

Suy ra: $a^{log_{a}M+log_{a}N} = a^{log_{a}MN}$

$\Leftrightarrow log_{a}M+log_{a}N = log_{a}MN$

b)

Thực hành 3: Tính:

a) $log_{5}4 + log_{5}\frac{1}{4}$

b) $log_{2}28 - log_{2}7$

c) $log\sqrt{1000}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{5}4 + log_{5}\frac{1}{4} = log_{5}(4.\frac{1}{4})=log_{5}1 =0$

b) $log_{2}28 - log_{2}7 = log_{2}(28:7)=log_{2}4=log_{2}2^{2}=2$

c) $log\sqrt{1000} = log1000^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log1000=\frac{1}{2}log10^{3}=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$

Vận dụng: Độ lớn M của một trận động đất theo thang Richter được tính theo công thức $M=log\frac{A}{A_{0}}$, trong đó A là biên độ lớn nhất ghi được bởi máy đo địa chấn, $A_{0}$ là biên độ tiêu chuẩn được sử dụng để hiệu chỉnh độ lệch gây ra bởi khoảng cách của máy đo địa chấn so với tâm chấn (ở Mở đầu và Khám phá 1, $A_{0}= 1 \mu m$)

a) Tính độ lớn của trận động đất có biên độ A bằng

i) $10^{5,1}A_{0}$

ii) $65000A_{0}$

b) Một trận động đất tại điểm N có biên độ lớn nhất gấp ba lần biên độ lớn nhất của trận động đất tại điểm P. So sánh độ lớn của hai trận động đất

Hướng dẫn trả lời:

a) 

i) Khi $A=10^{5,1}A_{0}$. Ta có: $M = log\frac{10^{5,1}A_{0}}{A_{0}}=log10^{5,1}=5,1$ (Richter)

ii) Khi $A=65000A_{0}$. Ta có: $M = log\frac{65000A_{0}}{A_{0}}=log65000=4,8$ (Richter)

b) Trận động đất tại điểm P có biên độ lớn nhất là A thì trận động đất tại N có biên độ lớn nhất là 3A

Ta có độ lớn của hai trận động đất là:

$M_{P} = log\frac{A}{A_{0}}$; $M_{N} = log\frac{3A}{A_{0}}$

Độ lớn trận động đất tại N lớn hơn độ lớn trận động đất tại P là:

$M_{N}-M_{P} =  log\frac{3A}{A_{0}} - log\frac{A}{A_{0}} = log\frac{\frac{3A}{A_{0}}}{\frac{A}{A_{0}}} = log3= 0,5$ (Richter)

4. Công thức đổi cơ số

Khám phá 3: Khi chưa có máy tính, người ta thường tính các lôgarit dựa trên bảng giá trị các lôgarit thập phân đã được xây dựng sẵn. Chẳng hạn, để tính $x=log_{2}15$, người ta viết $2^{x}=15$, rồi lấy lôgarit thập phân 2 vế, nhận được xlog2 = log15 hay $x=\frac{log15}{log2}$

Sử dụng cách làm này, tính $log_{a}N$ theo loga và log N với a, N>0; $a \neq 1$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: x = log_{a}N hay $a^{x} = N$

Lấy lôgarit thập phân 2 vế, ta được xloga = logN. Suy ra $x = \frac{logN}{loga}$

Suy ra $ log_{a}N = \frac{logN}{loga}$

Thực hành 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $log_{\frac{1}{4}}8$

b) $log_{4}5.log_{5}6.log_{6}8$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{\frac{1}{4}}8 = \frac{log_{2}8}{log_{2}\frac{1}{4}}=\frac{log_{2}2^{3}}{log_{2}2^{-2}}=\frac{3}{-2}=\frac{-3}{2}$

b) $log_{4}5.log_{5}6.log_{6}8 = \frac{log_{2}5}{log_{2}4}.\frac{log_{2}6}{log_{2}5}. \frac{log_{2}8}{log_{2}6} = \frac{log_{2}8}{log_{2}4}=\frac{log_{2}2^{3}}{log_{2}2^{2}}=\frac{3}{2}$

Thực hành 5: Đặt $log_{3}2=a; log_{3}7=b$. Biểu thị $log_{12}21$ theo a và b

Hướng dẫn trả lời:

$log_{12}21 = \frac{log_{3}21}{log_{3}12}=\frac{log_{3}(7.3))}{log_{3}(2^{2}.3)}=\frac{log_{3}3+log_{3}7}{2log_{3}2+log_{3}3} = \frac{1+b}{2a+1}$

BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $log_{2}16$

b) $log_{3}\frac{1}{27}$

c) log1000

d) $9^{log_{3}12}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}16 = log_{2}2^{4} = 4$

b) $log_{3}\frac{1}{27} =log_{3}3^{-3} = -3$

c) $log1000 =log10^{3} = 3$

d) $(3^{log_{3}12})^{2} = 12^{2}=144$

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:

a) $log_{3}(1-2x)$

b) $log_{x+1}5$

Hướng dẫn trả lời:

a) Để $log_{3}(1-2x)$ có nghĩa thì 1 - 2x > 0 Hay $x < \frac{1}{2}$

b) Để $log_{x+1}5$ có nghĩa thì x + 1 > 0 Hay x > -1

Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư)

a) $log_{3}15$

b) log8 - log3

c) 3ln2

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{3}15 = 2,4650$

b) log8 - log3 = 0,4260

c) 3ln2 = 2,0794

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $log_{6}9 + log_{6}4$

b) $log_{5}2 - log_{5}50$

c) $log_{3}\sqrt{5} - \frac{1}{2}log_{3}15$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{6}9 + log_{6}4 = log_{6}(9.4)=log_{6}36 = log_{6}6^{2}=2$

b) $log_{5}2 - log_{5}50 = log_{5}\frac{2}{50} = log_{5}\frac{1}{25}=log_{5}5^{-2}=-2$

c) $log_{3}\sqrt{5} - \frac{1}{2}log_{3}15 = log_{3}5^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}log_{3}15=\frac{1}{2}log_{3}5-\frac{1}{2}log_{3}15$

$= \frac{1}{2}log_{3}\frac{15}{5}=\frac{1}{2}log_{3}3=\frac{1}{2}$

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $log_{2}9.log_{3}4$

b) $log_{25}\frac{1}{\sqrt{5}}$

c) $log_{2}3.log_{9}\sqrt{5}.log_{5}4$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}9.log_{3}4=log_{2}3^{2}.log_{3}2^{2}=2.log_{2}3.2.log_{3}2=4.log_{2}3.log_{3}2=4.\frac{log3}{log2}.\frac{log2}{log3}=4$

b) $log_{25}\frac{1}{\sqrt{5}} = log_{25}5^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}log_{25}5 = -\frac{1}{2}log_{25}25^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.log_{25}25 = \frac{-1}{4}$

c) $log_{2}3.log_{9}\sqrt{5}.log_{5}4=\frac{log_{2}3}{log_{2}2}.\frac{log_{2}\sqrt{5}}{log_{2}9}.\frac{log_{2}4}{log_{2}5}=\frac{log_{2}3}{1}.\frac{log_{2}5^{\frac{1}{2}}}{log_{2}3^{2}}.\frac{log_{2}2^{2}}{log_{2}5}=log_{2}3. \frac{\frac{1}{2}.log_{2}5}{2.log_{2}3}.\frac{2log_{2}2}{log_{2}5}=\frac{1}{2}$

Bài 6: Đặt $log2 = a;log3=b$. Biểu thị các biểu thức sau theo a và b

a) $log_{4}9$

b) $log_{6}12$

c) $log_{5}6$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{4}9 = \frac{log9}{log4}=\frac{log3^{2}}{log2^{2}}=\frac{2.log3}{2.log2} = \frac{b}{a}$

b) $log_{6}12 = \frac{log12}{log6}=\frac{log2^{2}.3}{log2.3}=\frac{2log2+log3}{log2+log3} = \frac{2a+b}{a+b}$

c) Vì $log2 = a$ nên $a^{10} = 2$; $log3 = b$ nên $b^{10} = 3$

$log_{5}6=\frac{log6}{log5}=\frac{log(2.3)}{log(2+3)} =\frac{log2+log3}{log(a^{10}+b^{10})} = \frac{a+b}{log(a^{10}+b^{10})}$

Bài 7: a) Nước cất có nồng độ $H^{+}$ là $10^{-7}$ mol/L. Tính độ pH của nước cất

b) Một dung dịch có nồng độ $H^{+}$ gấp 20 lần nồng độ $H^{+}$ của nước cất. Tính độ pH của dung dịch đó

Hướng dẫn trả lời

a) độ pH của nước cất là: $-log10^{-7} = 7$

b) độ pH của dung dịch là: $-log(20.10^{-7}) = 5,7$