Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương I

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay $3\frac{1}{5}$ vòng ngược chiều kim đồng hồ?

A. $\frac{16\pi }{5}$

B. $\left ( \frac{16}{5} \right )^{o}$

C. $1152^{o}$

D. $1152\pi $

Hướng dẫn trả lời:

1 vòng tròn tương ứng với $2\pi $ hay $360^{o}$. Vậy $3\frac{1}{5}$ vòng là góc $1152^{o}$

Đáp án: C

Câu 2: Trong trường hợp nào dưới đây $cos\alpha  = cos\beta $ và $sin\alpha  = -sin\beta $

A. $\beta  = -\alpha $

B. $\beta  = \pi -\alpha $

C. $\beta  = \pi +\alpha $

D. $\beta  = \frac{\pi }{2}+\alpha $

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn

D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Câu 4: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác $cos2x = cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$ là:

A. $-\frac{\pi }{9}$

B. $-\frac{5\pi }{3}$

C. $-\frac{7\pi }{9}$

D. $-\frac{13\pi }{9}$

Hướng dẫn trả lời:

$cos2x = cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$

$\Leftrightarrow 2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x = -x - \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x =- \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi}{3} , k\in \mathbb{Z}$

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x =- \frac{\pi }{9} $

Đáp án: A

Câu 5: Số nghiệm của phương trình tanx = 3 trong khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2}; \frac{7\pi }{3} \right )$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn trả lời:

$tanx = 3\Leftrightarrow x = 1,25 + k\pi , k\in \mathbb{Z}$

Ta có: $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{7\pi }{3}$. Suy ra: $-\frac{\pi}{2}<1,25 + k\pi<\frac{7\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

Hay $-0,9 < k < 1,9, k\in \mathbb{Z}$

Có 2 số nguyên k thoả mãn. Vậy phương trình $tanx =3$ có 2 nghiệm

Đáp án: B

Câu 6: Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức: $h(t) = 29 + 3sin\frac{\pi }{12}(t-9)$ với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

A. $32^{o}C$, lúc 15 giờ

A. $29^{o}C$, lúc 9 giờ

A. $26^{o}C$, lúc 3 giờ

A. $26^{o}C$, lúc 0 giờ

Hướng dẫn trả lời:

Với mọi t, ta có: $sin\frac{\pi }{12}(t-9) \geq -1$  

Suy ra: $29 + 3sin\frac{\pi }{12}(t-9)\geq 26$  

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $26^{o}$, xảy ra khi $sin\frac{\pi }{12}(t-9)= -1$  

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}(t-9) =\frac{-\pi }{2}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t=3+24k , k\in \mathbb{Z}$

Do t là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên $0\leq t\leq 24$. Suy ra: t = 3

Đáp án: C

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 7: Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Hướng dẫn trả lời:

Trong 3 giây, quạt quay được: $3.\frac{45}{60} = \frac{9}{4}$ (vòng)

Vậy quạt quay dược một góc: $2\pi.\frac{9}{4} = \frac{9\pi}{2}$ (rad)

Bài 8: Cho $cos\alpha  = \frac{1}{3}$ và $ -\frac{\pi }{2}<\alpha <0$. Tính

a) $sin\alpha $

b) $sin2\alpha $

c) $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right )$

Hướng dẫn trả lời:

a) Do $ -\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $sin\alpha < 0$

$sin\alpha = -\sqrt{1-cos^{2}\alpha } = \frac{-2\sqrt{2}}{3}$

b) $sin2\alpha =2sin\alpha .cos=2\frac{-2\sqrt{2}}{3}.\frac{1}{3} = \frac{-4\sqrt{2}}{9}$

c) $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right ) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3}-sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}$

$cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right ) = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}-\frac{-2\sqrt{2}}{3} .\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+2\sqrt{6}}{6}$

Bài 9: Chứng minh đẳng thức lượng giác:

a) $sin(\alpha +\beta ).sin(\alpha -\beta ) = sin^{2}\alpha  -sin^{2}\beta $

b) $cos^{4}\alpha -cos^{4}\left ( \alpha -\frac{\pi }{2} \right ) = cos2\alpha $

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin(\alpha +\beta ).sin(\alpha -\beta ) $

= $\frac{1}{2}.\left (cos2\beta -cos2\alpha \right )$

= $\frac{1}{2}.(1-2sin^{2}\beta -1+2sin^{2}\alpha )$

= $sin^{2}\alpha -sin^{2}\beta $

b) $cos^{4}\alpha -cos^{4}\left ( \alpha -\frac{\pi }{2} \right ) $

= $cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha$

= $(cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha )(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )$

= $cos2\alpha $

Bài 10: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-sin2x = 0$ là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

$sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-sin2x = 0$

$\Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=sin2x$

$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x+\frac{\pi }{6} = \pi -2x + k2\pi, k\in \mathbb{Z} $

$\Leftrightarrow x = -\frac{\pi }{6} -k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x =\frac{5\pi }{18} + k.\frac{2\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $\frac{5\pi }{18}$

Bài 11: Giải các phương trình sau:

a) $sin2x + cos3x = 0$

b) $sinxcosx = \frac{\sqrt{2}}{4}$

c) $sinx + sin2x = 0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin2x + cos3x = 0$

$\Leftrightarrow cos\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right )+cos3x = 0$

$\Leftrightarrow 2.cos\left ( \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4} \right ).cos\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right )=0$

$\Leftrightarrow cos\left ( \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4} \right ) = 0$ hoặc $cos\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4}  = \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2}+k\pi $

$\Leftrightarrow x = \frac{3\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \frac{\pi }{2} +k2\pi,k\in \mathbb{Z}$

b) $\Leftrightarrow \frac{1}{2}cos2x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x = -\frac{\pi }{4}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8}+k\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = -\frac{\pi }{8}+k\pi , k\in \mathbb{Z}$

c) $sinx + sin2x=0$

$\Leftrightarrow sinx = -sin2x$

$\Leftrightarrow sinx = sin(-2x)$

$\Leftrightarrow x = -2x + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \pi +2x + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = -\pi - k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

Bài 12: Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức $h(t) = 0,8cos0,5t + 4$.

a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại thời điểm t = 2. Ta có: h(t) = 0,8.cos(0,5.2) + 4 = 4,43 (m)

b) Dựa vào đồ thị hàm số cos:

Những thời điểm tàu không thể hạ thuỷ là khi $0,8cos0,5t + 4 < 3,6 \Leftrightarrow cos0,5t <-0,5$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}<0,5t <\frac{4\pi }{3}$

$\Leftrightarrow 4,19 < t < 8,38$

Vậy thời điểm tàu có thể hạ thuỷ là $(0;4,19)\cup (8,38;12)$

Bài 13: Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức $v = -3sin\left ( 1,5t +\frac{\pi }{3} \right )$.

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s

Hướng dẫn trả lời:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi $sin\left ( 1,5t +\frac{\pi }{3} \right )=-1$

$\Leftrightarrow 1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{3\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{7\pi}{9}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z}$

b) Khi $v = 1,5$ Ta có:

$sin\left ( 1,5t +\frac{\pi }{3} \right )= \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow 1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{-\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{5\pi}{9}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t = \frac{-\pi}{3}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z}$

Bài 14: Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh $\theta _{t} = (AB, AE)$ phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức $\theta _{t} = (AB, AE) = \frac{\pi }{12}(t-12) $ rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18)

a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.

b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là $x_{N} = -4$ (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Hướng dẫn trả lời:

a) $x_{E} = 5tan\frac{\pi }{12}(t-12)$

b) Do  6 < t < 18 nên $\frac{-\pi }{2}<\frac{\pi }{12}(t-12) < \frac{\pi }{2}$

Dựa vào đồ thị hàm tan:

Bóng cây phủ qua tường rào khi $x_{E} < -4$ $\Leftrightarrow tan\frac{\pi }{12}(t-12) < \frac{-4}{5}$ 

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}(t-12) < -0,67$ $\Leftrightarrow t < 9,4$

Vậy thời điểm bóng cây phủ qua hàng rào là 6 < t < 9,4