Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Giới hạn của hàm số

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x^{2}}(x>0)$. Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc toạ dộ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Hướng dẫn trả lời:

$S_{OMHK}=OH.OK = x_{H}.y_{H} = x_{H}.\frac{1}{x_{H}^{2}}=\frac{1}{x_{H}}$

Khi H tiến đến gần gốc toạ độ, tức là $x_{H}$ càng nhỏ. Vậy điện tích OMHK càng lớn

Khi H tiến xa sang phía bên phải, tức là $x_{H}$ càng lớn. Vậy điện tích OMHK càng nhỏ

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Khám phá 1: Xét hàm số $y = f(x) = \frac{2x^{2}-2}{x-1}$

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng tiến đến gần 1

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1;0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi x càng tiến gần đến 1 thì f(x) càng tiến gần đến 4

b) Khi H thay đổi gần về điểm (1;0) thì điểm P thay đổi gần về điểm (0;4)

Thực hành 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\to3}(2x^{2}-x)$

b) $\lim_{x\to-1}=\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\to 3}(2x^{2}-x) = 2.3^{2}-3 =15$

b) $\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+2x+1}{x+1} = \lim_{x\to -1}\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+1} = \lim_{x\to -1}(x+1)=-1+1=0$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Khám phá 2: Cho hai hàm số $y = f(x) = 2x$ và $y=g(x)=\frac{x}{x+1}$

a) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_{n}\neq -1 $ với mọi n và $x_{n}\rightarrow 1$ khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn $lim\left [ f(x_{n})+g(x_{n}) \right ]$

b) Từ đó, tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ]$, và so sánh với $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x) $

Hướng dẫn trả lời:

a) $lim\left [ f(x_{n})+g(x_{n}) \right ]=lim\left [ f(1)+g(1) \right ]=lim\left ( 2+ \frac{1}{1+1}\right )=\frac{5}{2}$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ] = \lim_{x\rightarrow 1}\left ( 2x+\frac{x}{x+1} \right )=\frac{5}{2}$

 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x) = \lim_{x\rightarrow 1}2x+\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x+1}=2+\frac{1}{1+1}=\frac{5}{2} $

Ta thấy:$\lim_{x\rightarrow 1}\left [ f(x)+g(x) \right ] =\lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$

Thực hành 2: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}+5x-2)$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}+5x-2) = \lim_{x\rightarrow -2}x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2}(5x)-\lim_{x\rightarrow -2}2$

$=(-2)^{2}+5\lim_{x\rightarrow -2}x-2=4+5.(-2)-2=-8$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1}(x+1) = \lim_{x\rightarrow 1}x+\lim_{x\rightarrow 1}1=1+1=2$

3. Giới hạn một phía

Khám phá 3: Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}6; x\in (0;1]\\7; x\in (1;2,5]\\10;  x\in (2,5;5]\end{matrix}\right.$

Đồ thị hàm số như Hình 2

a) Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì sao cho $x_{n}\in (1;2,5)$ và $limx_{n}=1$. Tìm $limf(x_{n})$

b) Giả sử $(x'_{n})$ là dãy số bất kì sao cho $x'_{n}\in (0;1)$ và $limx'_{n}=1$. Tìm $limf(x'_{n})$

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Hướng dẫn trả lời:

a) Với $x_{n}\in (1;2,5)$ thì $limf(x_{n})=7$

b) Với $x'_{n}\in (0;1)$ thì $limf(x'_{n})=6$

c)  Với $x_{n}\in (1;2,5)$ thì $limf(x_{n})=f(x)$ khi $x\in (1;2,5)$

Với $x'_{n}\in (0;1)$ thì $limf(x'_{n})=f(x)$ khi $x\in (0;1)$

Thực hành 3: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}1-2x; x\leq -1\\x^{2}+2; x>-1\end{matrix}\right.$.

Tìm các giới hạn $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x), \lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)$ và $\lim_{x\rightarrow -1}f(x)$ (nếu có)

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì, $x_{n} <-1$ và $x_{n}\rightarrow -1$. Khi đó $f(x_{n})= 1-2x_{n}$ nên $limf(x_{n}) = lim(1-2x_{n})=1-2.(-1)=3$

Vậy $\lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x) = 3$

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì, $x_{n} >-1$ và $x_{n}\rightarrow -1$. Khi đó $f(x_{n})= x_{n}^{2}+2$ nên $limf(x_{n}) = lim(x_{n}^{2}+2)=(-1)^{2}+2=3$

Vậy $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x) = 3$

Suy ra $\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=3$ 

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Khám phá 4: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới $+\infty $)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau: 

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới $-\infty $)?

Hướng dẫn trả lời:

a)

Khi x càng lớn và tiến tới $+\infty $ thì f(x) càng lớn và tiến gần tới 0

b) 

Khi x càng bé và tiến tới $-\infty $ thì f(x) càng bé và tiến gần tới 0

Thực hành 4: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-3x^{2}}{x^{2}+2x}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-3x^{2}}{x^{2}+2x}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1-3x^{2}}{x^{2}+2x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{x^{2}}-3}{1+\frac{2}{x}}$

= $\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{1}{x^{2}}-3 \right )}{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (1+\frac{2}{x}  \right )}$

= $\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{2}}-3}{1+\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x}}$

= $\frac{0-3}{1+0} = -3$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{x+1}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}$

= $\frac{lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x}}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )} $

= $\frac{lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x}}{1+lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}}$ 

= $\frac{0}{1+0} = 0$

Vận dụng 1: Một cái hồ đang chứa $200 m^{3}$ nước mặn với nồng độ $10 kg/m^{3}$. Người ta ngọt hoá nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ $2 m^{3}$/phút

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm

b) Tìm giới hạn $\lim_{t\rightarrow +\infty }C(t)$ và giải thích ý nghĩa

Hướng dẫn trả lời:

a) $C(t) = \frac{10.200}{200+2t} = \frac{1000}{100+t}$

b) $\lim_{x\rightarrow +\infty }C(t)  = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2000}{100+2t} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1000}{t}}{\frac{100}{t}+1} = \frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1000}{t}}{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{100}{t}+1  \right )}$

$= \frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1000}{t}}{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{100}{t}+1}= \frac{0}{0+1} = 0$

Vậy khi t càng lớn và tiến tới $+\infty$ thì nồng độ muối tiến tới 0

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Khám phá 5: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Hướng dẫn trả lời:

a)

Khi x dần tới 1 phía bên phải thì f(x) dần tiến tới $+\infty $

b) 

Khi x dần tới 1 phía bên trái thì f(x) dần tiến tới $-\infty $

Thực hành 5: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{2x}{x-3}$

b) $\lim_{x\rightarrow +\infty }(3x-1)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{2x}{x-3}$

Ta có: $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}2x = 2.3 =6$; $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{1}{x-3} = -\infty $

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{2x}{x-3} = \lim_{x\rightarrow 3^{-}}\left [2x.\frac{1}{x-3}  \right ] = -\infty $

b) Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty }x = +\infty $

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 3-\frac{1}{x} \right )=3-\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} = 3 - 0 =3$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow +\infty }(3x-1) = \lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\left (  3-\frac{1}{x} \right ) \right ] = +\infty $

Vận dụng 2: Xét tình huống ở mở đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật theo x. Diện tích này thay đổi thế nào khi $x\rightarrow 0^{+}$ và khi $x\rightarrow +\infty $

Hướng dẫn trả lời:

$S(x) = x . \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}S(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x} = +\infty $

$\lim_{x\rightarrow +\infty }S(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} = 0$

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}-7x+4)$

b) $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}$

c) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}-7x+4)$

$= \lim_{x\rightarrow -2}x^{2}-7.\lim_{x\rightarrow -2}x+\lim_{x\rightarrow -2}4$

$= (-2)^{2} - 7.(-2)+4$

$=22$

b) $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x^{2}-9}$

$=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}$

$=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x+3}$

$= \frac{1}{3+3}$

$=\frac{1}{6}$

c) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(3-\sqrt{x+8})(3+\sqrt{x+8})}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{9 - x -8}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}$

$= \frac{-1}{3+\sqrt{1+8}}$

$=\frac{-1}{6}$

Bài 2: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^{2}; x<1\\x; x\geq 1\end{matrix}\right.$

Tìm các giới hạn $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$; $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$; $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ (nếu có)

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}x = 1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-x^{2}) = -1$

Do $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ 

Bài 3: Tìm các giới hạn sau: 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+3}{2x}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{3x+1}$

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+3}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4+\frac{3}{x}}{2} = \frac{4+0}{2}=2$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{3x+1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}} = \frac{0}{3+0}=0$

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1$

Bài 4: 

a) $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{1}{x+1}$

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x^{2})$

c) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{x}{3-x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}\frac{1}{x+1} = +\infty $

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty }(1-x^{2}) = \lim_{x\rightarrow -\infty }\left [x^{2}.\left ( \frac{1}{x^{2}}-1 \right )  \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}.\lim_{x\rightarrow -\infty } \left ( \frac{1}{x^{2}}-1 \right )$

$= (+\infty) .(0-1)=-\infty $

c) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{x}{3-x} = \lim_{x\rightarrow 3^{-}}x.\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{1}{3-x}=+\infty $

Bài 5: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C(t)= \frac{30t}{400+t}$ (gam/lít)

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t\rightarrow +\infty $

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau thời gian t, số lít nước bơm vào hồ là: 15t (lít)

Trong 15t lít nước biển có lượng muối: 30.15t = 450t (gam)

Nồng độ muối trong hồ sau thời gian t phút: $C(t)= \frac{450t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}$

b) $\lim_{x\rightarrow +\infty }C(t)= \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{30t} {400+t} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{30}{\frac{400}{t}+1} = \frac{30}{0+1}=30$

Bài 6: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f>0 không đổi. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}$ hay $d'=\frac{df}{d-f}$

Xét hàm số $g(d) = \frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây là giải thích ý nghĩa

a) $\lim_{d\to f^{+}}g(d)$

b) $\lim_{d\to +\infty }g(d)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\lim_{d\to f^{+}}df = f^{2} > 0$

$\lim_{d\to f^{+}}\frac{1}{d-f} = +\infty $

Suy ra: $\lim_{d\to f^{+}}g(d)= \lim_{d\to f^{+}}\frac{df}{d-f} =\lim_{d\to f^{+}}\left [df.\frac{1}{d-f}  \right ]= +\infty $

Vậy khi vật tiến gần tới tiêu điểm thì ảnh càng lớn và tiến tới $+\infty $

b) $\lim_{d\to +\infty }g(d) = \lim_{d\to +\infty }\frac{df}{d-f}=\lim_{d\to +\infty }\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=\frac{f}{1-0}=f$

Vậy khi vật ở rất xa, tiến tới $+\infty$ thì ảnh của vật nằm trên tiêu điểm