Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

MỞ ĐÂU

Câu hỏi: Ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng, Có góc giữa hai đường thẳng chéo nhau không? Nếu có, làm thế nào để xác định?

Hướng dẫn trả lời:

Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau 

Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b: Kẻ 1 đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Khám phá 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian. Qua một điểm M tuỳ ý vẽ d//a và vẽ b'//b. Khi thay đổi vị trí của điểm M, có nhận xét gì về góc giữa a' và b'?

Hướng dẫn trả lời:

Khi thay đổi vị trí của điểm M thì góc giữa a' và b' không thay đổi

Thực hành 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA', A'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD'

b) MN và CD'

c) EF và CC'

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN//AC

Mà AA' // DD'

Nên góc giữa MN và DD' là góc giữa AC Và AA'

b) Vì MN//AC nên góc giữa MN và CD' là góc giữa AC và CD'

c) Trong tam giác AA'D' có EF là đường trung bình nên EF//AD'

Mà CC'//AA'

Nên góc giữa EF và CC' là góc giữa AA' và AD'

Vận dụng 1: Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác OMN vuông cân tại O. Tính góc giữa hai thanh gỗ a và b

Hướng dẫn trả lời:

Vì a//OM nên góc giữa a và b là góc giữa MN và OM

Mà tam giác OMN vuông cân

Nên góc giữa a và b là $45^{o}$

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Khám phá 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng

a) AB và BB'

b) AB và DD'

Hướng dẫn trả lời:

a) ABB'A' là hình vuông nên góc giữa AB và BB' là $90^{o}$

b) Vì DD'//AA' nên góc giữa AB và DD' là góc giữa AB và AA' và bằng $90^{o}$

Thực hành 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D" có 6 mặt đều là hình vuông

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC

b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với AC

Hướng dẫn trả lời:

a) Các đường thẳng đi qua hai dỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B'D', AA', CC', BB', DD'

b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC là B'D'

Vận dụng 2: Hình bên mô tả một người thợ đang ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a trong Hình 4

Hướng dẫn trả lời:

Các đường thẳng vuông góc với a là: chân tường, mép các viên gạch ốp,...

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết $Sa=a\sqrt{3}, SA \perp  AB$ và $SA \perp AD$. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB

Hướng dẫn trả lời:

CD//AB nên góc giữa SB và CD là góc giữa AB và SB, $\widehat{ABS}$

CB//AD nên góc giữa SD và CB là góc giữa SD và AD, $\widehat{ADS}$

Ta có: $tan\widehat{ABS}=tan\widehat{ADS} = \frac{a\sqrt{3}}{a} =\sqrt{3}$

Suy ra $\widehat{ABS} = \widehat{ADS} = \frac{\pi}{3}$

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng $AB \perp CD$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD

Tam giác ACD là MP là đường trung bình nên $MP = \frac{1}{2}.CD = \frac{1}{2}a, MP//CD$

Tam giác ABC là MN là đường trung bình nên $MN = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}a; MN//AB$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên $BP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên $CP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Suy ra tam giác BCP cân tại P có PN là trung tuyến nên $PN \perp BC$

$NP = \sqrt{CP^{2} - CN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Tam giác MNP có: $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ nên tam giác MNP vuông tại M

Do MN//AB, MP//CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MN và MP và bằng $90^{o}$

Vậy $AB \perp CD$

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{BSA} = \widehat{CSA} = 60^{o}$, $\widehat{BSC} = 90^{o}$. Cho I và J lần lượt là trung diểm của SA và BC. Chứng minh rằng $IJ \perp SA$ và $IJ \sqrt BC$

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác SAB có SA = SB = a; $\widehat{BSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAB đều cạnh a. Suy ra $IB = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác SAC có SA = SC = a; $\widehat{CSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAC đều cạnh a. Suy ra $IC = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Suy ra tam giác IBC cân tại I có IJ là trung tuyến. Nên $IJ \perp BC$

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC

Hướng dẫn trả lời

Tam giác ACD đều cạnh a có AK là trung tuyến nên $AK = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Gọi I là trung điểm của BD

Tam giác ABD đều cạnh a có AI là trung tuyến nên $AI = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác BCD có IK là đường trung bình nên IK//BC, $IK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$

Ta có: $cos\widehat{AKI} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Nên $\widehat{AKI} = 73,2^{o}$

Vì BC//IK nên góc giữa AK và BC là góc giữa AK và KI và bằng $73,2^{o}$

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và $MN =a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AB và CD

Hướng dẫn trả lời

Gọi I là trung điểm của BD.

Tam giác BCD có IM là đường trung bình nên IM//DC và $IM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}.2a = 1$

Tam giác ABD có IN là đường trung bình nên IN//AB và $IN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2a = 1$

Ta có: $cos\widehat{MIN}=\frac{a^{2}+a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}{2.a.a}=\frac{-1}{2}$

Nên $\widehat{MIN} = 120^{o}$

Do AB//IN, CD//IM nên góc giữa AB và CD là góc giữa IM và IN là bằng $120^{o}$

Bài 6: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD

Hướng dân trả lời:

Vì a//AB nên góc giữa a và AF là góc giữa AB và AF và bằng $120^{o}$

Vì a//AB nên góc giữa a và AE là góc giữa AB và AE và bằng $90^{o}$

Vì a//AB nên góc giữa a và AD là góc giữa AB và AD và bằng $60^{o}$