Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Giả sử hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại $x_{0}$ la $f'(x_{0})$ và $g'(x_{0})$. Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích của thương của f(x) và g(x) tại $x_{0}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích của thương của f(x) và g(x) tại $x_{0}$

1. Đạo hàm của hàm số $y=x^{n}, n\in \mathbb{N}^{*}$

Khám phá 1:

a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm $x = x_{0}$

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số $y=x^{2}, y = x^{3}$ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^{n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y'(x_{0}) = \lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f_(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{x-x_{0}}{x-x_{0}} = \lim_{x\to x_{0}}1 = 1$

b) Đạo hàm của $y =x^{2}$ là $y' = 2x$

Đạo hàm của $y =x^{3}$ là $y' = 3x^{2}$

Dự đoán: Đạo hàm của $y =x^{n}$ là $y' = nx^{n-1}$

Thực hành 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=x^{10}$ tại x = -1 và $x = \sqrt[3]{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:$(x^{10})' = 10x^{9}$

Từ đó $y'(-1) = 10.(-1)^{9} = -10$

$y'(\sqrt[3]{2}) = 10.(\sqrt[3]{2})^{9} = 80$

2. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Khám phá 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x=x_{0}$ với $x_{0}>0$

Hướng dẫn trả lời:

$y'(x_{0}) = \lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f_(x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x\to x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}).(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})} $

$= \lim_{x\to x_{0}}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}$

$= \frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}} = \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$

Thực hành 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm só $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4

Hướng dẫn trẩ lời:

Ta có: $y' =(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Khi x = 4 thì $y=\sqrt{4} = 2$

Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 là: $\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (4;2) là:

$y-2=\frac{1}{4}(x-4)$ Hay $y = \frac{1}{4}x +1$

Thực hành 3: Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) $y=\sqrt[4]{x}$ tại x = 1

b) $y=\frac{1}{x}$ tại $x = -\frac{1}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Với x > 0, ta có: $y' = (\sqrt[4]{x})' = (x^{\frac{1}{4}})'=\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{-3}{4}}  = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}}$

Từ đó: $y'(1) = \frac{1}{4\sqrt[4]{1^{3}}} = \frac{1}{4}$

b) Ta có: $y' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1.x^{-1-1} = -x^{-2} = \frac{-1}{x^{2}}$

Từ đó, $y'(-\frac{1}{4}) = \frac{-1}{(-\frac{1}{4})^{2}} = -16$

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Khám phá 3: Cho biết $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx

Hướng dẫn trả lời:

$y'(x_{0}) =\lim_{x \to x_{0}}\frac{sinx-sinx_{0}}{x-x_{0}}$

Gọi $x = x_{0} + \Delta x$

Suy ra:

$y'(x_{0}) =\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin(x_{0}+\Delta x) -sinx_{0}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{sinx_{0}cos\Delta x + cosx_{0}sin\Delta x -sinx_{0}}{\Delta x}$

$ = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{sinx_{0}cos\Delta x -sinx_{0}}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{cosx_{0}sin\Delta x}{\Delta x}$

$= sinx_{0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{cos\Delta x - 1}{\Delta x}+cosx_{0}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}$

Ta có: $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$. Suy ra:$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta lại có: $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{cos\Delta x - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(cos\Delta x - 1)(cos\Delta x +1)}{\Delta x.(cos\Delta x +1)}$

$= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{cos^{2}\Delta x - 1}{\Delta x.(cos\Delta x +1)} = -\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin^{2}\Delta x}{\Delta x.(cos\Delta x +1)} $

$= -\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{cos\Delta x+1} = 1.\frac{0}{1+1}=0$

Từ đó: $y'(x_{0}) = cosx_{0}.1=cosx_{0}$

Thực hành 4: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x=\frac{3\pi}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $y'=(tanx)'=\frac{1}{cos^{2}x}$

Vậy $y'(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{(cos\frac{3\pi}{4})^{2}} = 2$

Khám phá 4: Cho biết $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ và $\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=e^{x}$

b) $y=lnx$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{e^{x}-e^{x_{0}}}{x-x_{0}}$

Gọi $x = x_{0} + \Delta x$

Suy ra: $y(x_{0})' = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x_{0}+\Delta x}-e^{x_{0}}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x_{0}+\Delta x}-e^{x_{0}}}{\Delta x} = e^{x_{0}}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

Đặt $e^{\Delta x} = n + 1$. Suy ra $\Delta x =ln(n+1)$. Khi $\Delta x \to 0$ thì $n \to 0$

Ta có: $y'(x_{0}) = e^{x_{0}}.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{n}{ln(n+1)}$

$= e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{1}{\frac{1}{n}.ln(n+1)} = e^{x_{0}}.\lim_{n \to 0}\frac{1}{ln(n+1)^{\frac{1}{n}}}$

Mà $\lim_{n \to 0}(n+1)^{\frac{1}{n}} = e$

Suy ra  $y'(x_{0})  = e^{x_{0}}.\frac{1}{lne} = e^{x_{0}}$

b) Ta có y = lnx. Suy ra $x = e^{y}$

Đạo hàm 2 vế, ta có:

$x' = y'.(e^{y})'$

$\Leftrightarrow 1 = y'.e^{y}$

$\Leftrightarrow y' = \frac{1}{e^{y}}$

$\Leftrightarrow y' = \frac{1}{x}$

Thực hành 5: Tìm đạo hàm của các hàm số

a) $y=9^{x}$ tại x = 1

b) $y=lnx$ tại $x=\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $y' = (9^{x})' = 9^{x}.ln9$

Suy ra: $y'(1) = 9^{1}.ln9=9.ln9$

b) Ta có: $y' = (lnx)' = \frac{1}{x}$

Suy ra: $y'(\frac{1}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{3}}  =3$

5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số

Khám phá 5: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$. Xét hàm số $h(x) = f(x) + g(x)$

Ta có: $\frac{h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}} = \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}+\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$

Nên $h'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(x)-h(x_{0}}{x-x_{0}}=  \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} +  \lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}=...+...$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm $h'(x_{0})$

Hướng dẫn trả lời:

$h'(x_{0}) = f'(x_{0}) + g'(x_{0})$

Thực hành 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xlog_{2}x$

b) $y = x^{3}e^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' =(xlog_{2}x)' = x'.log_{2}x + x.(log_{2}x)'$

$= log_{2}x + x.\frac{1}{x.ln2} = log_{2}x + \frac{1}{ln2}$

b) $y' = (x^{3}e^{x})' = (x^{3})'.e^{x} + x^{3}.(e^{x})' = 3x^{2}e^{x} + x^{3}.e^{x}$

6. Đạo hàm của hàm hợp

Khám phá 6: Cho hàm số u = sinx và hàm số $y=u^{2}$

a) Tính y theo x

b) Tính $y'_{x}$ (đạo hàm của y theo biến x), $y'_{u}$ (đạo hàm của y theo biến u) và $u'_{x}$ (đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh $y'_{x}$ với $y'_{u}.u'_{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y = (sinx)^{2} = sin^{2}x$

b) $y'_{x} = (sin^{2}x)' = 2sinx.cosx

$y'_{u} = 2u$

$u'_{x} = cosx$

Ta có: $y'_{u}.u'_{x}=2u.cosx = 2sinx.cosx$

Suy ra: $y'_{x} = y'_{u}.u'_{x}$

Thực hành 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (2x^{3}+3)^{2}$

b) $y=cos3x$

c) $y = log_{2}(x^{2} +2)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 2.(2x^{3}+3).(2x^{3}+3)' = 2.(2x^{3} +3).6x^{2} =12x^{2}(2x^{3}+3)$

b) $y' = (3x)'.(-sin3x) = -3sin3x$

c) $y' = (x^{2}+2)'.\frac{1}{(x^{2}+2).ln2} = \frac{2x}{(x^{2}+2).ln2}$

7. Đạo hàm cấp 2

Khám phá 7: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = 2t^{3} +4t+1$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2

Hướng dẫn trả lời:

a) $v(t) = s'(t) = 6t^{2} + 4t$

b) $v'(t) = 12t + 4$

Ta có: v'(2) = 12.2 + 4 = 28

Thực hành 8: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=x^{2}-x$

b) $y=cosx$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 2x-1; y'' = 2$

b) $y' = -sinx; y'' = -cosx$

Vận dụng: Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là $s(t) = 4,9t^{2}$, trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3

Hướng dẫn trả lời:

$v(t) = s'(t) = 9,8t$

Gia tốc rơi của hòn sỏi là v'(t) = 9,8

BÀI TẬP

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y =2x^{3} -\frac{x^{2}}{2} +4x -\frac{1}{3}$

b) $y=\frac{-2x+3}{x-4}$

c) $y=\frac{x^{2}-2x+3}{x-1}$

d) $y=\sqrt{5x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 6x^{2} -x + 4$

b) $y' = (\frac{-2x+3}{x-4})' = (-2 -\frac{5}{x-4})' = \frac{5}{(x-4)^{2}}$

c) $y=\frac{x^{2}-2x+3}{x-1} = \frac{x^{2}-x -x +1 +2}{x-1} = x - 1 +\frac{2}{x-1}$

$y' = 1 - \frac{2}{(x-1)^{2}}$

d) $y' = (5x)'.\frac{1}{2.\sqrt{5x}} = \frac{5}{2.\sqrt{5x}}$

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin 3x

b) $y=cos^{3}2x$

c) $y=tan^{2}x$

d) $y=cot(4-x^{2})$

Hướng dẫn trả lời

a) $y' = (3x)'.cos3x=3cos3x$

b) $y' = (cos2x)'.3.cos^{2}2x = (2x)'.(-sin2x).3.cos^{2}2x = -6sin2x.cos2x$

c) $y' = (tanx)'.2tanx = \frac{1}{cos^{2}x}.2.tanx = \frac{2tanx}{cos^{2}x}$

d) $y' = (4-x^{2})'.\frac{-1}{sin^{2}x} = -2x.\frac{-1}{sin^{2}x} = \frac{2x}{sin^{2}x}$

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (x^{2} -x).2^{x}$

b) $y=x^{2}.log_{3}x$

c) $y=e^{3x+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = (x^{2}-x)'.2^{x} + (x^{2}-x).(2^{x})' = (2x-1).2^{x} + (x^{2}-x).2^{x}.ln2$

b) $y' = (x^{2})'.log_{3}x + x^{2}.(log_{3}x)' = 2x.log_{3}x + x^{2}.\frac{1}{x.ln3}$

c) $y' = (3x+1)'.e^{3x+1} = 3.e^{3x+1}$

Bài 4: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=2x^{4} -5x^{2} +3$

b) $y=xe^{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $y' = 8x^{3} -10x; y'' = 24x^{2}-10$

b) $y' = e^{x} + x.e^{x}; y'' = e^{x} + e^{x} + x.e^{x} = 2e^{x} + x.e^{x}$

Bài 5: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số $w(t) = 0,000758t^{3} - 0,0596t^{2} + 1,82t + 8,15$, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound. Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại tời điểm 10 tháng tuổi

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái là: $w'(t) = 0,002274t^{2} - 0,1192t + 1,82$

Khi t = 10, ta có: $w'(10) = 0,002274.10^{2} - 0,1192.10 + 1,82 = 0,8554$

Bài 6: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghin đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C(x) = \sqrt{5x^{2}+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số $x(t) = 20t+40$. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ tăng của chi phí theo thời gian là

$C'(t) = C'(x).x'(t) = (\sqrt{5x^{2}+60})'.(20t+40)' $

$= (5x^{2}+60)'.\frac{1}{2.\sqrt{5x^{2}+60}}.20 = 10x.\frac{1}{2.\sqrt{5x^{2}+60}}.20$

$= 100x. \frac{1}{2.\sqrt{5x^{2}+60}} = 100(20t+40).\frac{1}{\sqrt{5(20t+40)^{2}+60}}$

Khi t =4 thì $C'(4) = 100(20.4+40).\frac{1}{\sqrt{5(20.4+40)^{2}+60}} = 44,7$

Bài 7: Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức $s(t) = 0,81t^{2}$, trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200m phía trên Mặt trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính

a) Quãng đường vật đã rơi

b) Gia tốc của vật

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi t = 2 thì $s(t) = 0,81.2^{2} = 3,24 (m)$

b) Ta có: $v(t) = s'(t) = 1,62t$

Gia tốc của vật là $v'(t) = 1,62$