Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A' là hình chiếu của A lên Ox. Toạ độ s của A' trên trục Ox được gọi là li độ A và (IO,IA) = $\alpha $ được gọi là li độ góc của A. Làm các nào để tính li độ dựa vào li độ góc?

Hướng dẫn trả lời:

Cách tính li độ dựa vào li độ góc là: $s = 2 . sin\alpha $

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Khám phá 1: Trong Hình 1, M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của các góc lượng giác $\frac{2\pi }{3}$ và $\frac{-\pi }{4}$ trên đường tròn lượng giác. Xác định toạ độ của M và N trong hệ trục toạ độ Oxy.

Hướng dẫn trả lời:

$M \left ( \frac{1}2{} ;\frac{\sqrt{3}}{2}\right )$

$N \left ( \frac{\sqrt{2}}2{} ;\frac{-\sqrt{2}}{2}\right )$

Thực hành 1: Tính $sin\left ( -\frac{2\pi }{3} \right )$ và $tan\left ( 495^{o} \right )$

Hướng dẫn trả lời:

$sin\left ( -\frac{2\pi }{3} \right ) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$tan495^{o} = tan(135^{o}+360^{o})=tan(135^{o}) = -1$

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

Thực hành 2: Sử dụng máy tính cầm tay để tính $cos75^{o}$ và $tan\left ( \frac{-19\pi }{6} \right )$.

Hướng dẫn trả lời:

$cos75^{o} = \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4} \approx 0,26$

$tan\left ( \frac{-19\pi }{6} \right ) = \frac{-\sqrt{3}}{3} \approx  -0,58$

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Khám phá 2: a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha $ trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao $sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha = 1 $.

b) Khi $cos\alpha  \neq 0$, chia cả hai vế của biểu thức câu a) cho $cos^{2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

c) Khi $sin\alpha  \neq 0$, chia cả hai vế của biểu thức câu a) cho $sin^{2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin\alpha $ = OK = MH

$cos\alpha $ = OH

Theo định lý Py-ta-to trong tam giác vuông OMH:

$MH^{2}+ OH^{2} = OM^{2} = R^{2} = 1$

Vậy $sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha = 1 $

b)  Khi $cos\alpha  \neq 0$:

$\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha} + 1 = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$

$\left ( \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \right )^{2} + 1 = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$

$tan^{2}\alpha  + 1 = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$

c) Khi $sin\alpha  \neq 0$:

$\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha} + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

$\left ( \frac{cos\alpha }{sin\alpha } \right )^{2} + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

$cot^{2}\alpha  + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

Thực hành 3: Cho $tan\alpha =\frac{2}{3}$ với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $cos\alpha $ và $sin\alpha $

Hướng dẫn trả lời:

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha $ trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III. Do đó, $sin\alpha $ < 0 và $cos\alpha $ < 0

Ta có: $tan^{2}\alpha  + 1 = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$

Do đó, $cos\alpha = \frac{-\sqrt{9}}{\sqrt{13}}$

Và $sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha = 1 $

Suy ra $sin\alpha = \frac{-\sqrt{4}}{\sqrt{13}}$

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

Thực hành 4: a) Biểu diễn $cos638^{o}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ $0^{o}$ đến $45^{o}$

b) Biểu diễn $cot\frac{19\pi }{5}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos638^{o} = cos(-82^{o}) =  cos(82^{o}) = sin8^{o}$

b) $cot\frac{19\pi }{5} = cot\frac{4\pi }{5} = - cot\frac{\pi }{5}$

Vận dụng: Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu với điểm B và C.

a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10sin$\alpha $) mét với $\alpha $ là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so vói mặt đất khi $\alpha = -30^{o}$

b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng KH

• Nếu điểm B nằm ở nửa đường tròn trên thì $\alpha $ >0, sin$\alpha $>0 và OK = 10sin$\alpha $

Ta có: KH = OH + OK = 13 + 10sin$\alpha $

• Nếu điểm B nằm ở nửa đường tròn dưới thì $\alpha $ < 0, sin$\alpha $ < 0 và OK = 10.(-sin$\alpha $)

Ta có: KH = OH - OK = 13 - 10.(-sin$\alpha $) = 13 + 10sin$\alpha $

Khi $\alpha = -30^{o}$, KH =13 + 10. $\frac{-1}{2}$ = 8

b) Gọi (OA,OC) = $\beta $. Ta có: $\beta = \alpha -90^{o}$

Khi KH = 4. Suy ra sin$\alpha $ = $\frac{-9}{10}$, $\alpha $  < 0

$sin\beta  =- \sqrt{1 - sin^{2}\alpha }=-\sqrt{1 -\left ( \frac{-9}{10} \right )^{2}} = \frac{-\sqrt{19}}{10}$

Điểm C cách mặt đất là: $13 + 10sin\beta \approx 12,96$

BÀI TẬP

Bài tập 1: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) $sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $cos\alpha = -\frac{4}{5}$

b) $sin\alpha = \frac{1}{3}$ và $cot\alpha = \frac{1}{2}$

c) $tan\alpha = 3$ và $cot\alpha = \frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Đẳng thức câu a và c có thể đồng thời xảy ra.

Đẳng thức câu b không thể đồng thời xảy ra do $cot^{2}\alpha  + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

Bài tập 2: Cho $sin\alpha = \frac{12}{13}$ và  $cos\alpha = \frac{-5}{13}$. Tính $sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha  \right )$

Hướng dẫn trả lời:

A = $sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha  \right )$

= $sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left (\pi +\alpha  \right )$

Vì $sin\alpha >0 $ và  $cos\alpha <0$ nên điểm biểu diễn góc $\alpha $ trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ II.

Suy ra: $sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) = cos(\alpha )$

$cos\left (\pi +\alpha  \right ) = - cos(\alpha )$

Vậy A =2.$cos(\alpha )$ = $\frac{-10}{13}$

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, nếu:

a) $sin\alpha = \frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $

b) $cos\alpha = \frac{2}{5}$ và $0^{o}<\alpha <90^{o}$

c) $tan\alpha = \sqrt{3}$ và $\pi < \alpha <  \frac{3\pi }{2} $

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos\alpha = -\frac{12}{13}$

$tan\alpha = -\frac{5}{12}$

$cot\alpha = -\frac{12}{5}$

b) $sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}}$

c) $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\alpha = \frac{1}{2}$

$cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$tan\alpha = 2$

Bài tập 4: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ hoặc từ $0^{o}$ đến $45^{o}$ và tính:

a) $cos\frac{21\pi }{6}$

b) $sin\frac{129\pi }{4}$

c) $tan1020^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos\frac{21\pi }{6} = cos(2.2\pi -\frac{3\pi }{4})=cos(-\frac{3\pi }{4})=-cos(-\frac{3\pi }{4}+\pi ) = -cos(\frac{\pi }{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $sin\frac{129\pi }{4} = sin(16.2\pi +\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $tan1020^{o} = tan(3.360^{o}-60^{o})= tan(-60^{o}) = -tan(60^{o}) = -cot(90^{o}-60^{o}) = -cot(30^{o}) = -\sqrt{3}$

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $sin^{4}\alpha  - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha $

b) $tan\alpha  + cot\alpha  = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin^{4}\alpha  - cos^{4}\alpha = \left ( sin^{2}\alpha  - cos^{2}\alpha \right ).\left ( sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha \right )$

$= \left ( sin^{2}\alpha  - cos^{2}\alpha \right ).1=  sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha - 2.cos^{2}\alpha = 1- 2.cos^{2}\alpha$

b) $tan\alpha  + cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } + \frac{cos\alpha }{sin\alpha } = \frac{sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin\alpha .cos\alpha } = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$

b) $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$

Hướng dẫn trả lời

a) $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$

= $\frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha}+1} + \frac{1}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha}+1}$

= $\frac{1}{\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }} + \frac{1}{\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha }}$

= $\frac{cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }+\frac{sin\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$

= $\frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$

= 1

b) $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$

= $sin\alpha  - (-sin\alpha ) $

= $2sin\alpha $

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$

=$cos\alpha + cos(-\alpha ) - tan\alpha .cot(\pi -\alpha )$

= $cos\alpha + cos\alpha - tan\alpha.(-cot\alpha )$

= $2cos\alpha + 1$

Bài tập 7: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng đứng và in bóng vuông góc xuông mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là bao nhiêu. Biết độ dài thanh OM là 15cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời:

Sau khi thah OM quay được 3 vòng, vị trí của thanh là OA. Quay tiếp $\frac{1}{10}$, thanh sẽ tạo với OA 1 góc $\alpha = 2\pi /10 = \pi /5$.

Độ dài của bóng O'M' = OM.cos$\alpha $ = 15.cos$\pi /5$ = 12,1 (cm).

Bài tập 8: Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau 1 phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời

Sau một phút di chuyển, van V quay được một góc là 11.60 = 660 (rad) 

Khoảng cách từ van đến mặt đất là: 58 + 58.sin660 $\approx $ 57,7 (cm)