Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Đạo hàm

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

Hướng dẫn trả lời:

Tốc độ của xe bằng quãng đường xe đi được chia cho vận tốc

Khi biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì ta có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm

1. Đạo hàm

Khám phá 1: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức $s(t) = 4,9t^{2}$ với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ khi t càng gần 5

b) Giới hạn $\lim_{t \to 5}\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_{0}=5$. Tính giá trị này

c) Tính giới hạn $\lim_{t \to t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t{0}}$ để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_{0}$ nào đó trong quá trình rơi của vật

Hướng dẫn trả lời:

a)

b) $\lim_{t \to 5}\frac{s(t)-s(5)}{t-5} = \lim_{t \to 5}\frac{4,9t^{2}-4,9.5^{2}}{t-5}$

$= \lim_{t \to 5}\frac{4,9(t^{2}-5^{2})}{t-5}= \lim_{t \to 5}\frac{4,9(t-5)(t+5)}{t-5}$ 

$= \lim_{t \to 5}4,9(t+5)=4,9 (5+5)=49$

c) $\lim_{t \to t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}} = \lim_{t \to t_{0}}\frac{4,9t^{2}-4,9.t_{0}^{2}}{t-t_{0}} $

$= \lim_{t \to t_{0}}\frac{4,9(t^{2}-t_{0}^{2})}{t-t_{0}}= \lim_{t \to t_{0}}\frac{4,9(t-t_{0})(t+t_{0})}{t-t_{0}}$

$= \lim_{t \to t_{0}}4,9(t+t_{0})=4,9 (t_{0}+t_{0})=9,8t_{0}$

Thực hành 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Với bất kì $x_{0}$ ta có:

$f'(x) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{x^{3}-x_{0}^{3}}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x \to x_{0}}\frac{(x-x_{0})(x^{2}+x.x_{0}+x_{0}^{2})}{x-x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}}(x^{2}+x.x_{0}+x_{0}^{2}) = x_{0}^{2}+x_{0}.x_{0}+x_{0}^{2} = 3x_{0}^{2}$

Vận dụng: Với tình huống trong Khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2

Hướng dẫn trả lời:

$v(2) = s'(2) = 9,8.2 = 19,6$

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Khám phá 2: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{2}x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $M(1;\frac{1}{2})$ thuộc (C)

a) Vẽ (C) và tính f'(1)

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f'(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C)

Hướng dẫn trả lời:

a)

$f'(1) = \lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}.1^{2}}{x-1}$

$=\lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{2}(x^{2}-1)}{x-1}$

$=\lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{2}(x-1)(x+1)}{x-1} $

$= \lim_{x \to 1}\frac{1}{2}(x+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1$

b) 

đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 1 điểm M duy nhất

Thực hành 2: Cho (C) là đồ thị của hàm số $f(x) =\frac{1}{x}$ và điểm $M(1;1) \in (C)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $(\frac{1}{x})' = \frac{-1}{x^{2}}$ nên tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc là $f'(1) = \frac{-1}{1^{2}}  = -1$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

$y - 1 = -1.(x-1) \leftrightarrow y = -x + 2$

3. Số e

Khám phá 3: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn dược cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là:

a) một năm

b) một tháng

Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn $(n \in N^{*})$ thì lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r}{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Nếu kì hạn là 1 năm thì tổng tiền vốn và lãi sau một năm gửi là: A.(1+r)

b) Nếu kì hạn là 1 tháng thì tổng tiền vốn và lãi sau một năm gửi là: $A.(1+\frac{r}{12})^{12}$

Thực hành 3: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm và theo thể thức lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau:

a) 1 ngày

b) 30 ngày

Hướng dẫn trả lời:

a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:

$5000000.e^{0,06.\frac{1}{365}}=5000822$ (đồng)

b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:

$5000000.e^{0,06.\frac{30}{365}}=5024718$ (đồng)

BÀI TẬP

Bài 1: Dùng định nghĩ để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f(x) = -x^{2}$

b) $f(x)=x^{3}-2x$

c) $f(x) =\frac{4}{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $f'(x_{0}) =\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{{0}})}{x-x_{{0}}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{-x^{2}-(-x_{0}^{2})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x \to x_{0}}\frac{-(x^{2}-x_{0}^{2})}{x-x_{0}}= \lim_{x \to x_{0}}\frac{-(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}}[-(x+x_{0})] = -(x_{0}+x_{0})=-2x_{0}$

b) $f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{{0}})}{x-x_{{0}}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{x^{3}-2x - x_{0}^{3} +2x_{0}}{x-x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}}\frac{(x^{3}-x_{0}^{3})-(2x-2x_{0})}{x-x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}}\frac{(x-x_{0})(x^{2}+x.x_{0}+x_{0}^{2})-2(x-x_{0})}{x-x_{0}}$

$=\lim_{x \to x_{0}}[(x^{2}+x.x_{0}+x_{0}^{2})-2]$

$=(x_{0}^{2}+x_{0}.x_{0}+x_{0}^{2})-2= 3x_{0}^{2}-2$

c) $f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{{0}})}{x-x_{{0}}}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{x_{0}}}{x-x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}}\frac{\frac{4x_{0}-4x}{x.x_{0}}}{x-x_{0}}= \lim_{x \to x_{0}}\frac{-4}{x.x_{0}}$

$=\frac{-4}{x_{0}.x_{0}}=\frac{-4}{x_{0}^{2}}$

Bài 2: Cho hàm số $f(x) = -2x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $A(1;-2) \in (C)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $f'(x_{0}) = -4x$

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là -4.1 = -4

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^{3}$

a) Tại điểm (-1;1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $y'(x_{0}) = 3x^{2}$

a) Ta có điểm (-1;1) không thuộc hàm số $y=x^{3}$ nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;1)

b) Khi x = 2 thì $y = 2^{3} = 8$

Hệ só góc của phương trình tiếp tuyến là $3.2^{2} = 12$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2;8) là:

$y - 8 = 12.(x-2)$ Hay $ y = 12x -16$

Bài 4: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = 4t^{3} +6t+2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc tức thời của chuyển động là: $v(t) = s'(t) = 12t^{2} + 6$

Khi t = 2; $v(2) = 12.2^{2} + 6  = 54$

Bài 5: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng

b) lãi kép liên tục

Hướng dẫn trả lời:

a) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:

$T = 10 000 000(1+\frac{0,05}{2})^{2} = 10506250$ (đồng)

b) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:

$T = 10 000 000e^{0,05} = 10512711$ (đồng)

Bài 6: Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức $h(t) = 0,81t^{2}$, với t được tính bằng giây và h tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt trăng tại thời điểm t = 2

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc tức thời của vật là: $v(t) = h'(t) = 1,62t$

Tại thời điểm t = 2 thì v(2) = 1,62.2 = 3,24