Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương VI

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Rút gọn biểu thức $\left [ \left ( \frac{1}{3} \right )^{2} \right ]^{\frac{1}{4}}(\sqrt{3})^{5}$, ta được

A. $\sqrt{3}$

B. $3.\sqrt{3}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. 9

Hướng dẫn trả lời:

$\left [ \left ( \frac{1}{3} \right )^{2} \right ]^{\frac{1}{4}}(\sqrt{3})^{5} = [(3)^{-1}]^{2.\frac{1}{4}}.(3^{\frac{1}{2}})^{5}=3^{-\frac{1}{2}}.3^{\frac{5}{2}}= 3^{2}= 9$

Đáp án: D

Câu 2: Nếu $2^{\alpha}=9$ thì $(\frac{1}{16})^{\frac{\alpha}{8}}$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{3}$

B. 3

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Hướng dẫn trả lời:

$(\frac{1}{16})^{\frac{\alpha}{8}} = (2^{-4})^{\frac{\alpha}{8}} = 2^{\frac{-\alpha}{2}} = (2^{\alpha})^{\frac{-1}{2}} = 9^{\frac{-1}{2}} = \frac{1}{3}$

Đáp án: A

Câu 3: Nếu $a^{\frac{1}{2}}=b (a>0;a \neq 1)$ thì:

A. $log_{\frac{1}{2}}a=b$

B. $2log_{a}b = 1$

C. $log_{a}\frac{1}{2} = b$

D. $log_{\frac{1}{2}}b=a$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Câu 4: Nếu $x=log_{3}4+log_{9}4$ thì $3^{x}$ có giá trị bằng:

A. 6

B. 8

C. 16

D. 64

Hướng dẫn trả lời:

$3^{x}=3^{log_{3}4+log_{9}4}=3^{log_{3}4}.3^{log_{9}4} = 4 + (9^{\frac{1}{2}})^{log_{9}4}=4+(9^{log_{9}4})^{\frac{1}{2}}=4+4^{\frac{1}{2}}=4+2=6$

Đáp án: A

Câu 5: Cho $\alpha,\beta$ là hai số thức $\alpha < \beta$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $(0,3)^{\alpha} < (0,3)^{\beta}$

B. $\pi^{\alpha} \geq \pi^{\beta}$

C. $(\sqrt)^{\alpha} < (\sqrt)^{\beta}$

D. $(\frac{1}{2})^{\beta} > (\frac{1}{2})^{\alpha} $

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Câu 6: Hình nào vẽ đồ thị của hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$?

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Câu 7: Phương trình $0,1^{2x-1}=100$ có nghiệm là:

A. $-\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $1\frac{1}{2}$

D. $2\frac{1}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

$0,1^{2x-1}=100 \Leftrightarrow 2x-1 = log_{0,1}100\Leftrightarrow 2x-1=-2\Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$

Đáp án: A

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình $0,5^{3x-1} >0,25$ là

A. $(-\infty;1)$

B. $(1;+\infty)$

C. (0;1)

D. $(-\infty; -\frac{1}{3})$

Hướng dẫn trả lời:

$0,5^{3x-1} >0,25 \Leftrightarrow 0,5^{3x-1} >0,5^{2} \Leftrightarrow 3x-1<2 \Leftrightarrow x < 1$

Đáp án: A

Câu 9: Nếu logx= 2log5 - log2 thì

A. x = 8

B. x = 23

C. x = 12,5

D. x = 5

Hướng dẫn trả lời:

$logx = 2log5 - log 2 =log5^{2} - log 2 = log 25 - log 2 =log\frac{25}{2} = log12,5$

Suy ra x = 12,5

Đáp án: C

Câu 10: Số nguyên x nhỏ nhất thoả mãn $log_{0,1}(1-2x) > -1$ là:

A. x = 0

B. x = 1

C. x = -5

D. x = -4

Hướng dẫn trả lời:

$log_{0,1}(1-2x) > -1 \Leftrightarrow 1-2x < 0,1^{-1} \Leftrightarrow 1-2x <10 \Leftrightarrow x > -4,5$

Đáp án: D

CÂU HỎI TỰ LUẬN

Câu 11: Biết $4^{\alpha} + 4^{-\alpha} =5$

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $2^{\alpha} + 2^{-\alpha}$

b) $4^{2\alpha} + 4^{-2\alpha}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4^{\alpha} + 4^{-\alpha} = 5$

$\Leftrightarrow (2^{\alpha})^{2} + 2.2^{\alpha}.2^{-\alpha}+ (2^{-\alpha})^{2}=5 + 2$

$\Leftrightarrow (2^{\alpha}+2^{-\alpha})^{2}=7$

$\Leftrightarrow 2^{\alpha}+2^{-\alpha} = \sqrt{7}$

b) $4^{2\alpha} + 4^{-2\alpha} = (4^{\alpha})^{2}+2.4^{\alpha}.4^{-\alpha}+(4^{-\alpha})^{2} -2 = (4^{\alpha}+4^{-\alpha})^{2}-2 = 5^{2}-2=23$

Câu 12: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $log_{2}72 - \frac{1}{2}(log_{2}3 + log_{2}27)$

b) $5^{log_{2}40-log_{2}5}$

c) $3^{2+log_{9}2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $log_{2}72 - \frac{1}{2}(log_{2}3 + log_{2}27) $

$= log_{2}72-\frac{1}{2}.log_{2}(3.27)$

$= log_{2}72-\frac{1}{2}.log_{2}81$

$= log_{2}72-.log_{2}81^{\frac{1}{2}}$

$= log_{2}72-.log_{2}9$

$=log_{2}\frac{72}{9}$

$=log_{2}8=3$

b) $5^{log_{2}40-log_{2}5} = 5^{log_{2}\frac{40}{5}}=5^{log_{2}8}=5^{3}=125$

c) $3^{2+log_{9}2} = (9^{\frac{1}{2}})^{log_{9}.81+log_{9}2}=9^{\frac{1}{2}.log_{9}(81.2)}=9^{\frac{1}{2}.log_{9}162}=9^{log_{9}162^{\frac{1}{2}}}$

$=162^{\frac{1}{2}}=9\sqrt{2}$

Câu 13: Biết rằng $5^{x}=3$ và $3^{y}=5$. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của xy

Hướng dẫn trả lời:

$5^{x} = 3$. Suy ra $x = log_{5}3$

$3^{y} = 5$. Suy ra $y = log_{3}5$

Ta có $x.y = log_{3}5.log_{5}3 = \frac{log5}{log3}.\frac{log3}{log5} = 1$

Cau 14: Viết công thức biểu thị y theo x, biết $2log_{2}y = 2+\frac{1}{2}log_{2}x$

Hướng dẫn trả lời:

$2log_{2}y = 2+\frac{1}{2}log_{2}x $

$\Leftrightarrow log_{2}y^{2}=log_{2}4+log_{2}x^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow log_{2}y^{2}=log_{2}(4.x^{\frac{1}{2}})$

$\Leftrightarrow y^{2} = 4.\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow y = \sqrt{4\sqrt{x}}$

Câu 15: Giải các phương trình:

a) $(\frac{1}{4})^{x-2} = \sqrt{8}$

b) $9^{2x-1} = 81.27^{x}$

c) $2log_{5}(x-2)=log_{5}9$

d) $log_{2}(3x+1) = 2 - log_{2}(x-1)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(\frac{1}{4})^{x-2} = \sqrt{8}$

$\Leftrightarrow (2^{-2})^{x-2}=(2^{3})^{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow 2^{-2x+4}=2^{\frac{3}{2}}$

$\Leftrightarrow -2x+4 = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{4}$

b) $9^{2x-1} = 81.27^{x} $

$\Leftrightarrow (3^{2})^{2x-1}=3^{4}.(3^{3})^{x}$

$\Leftrightarrow 3^{4x-2}=3^{4+3x}$

$\Leftrightarrow 4x-2=4+3x$

$\Leftrightarrow x = 6$

c) $2log_{5}(x-2)=log_{5}9 $

$\Leftrightarrow log_{5}(x-2)^{2}=log_{5}9$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}=9$

$\Leftrightarrow x - 2 = 3 (x-2>0)$

$\Leftrightarrow x = 5$

d) Điều kiện xác định: 3x + 1 > 0; x - 1>0. Hay x > 1

$log_{2}(3x+1) = 2 - log_{2}(x-1)$

$\Leftrightarrow log_{2}(3x+1)+log_{2}(x-1)=2$

$\Leftrightarrow log_{2}[(3x+1)(x-1)]=2$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x -1=2^{2}$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x-5=0$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$ hoặc x = -1

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{3}$

Câu 16: Giải các bất phương trình sau:

a) $(\frac{1}{9})^{x+1} > \frac{1}{81}$

b) $(\sqrt[4]{3})^{x} \leq 27.3^{x}$

c) $log_{2}(x+1) \leq log_{2}(2-4x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(\frac{1}{9})^{x+1} > \frac{1}{81}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{9})^{x+1} > (\frac{1}{9})^{2}$

$\Leftrightarrow x+1 < 2$ (Do $\frac{1}{9} < 1$)

$\Leftrightarrow x < 1$

b) $(\sqrt[4]{3})^{x} \leq 27.3^{x}$

$\Leftrightarrow (3^{\frac{1}{4}})^{x} \leq 3^{3}.3^{x}$

$\Leftrightarrow 3^{\frac{1}{4}x} \leq 3^{3+x}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}x \leq 3 + x$ (do 3 > 1)

$\Leftrightarrow x \geq -4$

c) Điều kiện xác định: x + 1 > 0; 2 - 4x > 0 Hay $-1 < x < \frac{1}{2}$

$log_{2}(x+1) \leq log_{2}(2-4x)$

$\Leftrightarrow x + 1 \leq 2 -4x$

$\Leftrightarrow x \leq \frac{1}{5}$

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: $-1 < x \leq \frac{1}{5}$

Câu 17: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện ra số lượng vi khuẩn tăng thêm 25% sau mỗi hai ngày,

a) Công thức $P(t)=P_{0}.a^{t}$ cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau t ngày kể từ thời điểm ban đầu. Xác định các tham số $P_{0}$ và a (a > 0). Làm tròn a đến hàng phần trăm

b) Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm

c) Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $P(t) = 1000.1,25^{\frac{t}{2}} = 1000.(1,25^{\frac{1}{2}})^{t} = 1000.1,12^{t}$

Vậy $P_{0} = 1000; a = 1,12$

b) Sau 5 ngày, ta có: $P(5) = 1000.1,12^{5} = 1800$

c) Khi $P(t) = 2P_{0}$ thì $1000.1,12^{t} = 2.1000$

Suy ra t = 6,2

Câu 18: Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH = log[H^{+}]$, trong đó $[H^{+}]$ là nồng độ $H^{+}$ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ $H^{+}$ trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó.

a) Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9; dung dịch acid B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần?

b) Nước cất có nồng dộ $H^{+}$ là $10^{-7}$ mol/L. Nước chảy ra từ một vòi nước có độ pH từ 6,5 đến 6,7 thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất?

Hướng dẫn trả lời:

a) Nồng độ $H^{+}$ của dung dịch A là: $10^{-1,9}$

Nồng độ $H^{+}$ của dung dịch B là: $10^{-2,5}$

Suy ra nồng độ acid của dung dịch A cao hơn dung dịch B $\frac{10^{-1,9}}{10^{-2,5}} = 3,98$

b) Nước chảy ra từ vòi có nồng độ $H^{+}$ từ $10^{-6,7}$ đến $10^{-6,5}$

Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất