Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Đường thẳng a trên mép hiên của toà nhà có điểm nào chung với mặt phẳng (P) của phố đi bộ Nguyễn Huệ không?

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng a không có điểm chung với mặt phẳng (P)

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Khám phá 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng (ABCD) lần lượt với các đường thẳng MN, MA và AC.

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng MN giao với mặt phẳng (ABCD) tại 0 điểm

Đường thẳng MA giao với mặt phẳng (ABCD) tại 1 điểm: A

Đường thẳng AC giao với mặt phẳng (ABCD) tại vô số điểm

Thực hành 1: Cho E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC của tứ diện ABCD. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng BC, AD và EF với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng BC thuộc mặt phẳng (BCD)

Đường thẳng AD cắt mặt phẳng (BCD)

Đường thẳng EF song song với mặt phẳng (BCD)

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Khám phá 2: Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Đặt (Q) =mp(A,b)

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Giả sử a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết a//b hay không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là b

b) Nếu a có điểm chung M với (P) thì điểm M phải nằm trên đường thẳng b (Do hai mặt phẳng chỉ giao nhau tại 1 giao tuyến)

Điều này trái với giả thiết a//b

Thực hành 2: Cho hình chóp S.ABC có A', B', C' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn trả lời:

Các đường thẳng SA, SB, SC cắt mặt phẳng (ABC)

Các đường thẳng AB, BC, CA nằm trong mặt phẳng (ABC)

Các đường thẳng A'B', B'C', C'A' song song với mặt phẳng (ABC)

Vận dụng 1: Hãy chỉ ra trong Hình 9 các đường thẳng lần lượt nằm trong, song song, cắt mặt phẳng sàn nhà.

Hướng dẫn trả lời:

Các mép của tấm thảm nằm trong mặt phẳng sàn nhà

Các mép bàn, mép tủ song song với mặt phẳng sàn nhà

Các cạnh bàn, cạnh giường, cạnh tủ cắt mặt phẳng sàn nhà

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Khám phá 3: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b (Hình 10). Trong (Q), hai đường thẳng a, b có bao nhiêu điểm chung?

Hướng dẫn trả lời:

Hai đường thẳng a và b không có điểm chung nào

Khám phá 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Lấy một điểm M trên a, vẽ đường thẳng b' đi qua M và song song với b. Đặt (P) là mặt phẳng đi qua a,b',

a) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa b và (P)

b) Gọi (P') là mặt phẳng chứa a và song song với b. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa b' và (P'); (P) và (P')?

Hướng dẫn trả lời:

a) $b' \subset (P), b'//b$ nên b//(P)

b) $b' \subset (P')$

(P) và (P') trùng nhau

Thực hành 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N,E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, SA (Hình 17). Chứng minh rằng:

a) MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)

b) SB và SC song song với mặt phẳng (MNE)

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có hình bình hành ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN//BC//AD

Do $BC \subset (SBC)$ nên MN//(SBC)

Do $AD \subset (SAD)$ nên MN//(SAD)

b) Trong tam giác SAB có M, E lần lượt là trung điểm của AB và SA nên ME//SB

Mà $ME \subset (MNE)$ nên SB//(MNE)

Gọi O là giao của AC, BD và MN

Do ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC

Trong tam giác SAC có O, E lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OE//SC

Mà $OE \subset (MNE)$ nên SC//(MNE)

Vận dụng 2: Làm thế nào để đặt cây thước kẻ a để nó song song với các trang của một cuốn sách?

Hướng dẫn trả lời:

Để cây thước a song song với các trang của một cuốn sách, ta đặt a song song với 1 dòng kẻ của cuốn sách hoặc với mép cuốn sách

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Cho M là trung điểm SC.

a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SBA)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác SAC, O và M lần lượt là trung điểm của AC và SC nên OM//SA

Mà SA⊂(SAD);SA⊂(SBA)

Nên OM//(SAD), OM//(SBA)

b) Hai mặt phẳng (SAD) và (OMD) có SA//OM nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua D song song với SA và OM

Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi O và O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.

a) Chứng minh đường thẳng OO' song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN//(CDFE)

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác FBD, O và O' lần lượt là trung điểm của BD và BF nên OO'//FD

Mà FD⊂(EFDC),FD⊂(ADF) nên OO'//(EFDC), OO'//(ADF)

Trong tam giác AEC, O và O' lần lượt là trung điểm của AE và AC nên OO'//EC

Mà EC⊂(BCE) nên OO'//(BCE)

b) Trong hình bình hành ABEF có M, N lần lượt là trung điểm của AE và BF nên MN//EF//AB

Mà EF⊂(CDFE) nên MN//(CDFE)

c) Hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD) có điểm O chung, MN//AB nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua O và song song với AB

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một mặt phẳng $(\alpha)$ qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N,P,Q.

a) MNPQ là hình gì?

b) Gọi $  I=MQ \cap NP$. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.

Hướng dẫn trả lời:

a) CD//$(\alpha)$, (SCD) chứa CD cắt $(\alpha)$ tại PQ nên PQ//CD

CD//$(\alpha)$, (ABCD) chứa CD cắt $(\alpha)$ tại MN nên MN//CD

Suy ra: MN//PQ

b) Mặt phẳng (SBC) và (SAD) giao nhau tại đường thẳng đi qua S và song song với BC và AD

$ I \in NP, NP \subset (SBC)$ nên $I \in (SBC)$

$ I \in QM, QM \subset (SAD)$ nên $I \in (SAD)$

Do đó I là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) nên I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Suy ra I nằm trên đường thẳng đi qua S và song song với BC

Bài 4: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi 

(α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Hướng dẫn trả lời:

a) $(\alpha)//BC, BC \subset (ABC)$ và $(\alpha)$ cắt (ABC) tại MN nên MN//BC

$(\alpha)//BC, BC \subset (BCD)$ và $(\alpha)$ cắt (BCD) tại PQ nên PQ//BC

Suy ra: MN//PQ

$(\alpha)//AD, AD \subset (ABD)$ và $(\alpha)$ cắt (ABD) tại MQ nên MQ//AD

$(\alpha)//AD, AD \subset (ACD)$ và $(\alpha)$ cắt (ACD) tại NP nên NP//BC

Suy ra: MQ//NP

Do đó, MNPQ là hình bình hành

b) MNPQ là hình thoi khi MN = NP

Ta có: $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}$

$\frac{NP}{AD}=\frac{CN}{AC}$ hay$\frac{MN}{AD}=\frac{CN}{AC}$

Mà $\frac{AN}{AC} + \frac{CN}{AC} = 1$ nên $\frac{MN}{BC} + \frac{MN}{AD} = 1$

Suy ra: $MN = \frac{AD.BC}{AD + BC}$

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn trả lời:

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N

Qua N kẻ đường thẳng song song với SA cắt AB tại P

Qua P kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC tại Q

Mặt phẳng (MNPQ) có MN//SB, NP//SA nên mặt phẳng (MNPQ) là mặt phẳng (P)

Giao tuyến của (P) với (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD) lần lượt là MN, NP, PQ và QM

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của MN và AD

Trong mặt phẳng (ACD), gọi F là giao điểm của MQ và SD

Ta có: E và F là hai điểm chung của mặt phẳng (P) và (SAD) nên giao tuyến của (P) với (SAD) là EF

Bài 6: Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của toà nhà (Hình 19).

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng a, e nằm trong mặt phẳng (P)

Đường thẳng b, c song song với mặt phẳng (P)

Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P)