Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình $s = 17cos5\pi t$ với s (cm) là toạ độ của điểm M trên trục Ox là t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài bóng OM bằng 10 cm khi s = 10 hoặc s = -10.

Khi s = 10. Ta có: $17cos5\pi t = 10$

Khi s = 10. Ta có: $17cos5\pi t = -10$

Từ đó, ta có thể xác định được các thời điểm t

1. Phương trình tương đương

Khám phá 1: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

a) $x - 1 = 0$

b) $x^{2} - 1 = 0$

c) $\sqrt{2x^{2}-1}=x$

Hướng dẫn trả lời:

a) $x - 1 =0$

Tập nghiệm của phương trình là {1}

b) $x^{2} - 1 = 0$

Tập nghiệm của phương trình là {-1; 1}

c) $\sqrt{2x^{2}-1}=x$

Tập xác định của phương trình $\left ( -\infty ;\frac{-\sqrt{2}}{2} \right ]\cup \left [\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty \right )$

Tập nghiệm của phương trình là {-1; 1}

Hai phương trình b và c có cùng tập nghiệm

Thực hành 1: Chỉ ra lỗi sai trong phép biển đổi phương trình dưới đây:

$x^{2}=2x \Leftrightarrow  \frac{x^{2}}{x}=2 \Leftrightarrow  x=2$

Hướng dẫn trả lời:

Trong phép biến đổi phương trình trên, ta chia cả 2 vế cho x khi x chưa khác 0

2. Phương trình sinx = m

Khám phá 2: a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?

b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có sinx = 0,5. Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có: $-1 \leq sinx\leq 1$

Do đó không có giá trị nào của x để sinx = 1,5

b) Những điểm biểu diễn góc lượng giác có sinx = 0,5 là M và N

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn là M là: $\frac{\pi }{6} + k2\pi $

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn là N là: $\frac{5\pi }{6} + k2\pi $

Thực hành 2: Giải các phương trình sau:

a) $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $sin(x+30^{o}) = sin(x+60^{o})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} = sin\frac{\pi }{3}$ nên ta có phương trình $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó phương trình có các nghiệm là:

$x = \frac{\pi }{3}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ và $x =\pi - \frac{\pi }{3}+k2\pi = \frac{2\pi }{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

b) $sin(x+30^{o}) = sin(x+60^{o})$

$\Leftrightarrow x + 30^{o} = x + 60^{o} + k.360^{o}, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x + 30^{o} = 180^{o} - x - 60^{o} + k.360^{o} , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow   x = 45^{o} + k.180^{o} , k\in \mathbb{Z}$

3. Phương trình cosx = m

Khám phá 3: Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có $cosx = \frac{-1}{2}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hướng dẫn trả lời

Điểm biểu diễn góc lượng giác x có $cosx = \frac{-1}{2}$ là M và N

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M là: $\frac{2\pi }{3} + k2\pi $

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn N là: $\frac{4\pi }{3} + k2\pi $

Thực hành 3: Giải các phương trình sau:

a) $cosx = -3$

b) $cosx = cos15^{o}$

c) $cos(x+\frac{\pi }{12}) = cos\frac{3\pi }{12}$

Hướng dẫn trả lời

a) Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-1\leq cosx\leq 1$

Vậy phương trình $cosx = -3$ vô nghiệm

b) $cosx = cos15^{o}$ 

$\Leftrightarrow x = 15^{o}+k360^{o}, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = -15^{o}+k360^{o}, k\in \mathbb{Z}$

c) $cos(x+\frac{\pi }{12}) = cos\frac{3\pi }{12}$

$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{12} = \frac{3\pi }{12} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x+\frac{\pi }{12} = \frac{-3\pi }{12} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \frac{-\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

4. Phương trình tanx = m

Khám phá 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có toạ độ là $(1;\sqrt{3})$ (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác x có $tanx = \sqrt{3}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Những điểm biểu diễn góc x trên đường tròn lượng giác có $tanx = \sqrt{3}$ là M và N

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M và N là: $\frac{\pi }{3} + k\pi $

Thực hành 4: Giải các phương trình sau: 

a) $tanx = 0$

b) $tan(30^{o}-3x) =tan75^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $tanx = 0$

$\Leftrightarrow x = k\pi,  k\in \mathbb{Z}$

b) $tan(30^{o}-3x) =tan75^{o}$

$\Leftrightarrow 30^{o}-3x = 75^{o} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = -15^{o} - k\frac{\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

5. Phương trình cotx - m

Khám phá 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có toạ độ là (-1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = -1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Những điểm biểu diễn góc lượng giác x có $cotx = -1$ là M và N

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M và N là $\frac{3\pi }{4} + k\pi $

Thực hành 5: Giải các phương trình sau:

a) $cotx = 1$

b) $cot(3x + 30^{o}) = cos75^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cotx = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} +k\pi, k\in \mathbb{Z} $

b) $cot(3x + 30^{o}) = cos75^{o}$

$\Leftrightarrow 3x + 30^{o} = 75^{o} + k\pi, k\in \mathbb{Z} $

$\Leftrightarrow x = 15^{o} + k\frac{\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Thực hành 6: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) $cosx = 0,4$

b) $tanx = \sqrt{3}$

Kết quả ghi theo đơn vị radian và làm tròn đến hàng phần trăm

Hướng dẫn trả lời:

a) $cosx = 0,4$

$\Leftrightarrow x = 1,16 +k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x =- 1,16 +k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

b) $tanx = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} +k\pi, k\in \mathbb{Z}$

Vận dụng: Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là $x = 17cos5\pi t$ (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng $\left | x \right |$ vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $\left | x \right | = 10 $

$\Leftrightarrow \left | 17cos5\pi t\right | = 10 $

$\Leftrightarrow 17cos5\pi t = 10$ hoặc $17cos5\pi t = -10$

• Với $17cos5\pi t = 10$

$\Leftrightarrow 5\pi t = 0,94 + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $5\pi t = -0,94 + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = 0,06 + 0,4k, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t = -0,06 + 0,4k, k\in \mathbb{Z}$

• Với $17cos5\pi t = -10$

$\Leftrightarrow 5\pi t = 2,2 + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $5\pi t = -2,2 + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = 0,14 + 0,4k, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t = -0,14 + 0,4k, k\in \mathbb{Z}$

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $sin2x = \frac{1}{2}$

b) $sin\left (x-\frac{\pi }{7}  \right ) = sin\frac{2\pi }{7}$

c) $sin4x - cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) = 0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $2x = \pi - \frac{\pi }{6} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{12} +k\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \frac{5\pi }{12} +k\pi , k\in \mathbb{Z}$

b) $sin\left (x-\frac{\pi }{7}  \right ) = sin\frac{2\pi }{7}$

$\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{7} = \frac{2\pi }{7} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x-\frac{\pi }{7} = \pi - \frac{2\pi }{7} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x= \frac{3\pi }{7} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x= \frac{6\pi }{7} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

c) $sin4x - cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow sin4x = sin\left ( \frac{\pi }{2}-x-\frac{\pi }{6} \right )$

$\Leftrightarrow sin4x = sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$

$\Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{3}-x + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $4x = \pi - \frac{\pi }{3}+x + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{15} + k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \frac{2\pi }{9}+x + k\frac{2\pi}{3} ,k\in \mathbb{Z}$

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cos\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $cos4x =\frac{5\pi }{12}$

c) $cos^{2}x = 1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x+\frac{\pi }{3} = -\frac{\pi }{6} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x= \frac{-\pi }{6} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = -\frac{\pi }{2} +k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

b) $cos4x =\frac{5\pi }{12}$

$\Leftrightarrow 4x = \frac{5\pi }{12} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $4x = -\frac{5\pi }{12} + k2\pi , k\in \mathbb{Z} $

$\Leftrightarrow x = \frac{5\pi }{48} + k\frac{\pi}{2} , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = -\frac{5\pi }{48} + k\frac{\pi}{2} , k\in \mathbb{Z} $

c) $cos^{2}x = 1$

$\Leftrightarrow cosx = 1$ hoặc $cosx = -1$

$\Leftrightarrow x = k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $x = \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = k\pi , k\in \mathbb{Z}$

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) $tanx = tan55^{o}$

b) $tan\left ( 2x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $tanx = tan55^{o}$

$\Leftrightarrow x = 55^{o}+k.180^{o}, k\in \mathbb{Z}$

b) $tan\left ( 2x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4}  = k\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{-\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}$

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cot\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = -1$

b) $cot3x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cot\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = -1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}  = \frac{3\pi }{4} + k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b) $cot3x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow 3x = \frac{2\pi }{3} + k\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{2\pi }{9} + k\frac{\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}$

Bài 5: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Hướng dẫn trả lời:

Đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau tại điểm x thoả mãn $cosx = sinx$

Vì $sin^{2}x+cos^{2}x = 1$ nên cosx và sinx không thể đồng thời = 0 

Chia cả 2 vế phương trình trên cho cosx ta được

$tanx = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4 }+ k\pi , k\in \mathbb{Z}$

Bài 6: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s = 10sin\left ( 10t + \frac{\pi }{2} \right )$. Vào các thời điểm nào thì $s = -5\sqrt{3}$ cm?

Hướng dẫn trả lời:

Khi: $s = -5\sqrt{3}$ thì $10sin\left ( 10t + \frac{\pi }{2} \right ) = -5\sqrt{3}$

 $\Leftrightarrow sin\left ( 10t + \frac{\pi }{2} \right ) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow 10t + \frac{\pi }{2}  = \frac{-\pi }{3}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $10t + \frac{\pi }{2}  = \pi -\frac{-\pi }{3}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{-1}{12}+\frac{1}{5}k , k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t = \frac{1}{12}+\frac{1}{5}k , k\in \mathbb{Z} $

Bài 7: Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $\frac{\pi }{10}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

Hướng dẫn trả lời:

a) $y_{M} = tan\frac{\pi }{10}t$

b) Khi $y_{N} = -1$ ta có $tan\frac{\pi }{10}t = -1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{10}t = \frac{3\pi }{4} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{15 }{2} + 10k, k\in \mathbb{Z}$