Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 4: Khoảng cách trong không gian

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó

Hướng dẫn trả lời:

Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm $(d_{1})$, khoảng cách giữa 2 đường thẳng $(d_{2})$, khoảng cách từ 1 điểm đếm 1 đường thẳng $(d_{3}, d_{4})$ khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng $(d_{5})$

Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Khám phá 1: a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M, a), dùng êke để tìm điểm H trên a sao cho $MH \perp a$ (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH

b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng day dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1b).

Hướng dẫn trả lời:

a) MH = 1,5

b) MH = 2

Thực hành 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cho biết SA = a và SA vuông góc với (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến (SAD)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC

Hướng dẫn trả lời:

a) $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB$

$AB \perp SA, AB \perp AD$ nên $AB \perp (SAD)$

Vậy khoảng cách từ B đến (SAD) là AB = a

b) Kẻ $AK \perp SC$

Ta có: $AC = a\sqrt{2}$

$SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AC$

Tam giác SAC vuông tại A có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{SA^{2}}$

Suy ra: $AK= \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vận dụng 1: Một quạt trần có bề dày của thân quạt là 2 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ đỉnh quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.

Hướng dẫn trả lời:

Cán quạt dài: 3,6 - 2,5 - 0,2 = 0,9 (m)

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Khám phá 2: a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn AH và BK

Hướng dẫn trả lời:

a) AH = BK

b) AH = BK

Thực hành 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (ACD') và (A'C'B)

b) Giữa đường thẳng AB và (A'B'C'D')

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $AC \perp (BDD'B') nên $AC \perp B'D$;  $CD' \perp (ADC'B')$ nên $CD' \perp B'D$

Suy ra: $B'D \perp (ACD')$

Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ACD', BA'C'

Ta có: $AC = CD' = AD' = a\sqrt{2}$ nên tam giác ACD' là tam giác đều.

Tứ giác D.ACD' là hình chóp đều. Suy ra: $DG \perp (ACD)$.

Mà $B'D \perp (ACD')$ nên $G \in B'D$

Tương tự ta có $BG' \perp (A'CB); G' \in B'D$

$GG' \perp (ACD'), GG' \perp (A'C'B)$ nên d((ACD'),(A'C'B)) = GG'

Tam giác ACD' đều có cạnh bằng $a\sqrt{2}$, G là trọng tâm nên $AG = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$DG = \sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Tương tự có $B'G' = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Mà $B'D = \sqrt{BD^{2}+BB'^{2}}=a\sqrt{3}$

Vậy $GG' = B'D - B'G' - DG =  \frac{a\sqrt{3}}{3}$

b)  AB // A'B' nên AB//(A'B'C'D')

d(AB, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khám phá 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với (Q) và cắt b tại điểm J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J, vuông góc với a và cắt a tại điểm I.

Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích

Hướng dẫn trả lời:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa a song song với (Q).

(P) cắt hai mặt phẳng song song tại a và a' nên a//a'

Trong mặt phẳng (P), $IJ\perp a, a//a'$ nên $IJ \perp a'$

Ta có: $(P) \perp (Q)$, (P) cắt (Q) tại a', $IJ \perp a'$ nên $IJ \perp (P)$

Suy ra $IJ \perp b$

Thực hành 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) OA và BC

b) OB và AC

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $OI \perp BC$

Mà $OA \perp OB; OA \perp OC$ nên $OA \perp (OBC)$. Suy ra: $OA \perp OI$

$d(OA,BC) = OI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Kẻ $OK \perp AC$

Mà $OB \perp OA, OB \perp OC$ nên $OB \perp (OAC)$. Suy ra $OB \perp OK$

$d(OB,AC) = OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vận dụng 2: Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.

Hướng dẫn trả lời:

d(a,b) = 3,2 m

4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp

Khám phá 4: Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.

Hướng dẫn trả lời:

Số lập phương đơn vị là: 8.4.3 = 96

Khám phá 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Hướng dẫn trả lời:

Ba tứ diện A'.ABC, C.A'B'B, C.A'B'C' có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Thực hành 4: Tính thế tích của một bồn chứa dang hình chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích hình chóp cụt là:

$V =\frac{1}{3}.3.(5^{2}+\sqrt{5^{2}.2^{2}}+2^{2}) =13 (m^{3})$

Vận dụng 3: Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích cái nêm là $V = \frac{1}{2}.7.24.22 = 1848 (cm^{3})$

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, $\widehat{ABC} = 60^{o}, SO\perp (ABCD), SO = a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ $OI \perp CD; OH \perp SI$

$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp CD$

Ta có: $CD \perp SO, CD \perp OI$ nên $CD \perp (SOI)$. Suy ra $CD \perp OH$

Mà $OH \perp SI$ nên $OH \perp (SCD)$

Bài 2: Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

a) Chứng minh rằng $AB\perp CD$

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi I là trung điểm AB.

Tam giác ABC cân tại C có I là trung điểm nên $CI \perp AB$

Tam giác ABD cân tại D có I là trung điểm nên $DI \perp AB$

Suy ra $AB \perp (CID)$

Nên $AB \perp CD$

b) Kẻ $IH \perp CD$

Mà $AB \perp (CID)$ nên $AB \perp IH$

Vậy đoạn vuông góc chung giữa AB và CD là IH

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}$. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh $AB \perp (SIJ)$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Hướng dẫn trả lời:

a) S.ABCD là hình chóp đều, O là tâm của đáy nên $SO \perp (ABCD)$

Nên $SO \perp AB$

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $IJ \perp AB$

Suy ra: $AB \perp (SIJ)$

b) Kẻ $IH \perp SJ$

Vì $AB \perp (SIJ)$ nên  $AB \perp IH$

Ta có: $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp CD$. Mà $CD \perp IJ$ nên $CD \perp SIJ)$

Suy ra: $CD \perp IH$. Mà $IH \perp SJ$ nên $IH \perp (SCD)$ và $IH \perp CD$

Ta có: $SJ =\sqrt{SC^{2}-CJ^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

$SO = \sqrt{SC^{2}-OC^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$S_{SIJ} = \frac{1}{2}.IH.SJ=\frac{1}{2}.SO.IJ$. Suy ra: $IH=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

$d(AB,SC) = IH = \frac{a\sqrt{42}}{7}$

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa hai mrụặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng $60^{o}$.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều nên $AM \perp BC$

Mà $BC \perp AA'$ nên $BC\perp (AA'M)$. Suy ra $BC \perp A'M$

Mặt khác $(ABC)\cap (A'BC) = BC$

Nên $((ABC);(A'BC)) = \widehat{A'MA} = 60^{o}$

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AA'=AM.tan60^{o} = \frac{3a}{2}$

b) $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$V_{ABC.A'B'C'} = \frac{3a}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{8}$

Bài 5: Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

d(a,b) = 3,5 + 0,8 = 4,3

Bài 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và $AC=a\sqrt{3}$

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA'

b) Tính thể tích của khối hộp

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình thoi ABCD có AB = BC = a

Mà $AC = a\sqrt{3}$. Nên $\widehat{ABC} = 120^{o}$. Suy ra $\widehat{ABD} = 60^{o}$

Do đó, AD = a

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên $AO \perp BD; AO =\frac{a}{2}$

Vì $AA' \perp (ABCD)$ nên $AA' \perp AO$

$d(BD,AA') = AO = \frac{a}{2}$

b) $S_{ABCD} = \frac{1}{2}.AC.BD = \frac{1}{2}.a\sqrt{3}.a = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = a^{3}\sqrt{3}$

Bài 7: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

b) Tính thể tích của khối chóp

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $BD = a\sqrt{2}, OB =\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO =\sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Kẻ $OH\perp SB$. 

Vì S.ABCD là hình chóp đều có O là tâm của đáy nên $SO \perp (ABCD)$. Suy ra $SO\perp BD$

Tam giác SOB vuông tại O có OH là đường cao nên $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}$. Suy ra $OH = \frac{a}{2}$

Ta có $AC \perp BD; AC \perp SO$ nên $AC \perp (SBD)$

Suy ra $AC\perp OH$

Mà $OH \perp SB$

Ta có: $d(AC,SB) = OH = \frac{a}{2}$

b)$V_{SABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.a^{2}=\frac{a^{3}}{6}$

Bài 8: Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}$, OO' = a

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích đáy lớn là: $S = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$

Diện tích đáy nhỏ là: $S' = \frac{3\sqrt{3}(\frac{a}{2})^{2}}{2}= \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}$

Thể tích chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}.a.(\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}+\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}).(\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8})}+\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{8}) = \frac{7\sqrt{3}a^{3}}{8}$