Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới Bài tập cuối chương IX

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố "Tích số chấm xuất hiện là số lẻ". Biến cố nào sau đây xung khắc với biến cố A?

A. "Xuất hiện 2 mặt có cùng số chấm"

B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ"

C. "Xuất hiện ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ"

D. "Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau"

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Câu 2: Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết P(A) = 0,4 và P(B) = 0,5. Xác suất của biến cố $A \cup B$ là:

A. 0,9

B. 0,7

C. 0,5

D. 0,2

Hướng dẫn trả lời:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7$

Đáp án: B

Câu 3: Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là:

A. $\frac{5}{36}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{7}{36}$

D. $\frac{2}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 5" là: 4

Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 10" là: 3

Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là: 3 + 4 = 7

Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là: $\frac{7}{36}$

Đáp án: C

Câu 4: Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ một hộp chứa 5 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. Xác suất của biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu" là:

A. $\frac{1}{9}$

B. $\frac{2}{9}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{5}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

A là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu xanh", $P(A) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}}$

B là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu đỏ", $P(B) = \frac{C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}}$

$A \cup B$ là biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu". A và B xung khắc nên:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{9}$

Đáp án: C

Câu 5: Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Xác suất để khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng $R\sqrt{2}$ là:

A. $\frac{2}{7}$

B. $\frac{3}{7}$

C. $\frac{4}{7}$

D. $\frac{5}{56}$

Hướng dẫn trả lời:

Để khoảng cách giữa hai điểm đó là $R\sqrt{2}$ thì giữa hai đỉnh đó có 1 đỉnh

Xác suất của biến cố đó là: $\frac{8}{C_{8}^{2}}=\frac{2}{7}$

Đáp án: A

CÂU HỎI TỰ LUẬN

Câu 6: Cho A và B là hai biến cố thoả mãn P(A) = 0,5; P(B) = 0,7 và $P(A \cup B) =0,8$

a) Tính xác suất của các biến cố AB, $\bar{A}B$ và $\bar{A}\bar{B}$

b) Hai biến cố A và B có độc lập hay không

Hướng dẫn trả lời:

a) $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$. Suy ra P(AB) = 0,4

$P(\bar{A}B) = P(B) - P(AB) = 0,7 - 0,4 = 0,3$

$P(\bar{A}\bar{B}) = 1-P(A \cup B) = 0,2$

b) Vì $P(AB) \neq P(A).P(B)$ nên A và B không độc lập

Câu 7: Vệ tinh A lần lượt truyền một tin đến vệ tính B cho đến khi vệ tinh B phản hồi là đã nhận được. Biết khả năng vệ tinh B phản hồi đã nhận được tin ở mỗi lần A gửi là độc lập với nhau và xác suất phản hồi mỗi lần đều là 0,4. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất vệ tinh A phải gửi tin không quá 3 lần

Hướng dẫn trả lời:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy xác suất vệ tính A phải gửi tin không quá 3 lần là: 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784

Bài 8: Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 6"

Hướng dẫn trả lời:

A là biến cố "Có 1 số chấm chia hết cho 2, 1 số chấm chia hết cho 3, và không xuất hiện 6 chấm", $P(A) = \frac{4}{36} =\frac{1}{9} $

B là biến cố "Có ít nhất 1 trong 2 con xúc xắc xuất hiện chấm 6", $P(B) =\frac{11}{36}$

$A\cup B$ là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc chia hết cho 6".

A và B xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{12}$

Bài 9: Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu"

B: "Trong 4 quả bóng lấy ra có đủ cả 3 màu"

Hướng dẫn trả lời:

a) $A_{1}$ là biến cố cả 4 quả bóng lấy ra đều có màu xanh; $P(A_{1}) = \frac{C_{5}^{4}}{C_{15}^{4}}$

$A_{2}$ là biến cố cả 4 quả bóng lấy ra đều có màu đỏ; $P(A_{2}) = \frac{C_{6}^{4}}{C_{15}^{4}}$

$A_{3}$ là biến cố cả 4 quả  bóng lấy ra đều có màu vàng; $P(A_{3}) = \frac{C_{4}^{4}}{C_{15}^{4}}$

Khi đó, $A = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$

Mà $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ là các biến cố xung khắc nên

$P(A) = P(A_{1}) + P(A_{2}) +P(A_{3}) = \frac{1}{65}$

b) $B_{1}$ là biến cố có 2 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; $P(B_{1}) = \frac{C_{5}^{2}.C_{6}^{1}.C_{4}^{1}}{C_{15}^{4}}$

$B_{2}$ là biến cố có 1 quả bóng xanh, 2 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; $P(B_{2}) = \frac{C_{5}^{1}.C_{6}^{2}.C_{4}^{1}}{C_{15}^{4}}$

$B_{3}$ là biến cố có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 2 quả bóng vàng; $P(B_{1}) = \frac{C_{5}^{1}.C_{6}^{1}.C_{4}^{2}}{C_{15}^{4}}$

Khi đó, $B = B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3}$

Mà $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ là các biến cố xung khắc nên

$P(B) = P(B_{1}) + P(B_{2}) +P(B_{3}) = \frac{48}{91}$

Bài 10: Cường, Trọng và 6 bạn nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng"

Hướng dẫn trả lời:

A là biến cố "Cường đứng đầu hàng", $P(A) =\frac{6!.C_{2}^{1}}{7!} = \frac{2}{7}$

B là biến cố "Trọng đứng đầu hàng", $P(B) =\frac{6!.C_{2}^{1}}{7!} = \frac{2}{7}$

AB là biến cố "Trọng và Cường cùng đứng đầu hàng" $P(AB) = \frac{2!.5!}{7!} = \frac{1}{21}$

$A \cup B$ là biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng"

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) -P(A).P(B) = \frac{11}{21}$

Bài 11: Chọn ngẫu nhiên 3 trong số 24 đỉnh của một đa giác đều 24 cạnh. Tính xác suất của biến cố "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông"

Hướng dẫn trả lời:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 cạnh.

Có 12 đường kính được nối từ 2 đỉnh của đa giác.

Với mỗi đường kính, ta có 22 cách chọn đỉnh góc vuông. Nên số tam giác vuông được nối từ 3 đỉnh của đa giác là: 12.22 = 264

Với mỗi đường kính, ta có 11 cách chọn cạnh đáy của tam giác cân. Nên số tam giác cân được nối từ 3 đỉnh của đa giác là: 11.12 = 132

A là biến cố "3 đỉnh được chọn là tam giác vuông" , $P(A) = \frac{264}{C_{24}^{3}}$

B là biến cố "3 đỉnh được chọn là tam giác cân", $P(B) =\frac{132}{C_{24}^{3}}$

Vì A và B là các biến cố độc lập nên P(AB) = P(A).P(B)

$A \cup B$ là biến cố "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông".

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{99}{529}$

Bài 12: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Tính xác suất của các biến cố:

A: "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7"

B: "Số được chọn có tổng các chữ số là số chắn"

Hướng dẫn trả lời:

Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 2 là: 450

Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 là: 128

$P(A) = \frac{450}{900} + \frac{128}{900} - \frac{450}{900}.\frac{128}{900}  = \frac{257}{450}$

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đều là số chẵn là: 100

Số các số tự nhiên có 1 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là: 100

$P(B) = \frac{100}{900} + \frac{100}{900} = \frac{2}{9}$

Bài 13: Cho hai giống cá kiếm mắt đen thuần chủng và mắt đỏ thuần chủng giao phối với nhau được F1 toàn cá kiếm mắt đen. Lại cho cả F1 giao phối với nhau được một đàn cá con mới. Chọn ra ngẫu nhiên 2 con trong đàn cá con mới. Ước lượng xác suất biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen trong 2 con cá đó"

Hướng dẫn trả lời:

Trong đàn cá con mới, xác suất để 1 con cá mắt đen là $\frac{3}{4}$, xác suất để 1 con cá mắt đỏ là $\frac{1}{4}$

A là biến cố "Có đúng 1 con cá mắt đen trong 2 con cá được chọn"; $P(A) = \frac{1}{4}.\frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

B là biến cố "Có 2 con cá mắt đen được chọn"; $P(A) = \frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

$A\cup B$ là biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen trong 2 con cá" 

Do A và B là 2 biến cố xung khắc nên

$P(A \cup B) =P(A) +P(B) = \frac{3}{4}$