Giải chi tiết Toán 11 chân trời mới bài 1: Phép tính luỹ thừa

MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Trong khoa học, người ta dùng luỹ thừa để ghi các số, có thể rất lớn hoặc rất bé. Chẳng hạn, bảng dưới đây cho một số ví dụ về cách ghi độ dài

Cách ghi như vậy có tiện ích gì? Từ các luỹ thừa quen thuộc ở ba dòng đầu, hãy dự đoạn quy tắc viết luỹ thừa ở ba dòng cuối.

Hướng dẫn trả lời:

Cách ghi như vậy giúp con số không chứa quá dài, chứa quá nhiều số 0 dẫn đến việc có thể viết thừa hoặc thiếu số 0

Quy tắc viết luỹ thừa ở ba dòng cuối, số chữ số sau dấu phẩy là n thì số đó được viết là $10^{-n}$

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

Khám phá 1: Cho biết dãy số $(a_{n})$ được xác định theo một quy luật nào đó và bốn số hạng đầu tiên của nó được cho như bảng dưới đây:

a) Tìm quy luật của dãy số và tìm ba số hạng tiếp theo của nó

b) Nếu viết các số hạng của dãy dưới dạng luỹ thừa, thì bốn số hạng đầu tiên có thể viết thành $2^{4}; 2^{3}; 2^{2}; 2^{1}$. Dự đoán cách viết dưới dạng luỹ thừa của ba số hạng tiếp theo của dãy số và giải thích

Hướng dẫn trả lời:

a) Quy luật của dãy số là kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng số liền trước chia cho 2

Ta có: $a_{5} = 1; a_{6} = \frac{1}{2}; a_{7} = \frac{1}{4}$

b) Ta có $a_{5} = 2^{0}; a_{6} = 2^{-1}; a_{7} = 2^{-2}$

Do mỗi số hạng bằng số liền trước chia cho 2 nên khi viết dưới dạng luỹ thừa có cơ số là 2, số mũ của mỗi số hạng kém số mũ của số hạng liền trước 1 đơn vị.

Thực hành 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $(-5)^{-1}$

b) $2^{0}.(\frac{1}{2})^{-5}$

c) $6^{-2}.(\frac{1}{3})^{-3}:2^{-2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(-5)^{-1} = \frac{1}{(-5)^{1}}=\frac{-1}{5}$

b) $2^{0}.(\frac{1}{2})^{-5} = 1.\frac{1}{\left (\frac{1}{2}  \right )^{5}}=\frac{1}{\frac{1}{32}}=32$

c) $6^{-2}.(\frac{1}{3})^{-3}:2^{-2} = \frac{1}{6^{2}}.\frac{1}{\left ( \frac{1}{3} \right )^{3}}:\frac{1}{2^{2}}= \frac{1}{36}.\frac{1}{\frac{1}{27}}:\frac{1}{4} = \frac{1}{36}.27.4=3$

Vận dụng 1: Trong khoa học, người ta thường phải ghi các số rất lớn hoặc rất bé. Để tránh phải viết và đếm quá nhiều chữ số 0, người ta quy ước cách ghi các số dưới dạng $A.10^{m}$, trong đó $1 \leq A \leq 10$ và m là số nguyên

Khi một số được ghi dưới dạng này, ta nói nó được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học. Chẳng hạn khoảng cách 149 600 000 km từ Trái Đất đến Mặt Trời được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học là $1,496.10^{8}$ km

Ghi các đại lượng sau dưới dạng kí hiệu khoa học

a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là 299 790 000 m/s

b) Khối lượng nguyên tử oxygen là 0,000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg

Hướng dẫn trả lời:

a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là $2,9979. 10^{8}$ m/s

b) Khối lượng nguyên tử oxygen là $2,657.10^{-26}$ kg

2. Căn bậc n

Khám phá 2: Một thùng gỗ hình lập phương có độ dài cạnh a (dm). Kí hiệu S và V lần lượt là diện tích một mặt và thể tích thùng gỗ này.

a) Tính S và V khi a = 1 dm và khi a = 3dm

b) a bằng bao nhiêu để S = 25 $dm^{2}$

c) a bằng bao nhiêu để V = 64 $dm^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi a = 1 dm thì $S = 1^{2}=1$ $dm^{2}$; $V = 1^{3} = 1$ $dm^{3}$

Khi a = 3 dm thì $S = 3^{2}=9 dm^{2}$; $V = 3^{3} = 27 dm^{3}$

b) Để $S = 25$ $dm^{2}$ thì $a = \sqrt{25}=5$ $dm$

c) Để $V = 64$ $dm^{3}$ thì $a = \sqrt[3]{64}$ $dm$

Thực hành 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

b) $(\sqrt[6]{8})^{2}$

c) $\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{27}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}} = \left | \frac{1}{2} \right |= \frac{1}{2}$

b) $(\sqrt[6]{8})^{2} = \sqrt[6]{8^{2}}=\sqrt[6]{2^{6}}=|2|=2$

c) $\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3.27}=\sqrt[4]{3^{4}}=|3|=3$

3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Khám phá 3: 

a) Hai biểu thức $\sqrt[6]{2^{4}}$ và $\sqrt[3]{2^{2}}$ có giá trị bằng nhau không? Giải thích

b) Chỉ ra ít nhất hai biểu thức khác nhau có giá trị bằng $\sqrt[3]{2^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\sqrt[6]{2^{4}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{2^{4}}} = \sqrt[3]{2^{2}}$

b) Các biểu thức khác có giá trị bằng $\sqrt[3]{2^{2}}$ là $\sqrt[9]{2^{6}}$; $\sqrt[12]{2^{8}}$

Thực hành 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $25^{\frac{1}{2}}$

b) $(\frac{36}{49})^{-\frac{1}{2}}$

c) $100^{1,5}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}= 5$

b) $(\frac{36}{49})^{-\frac{1}{2}} =  \sqrt{(\frac{36}{49})^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{36}{49}}}=\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}$

c) $100^{1,5}=100^{\frac{3}{2}}=\sqrt{100^{3}}=\sqrt{1000000}=1000$

Thực hành 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa có số mũ hữu tỉ:

a) $\sqrt{2^{3}}$

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{27}}$

c) $(\sqrt[5]{a})^{4}(a>0)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\sqrt{2^{3}} = 2^{\frac{3}{2}}$

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{27}} = \left ( \frac{1}{27} \right )^{\frac{1}{5}}$

c) $(\sqrt[5]{a})^{4}(a>0) = a^{\frac{4}{5}}$

4. Luỹ thừa với sô mũ thực

Khám phá 4: Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn $\sqrt{2}=1,414213562...$

Cũng có thể coi $\sqrt{2}$ là giới hạn của dãy số hữu tỉ $(r_{n}$:

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...

Từ đây, ta lập dãy số các luỹ thừa $(3^{r_{n}})$.

a) Bảng dưới đây cho biết những số hạng đầu tiên của dãy số $(3^{r_{n}})$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ chín). Sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính số hàng thứ 6 và thứ 7 của dãy số này.

b) Nêu nhận xét về dãy số $(3^{r_{n}})$

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy dãy số $(3^{r_{n}})$, khi $ n \to +\infty$ thì $3^{r_{n}} \to 3^{\sqrt{2}}$

Thực hành 5: Sử dụng máy tính cầm tay, tính các luỹ thừa sau đây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ sáu):

a) $1,2^{1,5}$

b) $10^{\sqrt{3}}$

c) $(0,5)^{-\frac{2}{3}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $1,2^{1,5} = 1,314534$

b) $10^{\sqrt{3}} = 53,957374$

c) $(0,5)^{-\frac{2}{3}} = 2,924018$

5. Tính chất của phép tính luỹ thừa

Khám phá 5: 

a) Sử dụng máy tính cầm tay, hoàn thành bảng sau vào vở (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm)

b) Từ kết quả ở câu a, có dự đoán gì về tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực?

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy: $a^{\alpha}.a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}$

$a^{\alpha}:a^{\beta} = a^{\alpha-\beta}$

Thực hành 6: Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (a>0)

a) $a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{1}{2}}:a^{-\frac{2}{5}}$

b) $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a}}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{1}{2}}:a^{-\frac{2}{5}} = a^{\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{-2}{5}}=a^{\frac{3}{2}}$

b) $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a}}} =\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a^{\frac{1}{2}}.\sqrt{a^{1}}}$

$= \sqrt{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}} = \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

Thực hành 7: Rút gọn biểu thức $(x^{\sqrt{2}}.y)^{\sqrt{2}}.(9y^{-\sqrt{2}})$ (với x, y>0)

Hướng dẫn trả lời:

$(x^{\sqrt{2}}.y)^{\sqrt{2}}.(9y^{-\sqrt{2}})$

$= x^{\sqrt{2}.\sqrt{2}}.y^{\sqrt{2}}.9.y^{-\sqrt{2}}$

$=9x^{2}.y^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}=9x^{2}$

Vận dụng 2: Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng I thay đổi theo độ sâu theo công thức $I = I_{0}.10^{-0,3d}$, trong đó d là độ sâu (tính bằng mét) so với mặt hộ, $I_{0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

a) Tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp bao nhiêu lần $I_{0}$?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sau 2m gấp bao nhiêu lần sao với tại độ sâu 10 m? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại d = 1; ta có $I = I_{0}. 10^{-0,3.1}=I_{0}. 10^{-0,3}$. 

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sau 1 m gấp $10^{-0,3}$ lần $I_{0}$

b) Tại d = 2; ta có $I = I_{0}. 10^{-0,3.2}$. 

Tại d = 10; ta có $I = I_{0}. 10^{-0,3.10}$

Cường độ ánh sáng tại độ sau 2m gấp $10^{-0,3.2}:10^{-0,3.10} = 10^{-0,3.2-(-0,3.10)}=10^{0,3.8} = 251,19$ lần sao với tại độ sâu 10 m

BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\left ( \frac{3}{4} \right )^{-2}.3^{2}.12^{0}$

b) $\left ( \frac{1}{12} \right )^{-1}.\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}$

c) $(2^{-2}.5^{2})^{-2}:(5.5^{-5})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left ( \frac{3}{4} \right )^{-2}.3^{2}.12^{0}=\frac{1}{\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}.9.1 = \frac{1}{\frac{9}{16}}.9 = \frac{16}{9}.9=16$

b) $\left ( \frac{1}{12} \right )^{-1}.\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2} = \frac{1}{\frac{1}{12}}.\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=12.\frac{1}{\frac{4}{9}}=12.\frac{9}{4}=27$

c) $(2^{-2}.5^{2})^{-2}:(5.5^{-5})=\left ( \frac{1}{2^{2}}.5^{2} \right )^{-2}:\left ( 5.\frac{1}{5^{5}} \right )=\left ( \frac{5^{2}}{4} \right )^{-2}:\frac{1}{5^{4}}$

$= \frac{1}{\left ( \frac{5^{2}}{4} \right )^{2}}.5^{4}=\frac{1}{\frac{5^{4}}{16}}.5^{4}=\frac{16}{5^{4}}.5^{4}=16$

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (a>0)

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^{3}.a^{\frac{2}{5}}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}=3.3^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{4}}.3^{\frac{1}{8}}=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=3^{\frac{15}{8}}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}} = \sqrt{a.\sqrt{a.a^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a.\sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a.\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}}$

$= \sqrt{a.a^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}}=\sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = a^{\frac{7}{8}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^{3}.a^{\frac{2}{5}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{2}{5}}}= \frac{a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}}}=\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a}=a^{\frac{13}{12}-1}=a^{\frac{1}{12}}$

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau (a>0; b>0)

a) $a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{7}{6}}$

b) $a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{1}{4}}:a^{\frac{1}{6}}$

c) $\left ( \frac{3}{2}a^{-\frac{3}{2}}.b^{-\frac{1}{2}} \right )\left ( -\frac{1}{3}a^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{3}{2}} \right )$

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{7}{6}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{7}{6}} = a^{2}$

b) $a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{1}{4}}:a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{4}}$

c) $\left ( \frac{3}{2}a^{-\frac{3}{2}}.b^{-\frac{1}{2}} \right )\left ( -\frac{1}{3}a^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{3}{2}} \right )= \frac{3}{2}.\left ( -\frac{1}{3} \right ).a^{-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}.b^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}a^{-1}b$

Bài 4: Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng 1 $m^{3}$ và dày khoảng $1,94. 10^{-7}$ m. Đồng xu 5000 đồng dày $2,2.10^{-3}$ m. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm

Hướng dẫn trả lời:

Để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng, ta cần chồng số lá vàng là:

$2,2.10^{-3} : (1,94. 10^{-7}) = 11300$

Bài 5: Tại một xí nghiệp, công thức $P(t) = 500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{3}}$ được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian t (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.

a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm, sau 2 năm 3 tháng

b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?

Hướng dẫn trả lời:

a) Sau 2 năm: t = 2. Ta có: $P(2) = 500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{2}{3}} = 315$ (triệu đồng)

Sau 2 năm 3 tháng: t = 2,25. Ta có: $P(2,25) = 500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{2,25}{3}} = 297$ (triệu đồng)

b) Sau 1 năm sử dụng: $P(1) = 500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{3}} = 397$

Vậy sau 1 năm sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng $397 : 500.100% = 79,4%$ so với ban đầu

Bài 6: Biết rằng $10^{\alpha} = 2; 10^{\beta} = 5$

Tính $10^{\alpha+\beta}; 10^{2\alpha}; 1000^{\beta}; 0,01^{2\alpha}$

Hướng dẫn trả lời:

$10^{\alpha+\beta} = 10^{\alpha}.10^{\beta} = 2.5=10$

$10^{\alpha-\beta} = 10^{\alpha}:10^{\beta} = 2:5=\frac{2}{5}$

$10^{2\alpha} = (10^{\alpha})^{2} = 2^{2} = 4$

$10^{-2\alpha} = \frac{1}{10^{2\alpha}}= \frac{1}{(10^{\alpha})^{2}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

$1000^{\beta} = (10^{3})^{\beta} = (10^{\beta})^{3} = 5^{3} = 125$

$0,01^{2\alpha} = (10^{-2})^{2\alpha}=(10^{\alpha})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

Bài 7: Biết rằng $4^{\alpha} = \frac{1}{5}$. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $16^{\alpha} + 16^{-\alpha}$

b) $(2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $16^{\alpha} + 16^{-\alpha} = 16^{\alpha} + \frac{1}{16^{\alpha}}=(4^{2})^{\alpha} +  \frac{1}{(4^{2})^{\alpha}} =(4^{\alpha})^{2}+\frac{1}{(4^{\alpha})^{2}}$

$=  \left ( \frac{1}{5} \right )^{2}+\frac{1}{\left ( \frac{1}{5} \right )^{2}} = \frac{1}{25}+\frac{1}{\frac{1}{25}}=\frac{1}{25}+25=\frac{626}{25}$

b) $(2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^{2}  = (2^{\alpha})^{2}+2.2^{\alpha}.2^{-\alpha} + (2^{-\alpha})^{2} = (2^{2})^{\alpha} + 2^{1+\alpha-\alpha}+(2^{2})^{-\alpha}$

$= 4^{\alpha}+2+4^{-\alpha} = 4^{\alpha}+2+\frac{1}{4^{\alpha}} = \frac{1}{5}+2+\frac{1}{\frac{1}{5}}=\frac{36}{5}$