Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 2: Giới hạn của hàm số

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Xét hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

a) Nhận xét: Giá trị của hàm số càng gần đến 4 khi x càng gần đến 1.

b) Khi điểm H càng gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P càng gần đến điểm (0; 4) trên trục tung.

Bài 2: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) Giả sử ($x_{n}$) là dãy số bất kì, thoả mãn $x_{n}\rightarrow 3$ khi $n\rightarrow +\infty$. 

$\lim{(2x_{n}^{2}-x_{n})}=2(\lim{x_{n}})^{2}-\lim{x_{n}}=2.3^{2}-3=15$  

Vậy $\lim_{x\rightarrow 3}{(2x^{2}-x)}=15$

b) Giả sử ($x_{n}$) là dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n}\rightarrow -1$ khi $n\rightarrow +\infty$. 

$\lim{\frac{x_{n}^{2}+2x_{n}+1}{x_{n}+1}}$

= $\lim{\frac{(x_{n}+1)^{2}}{x_{n}+1}}$

= $\lim{(x_{n}+1)}$

= $\lim{x_{n}}+1$ = 0

Vậy $\lim_{x\rightarrow -1}{\frac{x^{2}+2x+1}{x+1}}$

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho hai hàm số y...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim{[f(x_{n})+g(x_{n})]}=\lim{(2x_{n}+\frac{x_{n}}{x_{n}+1})}$

= $2\lim{x_{n}}+\lim{(\frac{x_{n}}{x_{n}+1})}=\frac{5}{2}$

b) Vì $\lim{[f(x_{n})+g(x_{n})]}=\frac{5}{2}$ nên

$\lim_{x \rightarrow 1}{[f(x_{n})+g(x_{n})]}=\frac{5}{2}$

$\lim{f(x_{n})}=\lim{(2x_{n})}=2\lim{(x_{n})}=2$

=> f(x)=2  

$\lim{g(x_{n})}=\lim{\frac{x_{n}}{x_{n}+1}}=\frac{\lim{x_{n}}}{\lim{x_{n}+1}}=\frac{1}{2}$ 

=> $\lim_{x\rightarrow 1}{g(x)}=\frac{1}{2}$

=> $\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}+\lim_{x\rightarrow 1}{g(x)}=\frac{5}{2}$

=> $\lim{[f(x_{n})+g(x_{n})]}=\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}+\lim_{x\rightarrow 1}{g(x)}$

Bài 2: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}{ x^{2}+5x-2}=\lim_{x\rightarrow -2}{ x^{2}+5\lim_{x\rightarrow -2}{ x}-\lim_{x\rightarrow -2}}{2} = (-2)^{2}+5.(-2)-2 = -8$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{x^{2}-1}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow 1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow 1}{x}+1$ = 2

3. GIỚI HẠN MỘT PHÍA

Bài 1: Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $x_{n} \in (1;2,5)$ thì $f(x_{n})=7$ => $\lim{f(x_{n})}= \lim{7}=7$

b) $x_{n}' \in (0;1)$ thì $f(x_{n}')=6$ => $\lim{f(x_{n}')}= \lim{6}=6$

c) Ta thấy, $\lim{x_{n}}= \lim{x_{n}'}=1$ nhưng $\lim{f(x_{n})} \neq \lim{f(x_{n}')}$ 

Bài 2: Cho hàm số f(x)...

Hướng dẫn trả lời:

Với x<-1, f(x)=1-2x nên $\lim_{x\rightarrow -1^{-}}{ f(x)}= \lim_{x\rightarrow -1^{-}}{ 1-2x}=3$

Với x>-1, $f(x)=x^{2}+2$ nên $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}{ f(x)}= \lim_{x\rightarrow -1^{+}}{  x^{2}+2}=3$

Do $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}{ f(x)}=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}{ f(x)}=3$ nên

$\lim_{x\rightarrow -1}{ f(x)}=3$

4. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Bài 1: Cho hàm số...

Hướng dẫn trả lời:

a) Nhận xét: f(x) dần về 0 khi x dần tới $+\infty$.

b) Nhận xét: f(x) dần về 0 khi x dần tới $-\infty$.

Bài 2: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1-3x^{2}}{x^{2}+2x}} $

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\frac{1}{x^{2}}-3}{1+\frac{2}{x}}}$

 = $\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1}{x^{2}}}-3}{1+\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{2}{x}}}$ = -3

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2}{x+1}} $

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}}$

 = $\frac{\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2}{x}}}{1+\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{1}{x}}}$ = 0

Bài 3: Một cái hồ đang chứa 200m3 nước mặn với nồng...

Hướng dẫn trả lời:

a) Khối lượng muối có trong hồ là: 200.10=2000 (kg).

Sau t phút khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: 200+2t ($m^{3}$).

Nồng độ muối tại thời điểm t phút khi bơm là C(t)=$\frac{2000}{200+2t}$($kg/m^{3}$)

b) $\lim_{t\rightarrow +\infty}{C(t)}$

= $\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{2000}{200+2t}} $

= $\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{\frac{2000}{t}}{\frac{200}{t}+}}$

= $\frac{2000.\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{1}{t}}}{200.\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{1}{t}+2}} = 0$

Ý nghĩa: Khi t càng lớn thì nồng độ muối càng dần về 0, tức là đến một lúc nào đó nồng độ muối trong hồ không đáng kể, nước trong hồ gần như là nước ngọt. 

5. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Cho hàm số f(x)...

Hướng dẫn trả lời:

a) f(x) có giá trị lớn dần khi x dần tới 1 phía bên phải.

b) Giá trị của f(x) trở nên rất bé khi x dần tới 1 phía bên trái.

Bài 2: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{2x}=6$ và $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{\frac{1}{x-3}}=-\infty$

=> $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{\frac{2x}{x-3}}=\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{(2x.\frac{1}{x-3})}=-\infty$
b) Ta có : $\lim_{x\rightarrow +\infty}{(3-\frac{1}{x})}=3$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty}{x}= +\infty$

=> $\lim_{x\rightarrow +\infty}{(3x-1)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}{[x(3-\frac{1}{x})]}= +\infty$

Bài 3: Xét tình huống ở mở đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H...

Hướng dẫn trả lời:

Ta có S(x) = OH.OK =$x.\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{S(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x}}= +\infty$

Vậy S(x) trở nên lớn hơn khi $x\rightarrow 0^{+}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}{S(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1}{x}}= 0$

Vậy S(x) trở nên lớn hơn khi $x\rightarrow +\infty$

6. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow -2}{(x^{2}-7x+4)}=(-2)^{2}-7.(-2)+4=22$
b) $\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-3}{x^{2}-9}}$

= $\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}}$

= $\lim_{x\rightarrow 3}{\frac{1}{x+3}}$

= $\frac{1}{6}$
c) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}}$

= $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{9-x-8}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}}$

= $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{-(x-1)}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}}$

= $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}}$

= $\frac{-1}{6}$

Bài 2: Cho hàm số f(x)...

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)}=1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)}= -1$

Vì $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}{f(x)} \neq \lim_{x\rightarrow 1^{-}}{f(x)}$ nên không tồn tại $\lim_{x\rightarrow 1}{f(x)}$

Bài 3: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4x+3}{2x}}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{x(4+\frac{3}{x})}{2x}}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{4+\frac{3}{x}}{2}}$

= 2
b) $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2}{3x+1}}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{1}{x}}.\lim_{x\rightarrow -\infty}{\frac{2}{3+\frac{1}{x}}}$

= 0

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})}}$

= $\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}}$

= 1

Bài 4: Tìm các giới hạn sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) Do 1 > 0 và x + 1 > 0, $x\rightarrow -1^{+}$

=> $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}{\frac{1}{x+1}}=+\infty$
b) $\lim_{x\rightarrow -\infty}{(1-x^{2})}$

= $\lim_{x\rightarrow -\infty}{x^2.(\frac{1}{x^2}-1)}$

= $-\infty$

c) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{\frac{x}{3-x}}$

= $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{(-x)}.\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{\frac{1}{x-3}}$

= $+\infty$

Bài 5: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển...

Hướng dẫn trả lời:

a) Lượng nước biển bơm vào hồ sau t phút là: 15t (lít).

Khối lượng muối có trong hồ sau t phút là: 30.15t (gam).

Sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: 6000+15 (lít). 

=> $C(t)=\frac{30.15t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) $\lim_{t\rightarrow +\infty}{C(t)}$

= $\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{30t}{400+t}}$

= $\lim_{t\rightarrow +\infty}{\frac{30t}{\frac{400}{t}+1}}$

= 30 (gam/lít).

Bài 6: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{d\rightarrow f^{+}}{g(d)}$

= $\lim_{d\rightarrow f^{+}}{\frac{df}{d-f}}$

= $\lim_{d\rightarrow f^{+}}{(df.\frac{1}{d-f})}$

= $+\infty$

Ý nghĩa: Khi vật dần đến tiêu điểm từ phía xa thấu kính đến gần thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính dần đến $+\infty$.

b) $\lim_{d\rightarrow +\infty}{g(d)}$

= $\lim_{d\rightarrow +\infty}{\frac{df}{d-f}}$

= $\lim_{d\rightarrow +\infty}{(\frac{f}{1-\frac{f}{d}})}$

= f

Ý nghĩa: Khi khoảng cách từ vật đến thấu kính càng xa thì ảnh tiến dần đến tiêu điểm của ảnh (F').