Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST Bài tập cuối chương I

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 7: Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Đáp án:

Quạt quay được trong 3 giây là: $3.\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$ (vòng).

Vì quạt quay được 1 góc là $\frac{9}{4} . 2\pi=\frac{9\pi}{2}$ (rad)

Bài 8: Cho cosα...

Đáp án:

a) $sin\alpha =-\sqrt{1-cos^{2}\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

b) $sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha =-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

c) $cos(\alpha+\frac{\pi}{3}=cos\alpha cos\frac{\pi}{3}-sin\alpha sin\frac{\pi}{3}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

Bài 9: Chứng minh đẳng thức lượng giác...

Đáp án:

a) $sin(\alpha + \beta) sin(\alpha - \beta)$

= $(sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)(sin\alpha cos\beta – cos\alpha sin\beta)$

= $sin^{2}\alpha cos^{2}\beta – cos^{2}\alpha sin^{2}\beta$

= $sin^{2}\alpha(1-sin^{2}\beta)-(1-sin^{2}\alpha)sin^{2}\beta$

= $sin^{2}\alpha-sin^{2}\beta$ (đpcm)

b) $\alpha-(\alpha-\frac{\pi}{2}$

= $cos^{4}\alpha-sin^{4}\alpha=(cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha$

= $cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha=cos2\alpha$ (đpcm)

Bài 10: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương...

Đáp án:

$sin(x+\frac{\pi}{6} -sin2x=0$

<=> $sin(x+\frac{\pi}{6}= sin2x$

<=>  $x+\frac{\pi}{6}=2x+k2\pi, k \in Z$

Hoặc $x+\frac{\pi}{6}=\pi-2x+k2\pi, k \in Z$ 

 <=>  $x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$   

Hoặc $x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, k \in Z$ 

Với $x=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$, ta có $x \in$ {$…;-\frac{11}{6}; \frac{\pi}{6}; \frac{13\pi}{6};….$}

Với $x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}, k \in Z$, ta có $x \in$ {$…;-\frac{7\pi}{18}; \frac{5\pi}{18}; \frac{17\pi}{18};….$}

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $\frac{\pi}{6}$.

Bài 11: Giải các phương trình sau...

Đáp án:

a) $sin2x+cos3x=0$

<=>  $cos3x = -sin2x$

<=>  $cos3x = cos(2x+\frac{\pi}{2})$

 <=> $3x=2x+\frac{\pi}{2}+k2\pi, k \in Z$   

Hoặc $3x=-2x-\frac{\pi}{2}+k2\pi, k \in Z$ 

 <=> $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi, k \in Z$     

Hoặc $x=-\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5}, k \in Z$ 

b) $sinx cosx cosx=\frac{\sqrt{2}}{4}$

<=> $sin2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

 <=> $2x=\frac{\pi}{4}+k2\pi, k \in Z$ 

Hoặc $2x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi, k \in Z$ 

 <=> $x=\frac{\pi}{8}+k\pi, k \in Z$

Hoặc $x=\frac{3\pi}{8}+k\pi, k \in Z$ 

c) $sinx +sin2x=0$

<=> $sin2x = -sinx$

<=> $sin2x = sin(x+\pi)$

 <=> $2x=x+\pi+k2\pi, k \in Z$

Hoặc  $2x=-x+k2\pi, k \in Z$

 <=> $x=\pi+k2\pi, k \in Z$  

Hoặc $x=k\frac{2\pi}{3}, k \in Z$ 

Bài 12: Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển...

Đáp án:

a) Tại t=2, độ sâu của nước là:

$h(2)=0,8cos(0,5.2)+4\approx 4,43$ (m).

b) $h(t)\geq 3,6$ <=> $0,8 cos 0,5t+4 \geq 3,6$ <=> $cos 0,5t \geq -\frac{1}{2}$

Vì $0\leq t\leq 12$ nên $0\leq 0,5t\leq 6$. Đặt x=0,5t và xét đồ thị hàm số y=cosx trên đoạn [0;6].

Ta thấy $cosx \geq -\frac{1}{2}$ 

<=> $0\leq x \leq \frac{2\pi}{3}$ hoặc $\frac{4\pi}{3}x\leq 6$ 

=>$0\leq t\leq \frac{4\pi}{3}$ hoặc $\frac{8\pi}{3}t\leq 12$

<=> $0\leq t\leq 4,19$ hoặc $8,38\leq t\leq 12$

Vậy có thể hạ thuỷ tàu sau t giờ tính từ lúc thuỷ triều lên với t thuộc [0; 4,19] hoặc [8,38; 12] (giờ).

Bài 13: Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn...

Đáp án:

a) Vận tốc đạt giá trị lớn nhất là 3 cm/s <=> $sin1,5t+\frac{\pi}{3}=-1$

=> $t=-\frac{5\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in Z$

Vì $t\geq 0$ nên $t=\frac{7\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$

Vậy vào các thời điểm $t=\frac{7\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$ thì vận tốc của con lắc đạt giá trị lớn nhất.

b) v=1,5

<=> $-3sin(1,5 t+\frac{\pi}{3})=1,5$

<=> $sin(1,5 t+\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$

 <=> $1,5t+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$ 

Hoặc $1,5t+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+k2\pi, k \in Z$

 <=> $t=-\frac{\pi}{3}+k\frac{4\pi}{3}, k \in Z$ 

Hoặc $t=\frac{5\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in Z$

Vì $t\geq 0$ nên $t=\pi+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$ hoặc $t=\frac{5\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$

Vậy vào các thời điểm $t=\pi+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$ hoặc $t=\frac{5\pi}{9}+k\frac{4\pi}{3}, k \in N$ thì vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.

Bài 14: Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE...

Đáp án:

a) Xét △ABE vuông tại B, có

 $x_{E}=5tan\theta_{z}=5tan\frac{\pi}{12}(t-12)$

b) Vì 6<t<18 nên $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{12}(t-12)<\frac{\pi}{2}$

Bóng cây phủ qua vị trí tường rào N khi và chỉ khi $x_{g}\leq -4$

Ta có $x_{R}\leq -4$

<=> $5tan\frac{\pi}{12}(t-12)\leq -4$

<=> $tan\frac{\pi}{12}(t-12)\leq -\frac{4}{5}$

Đặt $u=\frac{\pi}{12}(t-12)$ xét đồ thì hàm số y=tan u  trên $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$

Ta thấy $tan u\leq -\frac{4\pi}{5}$

<=> $\frac{\pi}{2}<u\leq -0,7$

Hay $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{12}(t-12)\leq -0,7$.

=> $t \in (6;9,3]$

Vậy bóng cây phủ qua vị trí tường rào N vào thời điểm từ 6 giờ dến khoảng 9,3 giờ (9 giờ 18 phút)