Hướng dẫn giải nhanh Toán 11 CTST bài 3: Các công thức lượng giác

1. CÔNG THỨC CỘNG

Bài 1: Quan sát Hình 1

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\vec{OM}.\vec{ON}=|\vec{OM}|.|\vec{ON}|.cos\widehat{MON}$ (định nghĩa của tích vô hướng)

=$|\vec{OM}|.|\vec{ON}|coscos(\alpha -\beta)  =coscos(\alpha -\beta)$

Vì M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các góc lượng giác và $\alpha$  và $\beta$  nên ta có toạ độ là $M(cos⁡\beta;sin⁡\beta)$ và $N(cos\alpha⁡;sin\alpha⁡)$.

=> $\vec{OM}.\vec{ON}=cos\beta ⁡cos\alpha⁡+sin⁡\beta sin⁡\alpha$

Vậy $cos⁡(\alpha -\beta)=cos\alpha⁡ cos⁡\beta+sin\alpha⁡ sin\beta⁡$.

=> $cos⁡(\alpha +\beta)=cos⁡[\alpha-(-\beta)]=cos⁡\alpha cos\beta⁡-sin\alpha⁡ sin\beta$⁡.

Bài 2: Tính $sinsin\frac{\pi}{12}$

Hướng dẫn trả lời:

$sin(\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4}-cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan\frac{\pi}{12}=tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=\frac{tan\frac{\pi}{3}-tan\frac{\pi}{4}}{1+tan\frac{\pi}{3}tan\frac{\pi}{4}}=2-\sqrt{3}$

2. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI

Bài 1: Hãy áp dụng công thức cộng...

Hướng dẫn trả lời:

$coscos2\alpha =coscos(\alpha+\alpha) =cos cos\alpha   -sin sin\alpha sinsin\alpha$

=$cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha $

=$cos^{2}\alpha -(1-cos^{2}\alpha )$

=$2cos^{2}\alpha -1$

$sin⁡2\alpha=sin⁡(\alpha+\alpha)=sin⁡\alpha cos\alpha⁡+cos\alpha ⁡sin\alpha⁡=2sin⁡\alpha cos⁡\alpha$.

$tan⁡2\alpha=tan⁡(\alpha+\alpha)=\frac{tan\alpha +tan\alpha }{1-tan\alpha tan\alpha }=\frac{2tan\alpha }{1-tan^{2}\alpha }$⁡.

Bài 2: Tính $cos\frac{\pi}{8}$

Hướng dẫn trả lời:

$cos^{2}⁡\frac{\pi}{8}=\frac{cos\frac{\pi}{4}+1}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Vì $0<\frac{\pi}{8}<2$ nên $cos⁡\frac{\pi}{8}>0$ => $cos⁡\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

$tan^{2}⁡\frac{\pi}{8}=\frac{1}{cos^{2}\frac{\pi}{8}}-1=\frac{4}{2+\sqrt{2}}-1=3-2\sqrt{2}$

Vì $0<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}$ nên $tan \frac{\pi}{8}>0$ => $tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1: Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu...

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos⁡(\alpha -\beta)+cos⁡(\alpha +\beta)$

=$(cos⁡\alpha cos\beta⁡+sin⁡\alpha sin\beta⁡)+(cos\alpha ⁡cos\beta⁡-sin⁡\alpha sin\beta⁡)$

=$2cos cos\alpha coscos\beta$  

$cos⁡(\alpha -\beta)-cos⁡(\alpha +\beta)$

=$(cos⁡\alpha cos⁡\beta+sin\alpha ⁡sin⁡\beta)-(cos⁡\alpha cos\beta⁡-sin⁡\alpha sin⁡\beta)$

=$2sin\alpha ⁡sin⁡\beta$

b) $sin(\alpha -\beta) +sin(\alpha +\beta)$

=$(sin⁡\alpha cos\beta⁡-cos⁡\alpha sin⁡\beta)+(sin⁡\alpha cos⁡\beta+cos\alpha ⁡sin⁡\beta)$

=$2sin\alpha coscos\beta$

$sin(\alpha -\beta) -sin(\alpha+\beta)$

=$(sin⁡\alpha cos⁡\beta-cos\alpha ⁡sin⁡\beta)-(sin⁡\alpha cos⁡\beta+cos\alpha ⁡sin⁡\beta)$ 

=$-2cos⁡\alpha sin\beta⁡$.

Bài 2: Tính giá trị của...

Hướng dẫn trả lời:

+) $sinsin\frac{\pi}{24}coscos\frac{5\pi}{24}$

=$\frac{1}{2}[sinsin(\frac{\pi}{24}-\frac{5\pi}{24})+sin(\frac{\pi}{24}+\frac{5\pi}{24})]$

=$\frac{1}{2}[sinsin(-\frac{\pi}{6}) +sinsin\frac{\pi}{4}]$

=$\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}-1}{4}$

+) $sinsin\frac{7\pi}{8}sinsin\frac{5\pi}{8}$

=$\frac{1}{2}[coscos*\frac{7\pi}{8}-\frac{5\pi}{8}) -cos(\frac{7\pi}{8}+\frac{5\pi}{8})$

=$\frac{1}{2}(coscos\frac{\pi}{4} -coscos\frac{3\pi}{2})$

=$\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{4}$

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1: Áp dụng công thức biến đổi...

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

+) $cos⁡\frac{\alpha +\beta}{2} cos⁡\frac{\alpha -\beta}{2}$

=$\frac{1}{2}[cos(\frac{\alpha +\beta}{2}-\frac{\alpha -\beta}{2})+cos(\frac{\alpha +\beta}{2}+\frac{\alpha -\beta}{2})]$

=$\frac{1}{2}(cos\beta⁡+cos\alpha⁡)$.

+) $sin⁡\frac{\alpha +\beta}{2}sin\frac{\alpha -\beta}{2}$

=$\frac{1}{2}[cos(\frac{\alpha +\beta}{2}-\frac{\alpha -\beta}{2})-cos(\frac{\alpha +\beta}{2}+\frac{\alpha -\beta}{2})]$

=$\frac{1}{2}(cos\beta⁡-cos\alpha⁡)$.

+) $sin⁡\frac{\alpha +\beta}{2} cos⁡\frac{\alpha -\beta}{2}$

=$\frac{1}{2}[sinsin(\frac{\alpha +\beta}{2}-\frac{\alpha -\beta}{2})+sinsin(\frac{\alpha +\beta}{2}+\frac{\alpha -\beta}{2})]$

=$\frac{1}{2}(sin\beta⁡+sin\alpha⁡)$.

Bài 2: Tính $coscos\frac{7\pi}{12} +coscos\frac{\pi}{12}$

Hướng dẫn trả lời:

$coscos\frac{7\pi}{12} +coscos\frac{\pi}{12}$

=$2coscos\frac{7\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2}coscos\frac{7\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2}$

=$2.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 3: Trong bài toán khởi động...

Hướng dẫn trả lời:

Đặt $\alpha =\widehat{BOB'}$. Ta có $sin\alpha=\frac{BB'}{OB}=\frac{27}{60}=\frac{9}{20}$

Vì $0<\alpha<90^{\circ}$ nên $cos⁡\alpha>0$ => $cos⁡\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{319}}{20}$

Khoảng cách từ C đến AH là: 

$h_{C}=60.sin⁡2\alpha=60.2sin⁡\alpha cos\alpha⁡=\frac{27\sqrt{319}}{10}\approx 48,2$ (cm).

Vậy khoảng cách từ C đến AH là khoảng 48,2cm

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị...

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin\frac{5\pi}{12}=sin⁡(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=sin⁡\frac{\pi}{4}cos⁡\frac{\pi}{6}+cos\frac{\pi}{4}sin⁡\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$cos⁡\frac{5\pi}{12}=cos(⁡\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=cos⁡\frac{\pi}{4}cos⁡\frac{\pi}{6}-sin⁡\frac{\pi}{4}sin⁡\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$tan⁡\frac{5\pi}{12}=\frac{sin\frac{5\pi}{12}}{cos\frac{5\pi}{12}}=2+\sqrt{3}$

$cot\frac{5\pi}{12}=\frac{1}{tan\frac{5\pi}{12}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

b) $sin⁡(-555^{\circ})=sin⁡(165^{\circ}-2.360^{\circ})=sin⁡165^{\circ}=sin(⁡45^{\circ}+120^{\circ})$

=$sin⁡45^{\circ}cos⁡120^{\circ}+cos⁡45^{\circ}sin⁡120^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$cos(⁡-555^{\circ})=cos⁡(45^{\circ}+120^{\circ})=cos⁡45^{\circ}cos⁡120^{\circ}-sin⁡45^{\circ}sin⁡120^{\circ}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$tan(-555^{\circ}) =\frac{sin(-645^{\circ})}{cos(-645^{\circ})}=-2+\sqrt{3}$

$cot⁡(-555^{\circ})=\frac{1}{tan(-555^{\circ}}=-2-\sqrt{3}$

Bài 2: Tính $sin(\alpha+\frac{\pi}{6})...$

Hướng dẫn trả lời:

$cos⁡\alpha=-\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=-\frac{12}{13} (\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2})$

$sin(⁡\alpha+\frac{\pi}{6})=sin\alpha ⁡cos⁡\frac{\pi}{6}+cos⁡\alpha sin⁡\frac{\pi}{6}=-\frac{5\sqrt{3}+12}{26}$

$cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=cos⁡\frac{\pi}{4}cos\alpha ⁡+sin\frac{\pi}{4}sin⁡\alpha =-\frac{17\sqrt{2}}{26}$

Bài 3: Tính các giá trị lượng...

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ nên $cos\alpha⁡>0$ => $cos\alpha⁡=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$cos⁡2\alpha=2cos^{2}\alpha -1=\frac{1}{3}$

$tan2\alpha =\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}=2\sqrt{2}$

$cot⁡2\alpha=\frac{1}{tan2\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

b) Ta có : $\pi<\alpha<2\pi$ => $\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\pi$ nên $cos\frac{\alpha}{2}<0$

Do đó $cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{1-sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

$sin\alpha =2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}$

$cos⁡\alpha=1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{8}$

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =\frac{3\sqrt{7}}{32}$

$cos⁡2\alpha=2cos^{2}\alpha -1=-\frac{31}{32}$

$tan2\alpha =\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}=-\frac{3\sqrt{7}}{31}$

$cot⁡2\alpha=\frac{1}{tan2\alpha}=-\frac{31\sqrt{7}}{21}$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $\sqrt{2}sin(\alpha⁡+\frac{\pi}{4})-cos⁡\alpha=\sqrt{2}(sin⁡\alpha cos⁡\frac{\pi}{4}+cos⁡\alpha sin⁡\frac{\pi}{4})-cos⁡\alpha$

=$\sqrt{2}(sin⁡⁡\alpha\frac{\sqrt{2}}{2}+cos\alpha⁡\frac{\sqrt{2}}{2})-cos⁡\alpha$

=$(sin\alpha⁡+cos\alpha⁡)-cos\alpha⁡=sin⁡\alpha$.  

b) $(cos\alpha⁡+sin⁡\alpha)^{2}-sin⁡2\alpha$

= $\alpha+2cos\alpha sin\alpha+ \alpha-2sin\alpha cos\alpha$

=$\alpha +\alpha =1$. 

Bài 5: Tính các giá trị lượng giác của góc α...

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos⁡2\alpha=1-sin^{2}\alpha⁡ = \frac{2}{5}$

=>$sin^{2}\alpha⁡=\frac{1-cos2\alpha}{2}=\frac{1-\frac{2}{5}}{2}=\frac{3}{10}$

Vì $-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$ nên $sin\alpha⁡<0$. Do đó $sin⁡\alpha=-\frac{\sqrt{30}}{10}$

Vì $-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$ nên $cos\alpha⁡>0$. Do đó $cos\alpha⁡=\sqrt{1-sin^{2}\alpha=\frac{\sqrt{70}}{10}$

$tan\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-\frac{\sqrt{21}}{7}$

$cot⁡\alpha=\frac{1}{tan\alpha}=-\frac{\sqrt{21}}{3}$

b) Vì $\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$ nên $\pi<2\alpha<\frac{3\pi}{2}$. Do đó $cos⁡2\alpha<0$.

$cos⁡2\alpha=-\sqrt{1-sin^{2}2\alpha}=-\frac{\sqrt{65}}{9}$

Vì $\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$ nên sin⁡>0. Do đó $sin⁡\alpha=\sqrt{\frac{1-cos2\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}$

Vì $\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$ nên cos⁡<0. Do đó $cos⁡\alpha=-\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=-\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$

$tan\alpha =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{9-\sqrt{65}}}$

$cot\alpha⁡=\frac{1}{tan\alpha}⁡=-\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{9+\sqrt{65}}}$

Bài 6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC...

Hướng dẫn trả lời:

Trong △ABC, ta có :

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

=> $\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})$

<=> $sin\widehat{A}=sin(180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C}))$

=$sin⁡(\widehat{B}+\widehat{C})=sin⁡\widehat{B}cos⁡\widehat{C}+sin⁡\widehat{C}cos⁡\widehat{B}$.

Bài 7: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B...

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $\alpha=\widehat{BAC}$. Vì △ABC vuông tại B nên $tan\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$

=> $tan⁡\widehat{BAD}=tan⁡(\alpha+30^{\circ})=\frac{tan\alpha+tan30^{\circ}}{1-tan\alpha tan30^{\circ}}=\frac{48+25\sqrt{3}}{39}$

Ta có $BD=AB.tan⁡\widehat{BAD}=4.\frac{48+25\sqrt{3}}{39}=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}$

=> $CD=BD-BC=\frac{192+100\sqrt{3}}{39}-3=\frac{75+100\sqrt{3}}{39}$

Bài 8: Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ...

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì độ dài HM xem như không đổi và khi $\alpha=\frac{\pi}{2}$ thì HM=IO, nên ta xem như HM luôn bằng IO.

Xét △AHI vuông tại H có: $IH = cos\alpha . IA = 8cos\alpha$.

=> $ x_{M}= OM = IH = 8cos\alpha$

b) Sau chuyển động được 1 phút, IA quay được một góc thì sau 2 phút chuyển động, IA quay được một góc $2\beta$.

Sau 1 phút chuyển động thì $ x_{M}\approx 8cos\beta⁡=-3$ => $cos\beta⁡=-\frac{3}{8}$.

Sau 2 phút chuyển động thì:

$ x_{M}\approx 8cos2\beta=8(2cos^{2}\beta-1)=-\frac{23}{4}=-5,75$ (cm) 

Bài 9: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P...

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có điểm M nằm ở góc phần tư thứ IV.

=> $sin\alpha=-\frac{60-30}{31}=-\frac{30}{31}$

$cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{61}}{31}$

b) $sin⁡(OA,ON)=sin(\alpha⁡-\frac{2\pi}{3})=sin\alpha⁡⁡cos⁡\frac{2\pi}{3}-cos\alpha⁡ ⁡sin⁡\frac{2\pi}{3}$

=$(-\frac{30}{31}).(-\frac{1}{2})-\frac{\sqrt{61}}{31}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{30-\sqrt{183}}{62}$

Từ N đến mặt đất cách: 60+31sin⁡(OA,ON)≈68,24 (m).

$sin⁡(OA,OP)=sin⁡(\alpha⁡+\frac{2\pi}{3})=sin⁡\alpha⁡cos⁡\frac{2\pi}{3}+cos\alpha⁡ ⁡sin\frac{2\pi}{3}$

=$(-\frac{30}{31}).(-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{61}}{31}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{30+\sqrt{183}}{62}$

Từ P đến mặt đất cách: 60+31sin⁡(OA,OP)≈81,76 (m)