Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài 6 Phép vị tự

1. PHÉP VỊ TỰ

Hoạt động 1: Trong hai bức tranh ở Hình 1.41, các hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có các cạnh tương ứng song song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.

a) Giải thích vì sao các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Hãy tính các tỉ số $\frac{OA}{OA'},\frac{OB}{OB'},\frac{OC}{OC'},\frac{OD}{OD'}$

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua O hay không?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: ABB'A' là hình thang (AB // A'B'), suy ra AA' cắt BB' tại O.

Chứng minh tương tự ta có BB', CC', DD' giao nhau tại O.

Suy ra điều cần phải chứng minh.

b)  $\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=\frac{OD}{OD'}=\frac{1}{2}$

c) Tất cả các điểm của hai bức tranh đều tương ứng với nhau và cùng đi qua điểm O.

Vận dụng 1: Quan sát hai bức tranh em bé ôm chú gà ở phần mở đầu bài học và chỉ ra phép vị tự biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn và phép vị tự biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

Hướng dẫn trả lời:

Phép vị tự $V_{(O;1)}$ biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn.

Phép vị tự $V_{(O;\frac{1}{2})}$ biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ. 

2. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2: Cho phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', N thành điểm N'.

a) Biểu diễn các vectơ $\vec{OM'},\vec{ON'}$ tương ứng theo các vectơ $\vec{OM},\vec{ON}$

b) Giải thích vì sao $\vec{M'N'}=k.\vec{MN}$

Hướng dẫn trả lời:

a) MN // M'N' nên $\frac{OM'}{OM}=\frac{ON'}{ON}=k$ (k≠0)

Suy ra: $\vec{OM'}=k\vec{OM}, \vec{ON'}=k\vec{ON}$ (các vectơ cùng phương).

b) MN // M'N' nên $\frac{M'N'}{MN}=\frac{OM'}{OM}=\frac{ON'}{ON}=k$

Suy ra: $\vec{M'N'}=k.\vec{MN}$

Luyện tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.

c) Viết phương trình của (C').

Hướng dẫn trả lời:

a) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 5.

b) Vì tâm I'(x; y) của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên $\vec{AI'}=2\vec{AI}$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}x-3 = 2(1-3)\\y-5=2(2-5) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow I'(-1,-1)$

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-1; -1), bán kính R = 2.5 = 10.

c) Phương trình đường tròn (C'): $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=25$

Vận dụng 2: Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó. 

Hướng dẫn trả lời:

Hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự vì ở hình b) không có hình cái cây và cánh rừng phía trên góc trái giống hình a). 

BÀI TẬP

1.20. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, CD = 2AB. Gọi O là giao của hai cạnh bên và I là giao của hai đường chéo. Tìm ảnh của đoạn thẳng AB qua các phép vị tự $V_{(o,1)}$, $V_{I,-2)}$

Hướng dẫn trả lời:

- AB // CD nên $\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$

Hay: $\vec{OD}=2\vec{OA},\vec{OC}=2\vec{OB}$

Do đó: DC là ảnh của AB qua phép vị tự $V_{(O,1)}$

- AB // CD nên $\frac{IA}{IC}=\frac{IB}{ID}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$

Hay: $\vec{IC}=-2\vec{IA},\vec{ID}=-2\vec{IB}$

Do đó: CD là ảnh của AB qua phép vị tự $V_{(I,-2)}$

1.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 6). Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự $V_{(O,3)}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I' là tâm đường tròn đường kính AB.

Do đó: I' là trung điểm AB nên $\vec{OA}=-\vec{OB}$

Suy ra: Tọa độ điểm I' là (2; 4).

Ta có: $AB=\sqrt{(3-1)^{2}+(6-2)^{2}}=2\sqrt{5}$

Suy ra: Bán kính của đường tròn đường kính AB là $\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự $V_{(O,3)}$ nên $\vec{OI}=3\vec{OI'}$

Suy ra: Tọa độ I là (6; 12)

Vậy đường tròn (C) có tâm I(6; 12), bán kính $R=\sqrt{5}.3=3\sqrt{5}$

1.22. Ở Hình 1.48, A', B', C', D', E' tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng IA, IB, IC, ID, IE. Hỏi năm điểm đó có thuộc một đường tròn hay không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: A', B', C', D', E' lần lượt là ảnh của A, B, C, D, E qua phép vị tự $V_{(I,\frac{1}{2})}$

Mà A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra: A', B', C', D', E' cũng thuộc một đường tròn

1.23. Quan sát ba hình được tô màu ở Hình 1.49, hình nhỏ nào là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự?

Hướng dẫn trả lời:

Hình nhỏ có chung một đỉnh với hình lớn là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.