Giải sách bài tập Toán 8 chân trời bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải bài tập 1 trang 16 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $3x^{2} + 6xy$;

b) $5(y – 3) – x(3 – y)$;

c) $2x^{3} – 6x^{2}$;

d) $x^{4}y^{2} + xy^{3}$;

e) $xy – 2xyz + x^{2}y$;

g) $(x + y)^{3} – x(x + y)^{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $3x^{2} + 6xy = 3x.x + 3x.2y = 3x(x + 2y)$.

b) $5(y – 3) – x(3 – y)$

= $5(y – 3) + x(y ‒ 3)$

= $(y ‒ 3)(5 + x).$

c) $2x^{3} – 6x{2} = 2x^{2}.x‒ 2x^{2}.3 = 2x^{2}(x ‒ 3)$.

d) $x^{4}y^{2} + xy^{3} = xy^{2}.x^{3} + xy^{2}.y = xy^{2}(x^{3} + y)$.

e) $xy – 2xyz + x^{2}y$

= $xy ‒ xy.2z + xy.x$

= $xy(1 ‒ 2z + x)$.

g) $(x + y)^{3} – x(x + y)^{2}$

= $(x + y)^{2}.(x + y) – x(x + y)^{2}$

= $(x + y)^{2 }(x + y ‒ x)$

= $y(x + y)^{2}$.

Giải bài tập 2 trang 16 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $100 – x^{2}$;

b) $4x^{2} – y^{2}$;

c) $(x+y)^{2} - \frac{1}{4}y^{2}$

d) $(x – y)^{2} –(y – z)^{2}$;

e) $x^{2} – (1 + 2x)^{2};$

g) $x4 – 16.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $100 – x^{2} = 10^{2}– x^{2} = (10 ‒ x)(10 + x)$.

b) $4x^{2} – y^{2} = (2x)^{2}‒ y^{2} = (2x ‒ y)(2x + y)$.

c) $(x + y)^{2} -\frac{1}{4}y^{2}$

= $(x + y)^{2} - (\frac{1}{2}y)^{2}$

= $( x + y - \frac{1}{2}y) (x + y + \frac{1}{2}y)$

= $(x + \frac{1}{2}y)(x+ \frac{3}{y})$

d) $(x – y)^{2} –(y – z)^{2}$

= $(x ‒ y + y ‒ z)(x ‒ y ‒ y + z)$

= $(x ‒ z)(x ‒ 2y + z).$

e) $x^{2} – (1 + 2x)^{2}$

= $(x + 1 + 2x)(x ‒ 1 ‒ 2x)$

= $(3x + 1)(‒x ‒ 1)$.

g) $x^{4} – 16 = (x^{2})^{2}‒ 4^{2}$

= $(x^{2} ‒ 4)(x^{2} + 4)$

= $(x^{2} ‒ 2^{2})(x^{2} + 4)$

= $(x + 2)(x ‒ 2)(x^{2} + 4)$.

Giải bài tập 3 trang 16 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $a^{2} + 12a + 36$;

b)$ –9 + 6a – a^{2}$;

c)$ 2a^{2} + 8b^{2} – 8ab$;

d) $16a^{2} + 8ab^{2} + b^{4}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{2} + 12a + 36$

= $a^{2} + 2.a.6 + 6^{2}$

= $(a + 6){2}$.

b) $ –9 + 6a – a^{2}$

= $‒(a^{2} ‒ 6a + 9)$

= $‒(a^{2} ‒ 2.3.a + 3^{2})$

= $‒(a ‒ 3)^{2}$.

c) $ 2a^{2} + 8b^{2} – 8ab$

= $2(a^{2} + 4b^{2} ‒ 4ab)$

= $2[a^{2} ‒ 2.a.2b + (2b)^{2}]$

= $2(a ‒ 2b)^{2}.$

d) $16a^{2} + 8ab^{2} + b^{4}$

= $(4a)^{2} + 2.4a.b^{2} + (b^{2})^{2}$

= $(4a + b^{2})^{2}$.

Giải bài tập 4 trang 17 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)$ x^{3} – 1 000$;

b) $8x^{3} + (x – y)^{3}$;

c) $(x – 1)^{3} – 27$;

d) $x^{6} + y^{9}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $x^{3} – 1 000$

= $x^{3}‒ 10^{3}$

= $(x ‒ 10)(x^{2} + 10x + 10^{2})$

= $(x ‒ 10)(x^{2} + 10x + 100)$.

b) $8x^{3} + (x – y)^{3}$

= $(2x)^{3} + (x – y)^{3}$

= $(2x + x ‒ y)[(2x)^{2} ‒ 2x(x ‒ y) + (x ‒ y)^{2}]$

= $(3x ‒ y)(4x^{2} ‒ 2x^{2} + 2xy + x^{2} ‒ 2xy + y^{2})$

= $(3x ‒ y)[(4x^{2} ‒ 2x^{2} + x^{2}) + (2xy ‒ 2xy) + y^{2}]$

= $(3x ‒ y)(3x^{2} + y^{2}).$

c) $(x – 1)^{3} – 27$

= $(x – 1)^{3} – 3^{3}$

= $(x ‒ 1 ‒ 3)[(x ‒ 1)^{2} + (x ‒ 1).3 + 3^{2}]$

= $(x ‒ 4)(x^{2} ‒ 2x + 1 + 3x ‒ 3 + 9)$

= $(x ‒ 4)[x^{2} + (‒2x + 3x) + 1 ‒ 3 + 9]$

= $(x ‒ 4)(x^{2} + x +7).$

d) $x^{6} + y^{9}$

= $(x^{2})^{3} + (y^{3})^{3}$

= $(x^{2} + y^{3})[(x^{2})^{2} ‒ x^{2}.y^{3} + (y^{3})^{2}]$

= $(x^{2} + y^{3})(x^{4} ‒ x^{2}y^{3} + y^{6}).$

Giải bài tập 5 trang 17 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x + 2x(x – y) – y;$

b) $x^{2} + xy – 3x – 3y;$

c) $xy – 5y + 4x – 20$;

d) $5xy – 25x^{2} + 50x – 10y$.

Hướng dẫn trả lời:

a)$ x + 2x(x – y) – y$

= $(x ‒ y) + 2x(x ‒y)$

= $(x ‒ y)(1 + 2x)$.

b) Cách 1:

$ x^{2} + xy – 3x – 3y$

= $(x^{2} + xy) – (3x + 3y)$

= $x(x + y) – 3(x + y)$

= $(x + y)(x – 3).$

Cách 2:

$x^{2} + xy – 3x – 3y$

= $(x^{2} ‒ 3x) + (xy ‒ 3y)$

=$ x(x ‒ 3) + y(x ‒ 3)$

= $(x ‒ 3)(x + y).$

c) Cách 1:

$xy – 5y + 4x – 20$

= $(xy – 5y) + (4x – 20)$

= $y(x – 5) + 4(x – 5)$

= $(x – 5)(y + 4).$

Cách 2:

$xy – 5y + 4x – 20$

=$ (xy + 4x) ‒ (5y + 20)$

=$x(y + 4) ‒ 5(y + 4)$

= $(y + 4)(x ‒ 5).$

d) Cách 1:

$5xy – 25x^{2} + 50x – 10y$

=$ (5xy – 25x^{2}) + (50x – 10y)$

= $5x(y ‒ 5x) + 10(5x ‒ y)$

= $5x(y ‒ 5x) ‒ 10(y ‒ 5x)$

=$ 5(y ‒ 5x)(x ‒ 2).$

Cách 2:

$5xy – 25x^{2} + 50x – 10y$

= $(5xy – 10y) – (25x^{2} – 50x)$

= $5y(x – 2) – 25x(x – 2)$

= $5(x – 2)(y – 5x).$

Giải bài tập 6 trang 17 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Tính giá trị của biểu thức:

a) P = 7(a − 4) – b(4 – a) tại a = 17 và b = 3;

b) $Q = a^{2} + 2ab – 5a – 10b$ tại a = 1,2 và b = 4,4.

Hướng dẫn trả lời:

a) P = 7(a − 4) – b(4 – a) = 7(a − 4) + b(a ‒ 4) = (a ‒ 4)(7 + b).

Với a = 17 và b = 3 ta có:

P = (17 ‒ 4)(7 + 3) = 13.10 = 130.

b) Q = $a^{2} + 2ab – 5a – 10b = (a^{2} + 2ab) – (5a + 10b)$

= $a(a + 2b) ‒ 5(a + 2b)= (a + 2b)(a ‒ 5).$

Với a = 1,2 và b = 4,4 ta có:

Q = (1,2 + 2.4,4).(1,2 ‒ 5) = (1,2 + 8,8).(‒3,8) = 10. (‒3,8) = 38.

Chú ý: Đối với biểu thức Q, ngoài cách nhóm hạng tử như trên, ta còn có cách nhóm hạng tử khác để phân tích đa thức thành nhân tử.

Giải bài tập 7 trang 17 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $4a^{2} – 4b^{2} – a – b$;

b) $9a^{2} – 4b^{2} + 4b – 1$;

c) $4x^{3} – y^{3} + 4x^{2}y – xy^{2}$;

d) $a^{3} – b^{3} + 4ab + 4a^{2} + 4b^{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

a)$ 4a^{2} – 4b^{2} – a – b$

= $(4a^{2} – 4b^{2}) – (a + b)$

= $4(a^{2} ‒ b^{2})– (a + b)$

= $4(a ‒ b)(a + b)– (a + b)$

= $(a + b)(4a ‒ 4b ‒ 1)$.

b) $9a^{2} – 4b^{2} + 4b – 1$

= $9a^{2} – (4b^{2} ‒ 4b + 1)$

= $(3a)^{2} ‒ [(2b)^{2} ‒ 2.2b + 1^{2}]$

= $(3a)^{2} ‒ (2b ‒ 1)^{2}$

= $(3a + 2b ‒ 1)(3a ‒ 2b + 1)$

c) $4x^{3} – y^{3} + 4x^{2}y – xy^{2}$

= $(4x^{3}+ 4x^{2}y) – (y^{3}+ xy^{2})$

= $4x^{2}(x + y) ‒ y^{2}(y + x)$

= $(x + y)(4x^{2} ‒ y^{2})$

= $(x + y)[(2x)^{2} ‒ y^{2}]$

= $(x + y)(2x + y)(2x ‒ y)$.

d) $a^{3} – b^{3} + 4ab + 4a^{2} + 4b^{2}$

= $(a^{3} – b^{3})+ (4a^{2} + 4ab + 4b^{2})$

= $(a ‒ b)(a^{2} + ab + b^{2}) + 4.(a^{2} + ab + b^{2})$

= $(a^{2} + ab + b^{2})(a – b + 4)$.

Giải bài tập 8 trang 17 sbt Toán 8 tập 1 Chân trời: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $4x^{3} – 36x$;

b) $4xy^{2} – 4x^{2}y – y^{3}$;

c) $x^{6} – 64$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4x^{3} – 36x$

= $4x(x^{2}‒ 9)$

= $4x(x^{2} ‒ 3^{2})$

= $4(x ‒ 3)(x + 3).$

b) $4xy^{2} – 4x^{2}y – y^{3}$

=$ –y(–4xy + 4x^{2} + y^{2})$

= $‒y(4x^{2}‒ 4xy + y^{2})$

=$ ‒y[(2x)^{2} ‒ 2.2x.y + y^{2}]$

=$ ‒y(2x – y)^{2}.$

c) $x^{6} – 64$

= $(x3)^{2} ‒ 8^{2}$

=$ (x^{3} + 8)(x^{3} ‒ 8)$

= $(x^{3} + 2^{3})(x^{3} ‒ 2^{3})$

= $(x + 2)(x^{2} ‒ 2x + 4)(x ‒ 2)(x^{2} + 2x + 4 )$.