Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Thực hành 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $P=6x-2x^{3}$

b) $Q=5x^{3}-15x^{2}y$

c) $R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $P=6x-2x^{3}=2x.3-2x.x^{2}=2x(3-x^{2})$

b) $Q=5x^{3}-15x^{2}y=5x^{2}.x-5x^{2}.3y=5x^{2}(x-3y)$

c) $R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy=xy.3x^{2}y^{2}-xy.6y^{2}z+xy=xy(3x^{2}y^{2}-6y^{2}z+1)$

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Thực hành 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $9x^{2}-16$

b) $4x^{2}-12xy+9y^{2}$

c) $t^{3}-8$

d) $2ax^{3}y^{3}+2a$

Hướng dẫn trả lời:

a) $9x^{2}-16=(3x-4)(3x+4)$

b) $4x^{2}-12xy+9y^{2}=(2x-3y)^{2}$

c) $t^{3}-8=(t-2)(t^{2}+t+2)$

d) $2ax^{3}y^{3}+2a=2a(x^{3}y^{3}+1)=2a(xy+1)(x^{2}y^{2}-xy+1)$

Vận dụng 1: Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích $2x^{3}-18x$ (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $2x^{3}-18x=2x(x^{2}-9)=2x(x-3)(x+3)$

Độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật cần tìm là: 2x, x - 3, x + 3

Vận dụng 2: Giải đáp câu hỏi trang 23

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)$

Vì vậy $n^{3}-n$ chia hết cho n, n - 1 và n + 1 (n là số tự nhiên, n > 1)

Vậy phát biểu của hai bạn là đúng

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Thực hành 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $a^{3}-a^{2}b+a-b$

b) $x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{3}-a^{2}b+a-b=(a^{3}-a^{2}b)+(a-b)=a^{2}(a-b)+(a-b)=(a^{2}+1)(a-b)$

b) $x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}=(x^{3}-xy^{2})+(2x^{2}-2y^{2})=x(x^{2}-y^{2})+2(x^{2}-y^{2})$

$=(x+2)(x^{2}-y^{2})=(x+2)(x-y)(x+y)$

Vận dụng 3: Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như  Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Hướng dẫn trả lời:

Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời thành một hình chữ nhật

Ta có hình chữ nhật có kích thước các cạnh là: a + 1, a + b

Khi a = 0,8, b = 2, kích thước các cạnh là: 1,8 m và 2,8 m

Diện tích hình chữ nhật là: $1,8.2,8 = 5,04 (m^{2})$

BÀI TẬP

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{3}+4x$

b) $6ab-9ab^{2}$

c) $2a(x-1)+3b(1-x)$

d) $(x-y)^{2}-x(y-x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $x^{3}+4x=x(x^{2}+4)$

b) $6ab-9ab^{2}=3ab(2-3b)$

c) $2a(x-1)+3b(1-x)=2a(x-1)-3b(x-1)=(2a-3b)(x-1)$

d) $(x-y)^{2}-x(y-x)=(x-y)^{2}+x(x-y)=(x-y+x)(x-y)=(2x-y)(x-y)$

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $4x^{2}-1$

b) $(x+2)^{2}-9$

c) $(a+b)^{2}-(a-2b)^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1)$

b) $(x+2)^{2}-9=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)$

c) $(a+b)^{2}-(a-2b)^{2}=(a+b-a+2b)(a+b+a-2b)=3b(2a-b)$

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $4a^{2}+4a+1$

b) $-3x^{2}+6xy-3y^{2}$

c) $(x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4a^{2}+4a+1=(2a+1)^{2}$

b) $-3x^{2}+6xy-3y^{2}=-(\sqrt{3}x-\sqrt{3}y)^{2}$

c) $(x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}=(x+y-z)^{2}$

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $8x^{3}-1$

b) $x^{3}+27^{3}$

c) $x^{3}-y^{6}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $8x^{3}-1=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)$

b) $x^{3}+27^{3}=(x+3y)(x^{2}-3xy+9y^{2})$

c) $x^{3}-y^{6}=(x-y^{2})(x^{2}+xy^{2}+y^{4})$

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $4x^{3}-16x$

b) $x^{4}-y^{4}$

c) $xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}$

d) $x^{2}+2x-y^{2}+1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $4x^{3}-16x=4x(x^{2}-4)=4x(x-2)(x+2)$

b) $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})$

c) $xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}=y(xy+x^{2}+\frac{1}{4}y^{2})=y(x+\frac{1}{2}y)^{2}$

d) $x^{2}+2x-y^{2}+1=(x^{2}+2x+1)-y^{2}=(x+1)^{2}-y^{2}=(x+1-y)(x+1+y)$

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2}-xy+x-y$

b) $x^{2}+2xy-4x-8y$

c) $x^{3}-x^{2}-x+1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $x^{2}-xy+x-y=(x^{2}-xy)+(x-y)=x(x-y)+(x-y)=(x+1)(x-y)$

b) $x^{2}+2xy-4x-8y=(x^{2}-4x)+(2xy-8y)=x(x-4)+2y(x-4)=(x+2y)(x-4)$

c) $x^{3}-x^{2}-x+1=(x^{3}+1)-(x^{2}+x)=(x+1)(x^{2}-x+1)-x(x+1)=(x+1)(x^{2}-x+1-x)=(x+1)(x^{2}-2x+1)$

Bài 7: Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng $49y^{2}+28y+4$

Hướng dẫn trả lời:

$49y^{2}+28y+4=(7y+2)^{2}$

Vậy cạnh của hình vuông bằng 7y + 2